1.1. Уравнение процесса. Найти максимально возможную температуру одного моля идеального газа, совершающего процесс $p=p_{0}-\alpha V^{2}$, где $p_{0}$ и $\alpha$ – положительные постоянные.
Р е ш ен и е. Для этого следует сначала найти зависимость $T(V)$, а затем из условия $\mathrm{d} T / \mathrm{d} V=0$ определим $T_{\text {макс }}$. Итак, данный в условии процесс с помощью уравнения состояния $p V=R T$ перепишем в виде
\[
R T=p_{0} V-\alpha V^{3} .
\]
Дифференцируем это уравнение по $V$ :
\[
R \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} V}=p_{0}-3 \alpha V^{2}=0 .
\]
Отсюда $V_{m}$, соответствующее максимуму $T$, равно $V_{m}=\sqrt{p_{0} / 3 \alpha}$. Подстановка этого выражения в (1) дает
\[
T_{\text {MaKc }}=\frac{2 p_{0}}{3 R} \sqrt{\frac{p_{0}}{3 \alpha}} .
\]
1.2. Работа над газом. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем $P$ находится один моль идеального газа при температуре $T$ (рис. 1.14). Пространство над поршнем сообщается с атмосферой.
Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увеличить объем газа под ним в $n$ раз?
Р е е н и е. По определению, работа, совершаемая силой $F$, есть
\[
A^{\prime}=\int_{h_{1}}^{h_{2}} F(h) \mathrm{d} h,
\]
Puc. 1.14
где силу $F$ можно выразить через давление газа $p$ под поршнем и $p_{0}$ – над поршнем. А именно, из условия медленности сохраняется баланс сил:
\[
F+p S=p_{0} S,
\]
где $S$ – площадь сечения поршня. Подстановка $F$ из (2) в (1) дает
\[
A^{\prime}=\int\left(p_{0}-p\right) S \mathrm{~d} h=\int p_{0} \mathrm{~d} V-\int \frac{R T}{V} \mathrm{~d} V .
\]
В результате интегрирования в пределах от $V$ до $n V$ получим
\[
A^{\prime}=p_{0} V(n-1)-R T \ln n,
\]
или с учетом $p_{0} V=R T$
\[
A^{\prime}=R T(n-1-\ln n) \text {. }
\]
1.3. Политропический процесс. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ расширили в $\eta$ раз по закону $p=\alpha V$, где $\alpha$ – постоянная. Первоначальный объем газа $V_{1}$. Найти:
a) приращение внутренней энергии газа;
б) работу, совершенную газом;
в) молярную теплоемкость газа в этом процессе.
Р е ш е н и е. а) По определению
\[
\Delta U=C_{V}\left(T_{2}-T_{1}\right)=\frac{C_{V}}{R}\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right) .
\]
Имея в виду, что $V_{2} / V_{1}=\eta$ и $p \sim V$, перепишем (1) так:
\[
\Delta U=\alpha V_{1}^{2}\left(\eta^{2}-1\right) /(\gamma-1) ;
\]
б) $A=\int p \mathrm{~d} V=\frac{p_{1}}{V_{1}} \frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2}=\frac{1}{2} \alpha V_{1}^{2}\left(\eta^{2}-1\right)$;
в) согласно (1.13) решение сводится к нахождению производной $\mathrm{d} V / \mathrm{d} T$. Из уравнения процесса и уравнения состояния идеального газа следует, что
\[
\alpha V^{2}=R T .
\]
Дифференцируя по $T$, получаем $2 \alpha V(\mathrm{~d} V / \mathrm{d} T)=R$, или
\[
p(\mathrm{~d} V / \mathrm{d} T)=R / 2 .
\]
Следовательно
\[
C=C_{V}+\frac{R}{2}=\frac{R}{2} \frac{\gamma+1}{\gamma-1} .
\]
1.4. Показать, что процесс, при котором работа идеального газа пропорциональна соответствующему приращению его внутренней энергии, описывается уравнением $p V^{n}=$ const, где $n$ – постоянная.
Р еш е н и е. Согласно условию $\mathrm{d}^{\prime} A=a \mathrm{~d} U$, где $a$ – некоторая постоянная. Раскроем это выражение:
\[
p \mathrm{~d} V=a \frac{R}{\gamma-1} \mathrm{~d} T .
\]
Перейдем к переменным $p, V$, взяв дифференциал уравнения $p V=R T$ :
\[
R \mathrm{~d} T=p \mathrm{~d} V+V \mathrm{~d} p .
\]
Подстановка (2) в (1) дает
\[
V \mathrm{~d} p=\frac{1-\alpha}{\alpha} p \mathrm{~d} V .
\]
где $\alpha=a /(\gamma-1)$. Разделив (3) на $p V$, получим
\[
\frac{\mathrm{d} p}{p}=\frac{1-\alpha}{\alpha} \frac{\mathrm{d} V}{V} .
\]
Интегрирование этого уравнения приводит к следующей формуле
\[
\ln p=\frac{1-\alpha}{\alpha} \ln V+\text { const. }
\]
В результате потенцирования получим
\[
p V^{n}=\text { const, }
\]
где $n$ – некоторая постоянная, здесь $n=1-(\gamma-1) / a$.
1.5. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ расширяют так, что сообщенное газу тешло равно убыли его внутренней энергии. Найти:
a) молярную теплоемкость газа в этом процессе;
б) уравнение продесса в переменных $T, V$.
$\mathrm{P}$ е іп е н и е. а) Согласно условию $\mathrm{d}^{\prime} \mathrm{Q}=-\mathrm{d} U$ имеем
\[
C=\frac{\mathrm{d}^{\prime} Q}{\mathrm{~d} T}=\frac{-\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} T}=-C_{V}=-\frac{R}{\gamma-1}<0 .
\]
б) Исходим из соотношения (1.13):
\[
C=C_{V}+p \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} T}=-C_{V} .
\]
Отсюда
\[
2 C_{V}=-p \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} T}=-\frac{R T}{V} \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} T} .
\]
Это приводит к уравнению
\[
\frac{\mathrm{d} T}{T}=-\frac{R}{2 C_{V}} \frac{\mathrm{d} V}{V},
\]
интегрирование которого дает
\[
\ln T=-\frac{R}{2 C_{V}} \ln V+\text { const. }
\]
Отсюда следует, что $T V^{R / 2 C_{V}}=$ const, или
\[
T V^{(y-1) / 2}=\text { const. }
\]
1.6. Один моль идеального газа с известным значением $C_{V}$ находится в левой половине цилиндра (рис. 1.15). Справа от поршня вакуум. В отсутствие газа поршень находится вплотную к левому торцу цилиндра, и пружина в этом положении не деформирована. Боковые стенки цилиндра и поршень адиабатные. Трения нет. Газ нагревают через левый торец цилиндра. Найти теплоемкость газа в этом квазистатическом процессе.
Pnc. 1.15
Р е ш е н и е. Согласно формуле (1.13) надо найти второе слагаемое, т.е. $p(\mathrm{~d} V / \mathrm{d} T)$. Поступим так. Пусть жесткость пружины $x$, тогда, если сжатие пружины равно $x$, то в процессе должно выполняться равенство $x x=p S$, где $S$ – площадь сечения цилиндра (и поршня). Умножив обе части этого равенства на $S$, получим
\[
x V=p S^{2},
\]
где $V$ – объем газа. Выразим в (1) давление $p$ через $T$ и $V$ с помощью уравнения состояния идеального газа. Тогда получим
\[
V^{2}=\left(R S^{2} / x\right) T .
\]
Дифференцируем это равенство по $T$ :
\[
2 V \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} T}=\frac{R S^{2}}{x}=R \frac{V}{p},
\]
где последнее равенство написано на основании (1). Из уравнения (3) имеем
\[
p \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} T}=\frac{R}{2},
\]
и искомая теплоемкость
\[
C=C_{V}+R / 2 .
\]
1.7. Колебання. В закрытом с обоих торцов горизонтальном цилиндре, заполненном идеальным газом с показателем адиабаты $\gamma$, находится поршень массы $m$ с площадью сечения $S$. В положении равновесия давление газа равно $p_{0}$ и поршень делит цилиндр на две одинаковые части, каждая объемом $V_{0}$. Найти частоту $\omega$ малых колебаний поршня около положения равновесия, считая процесс адиабатическим и трение ничтожно малым.
Р е ш е н и е. Запишем основное уравнение динамика для случая, когда поршень находится, например, справа от положения равновесия на расстоянии $x$ (рис. 1.16):
Puc. 1.16
\[
m \ddot{x}=-\left(p_{2}-p_{1}\right) S .
\]
Из условия $p V^{\gamma}=p_{0} V_{0}^{\gamma}$ следует, что
\[
p_{2}-p_{1}=p_{0} V_{0}^{\gamma}\left(\frac{1}{V_{2}^{\gamma}}-\frac{1}{V_{1}^{\gamma}}\right)=p_{0} V_{0}^{\gamma} \frac{V_{1}^{\gamma}-V_{2}^{\gamma}}{V_{0}^{2 \gamma}},
\]
где принято во внимание, что $V_{1}$ мало отличается от $V_{2}$, поэтому в знаменателе $V_{1}^{\gamma} V_{2}^{\gamma}$ заменено на $V_{0}^{2 \gamma}$. Теперь учтем, что
\[
\begin{array}{l}
V_{1}^{\gamma}=\left(V_{0}+S x\right)^{\gamma} \approx V_{0}^{\gamma}\left(1+\frac{\gamma S x}{V_{0}}\right), \\
V_{2}^{\gamma}=\left(V_{0}-S x\right)^{\gamma} \approx V_{0}^{\gamma}\left(1-\frac{\gamma S x}{V_{0}}\right) .
\end{array}
\]
Тогда (2) можно преобразовать так:
\[
p_{2}-p_{1}=p_{0} \frac{2 \gamma S x}{V_{0}} .
\]
Подстановка этого выражения в исходное (1) дает
\[
m \ddot{x}=-\left(2 \gamma p_{0} S^{2} / V_{0}\right) x .
\]
Мы пришли к уравнению гармонических колебаний $\ddot{x}+\omega^{2} x=0$, из которого следует, что искомая частота
\[
\omega=S \sqrt{2 \gamma p_{0} / m V_{0}} .
\]
1.8. Степени свободы молекулы. Найти число атомов в молекуле газа, у которого при *замораживании колебательных степеней свободы постоянная адиабаты $\gamma$ увеличивается в $\eta=1,20$ раза.
Р е ше н и е. Исходим из условия
\[
\eta=\gamma_{3} / \gamma
\]
где $\gamma_{3}$ – постоянная адиабаты после жзамораживания колебательных степеней свободы. Дальнейшее зависит от того, какие молекулы – линейные или нелинейные. Пусть число атомов в молекуле равно $N$. Для линейных молекул число колебательных степеней свободы $z_{\text {кол }}=3 N-5$ и число $i=5+2 z_{\text {кол }}=6 N-5$, а после *замораживания* $i_{3}=5$. Тогда согласно (1.40)
\[
\eta=\frac{\gamma_{3}}{\gamma}=\frac{\left(i_{3}+2\right) / i_{3}}{(i+2) / i}=\frac{(5+2) / 5}{(6 N-5+2) /(6 N-5)}=\frac{7}{5} \frac{6 N-5}{6 N-3} .
\]
Зная значение $\eta$, находим
\[
N=\frac{(15 / 7) \eta-5}{(30 / 7) \eta-6}=2,84 .
\]
Это невозможно, значит расчет надо вести, считая, что молекулы нелинейные.
Поступая аналогично, получим
\[
\eta=4(N-1) /(3 N-2),
\]
откуда
\[
N=(2 \eta-4) /(3 \eta-4)=4 .
\]
Таким образом, мы имеем дело с нелинейными молекулами, состоящими из четырех атомов.
1.9. Ван-дер-ваальсовский газ. Получить для моля этого газа уравнение адиабаты в переменных $T, V$, если известна его молярная теплоемкость $C_{V}$.
Р е ш е н и е. Согласно первому началу и уравнению (1.44)
\[
\mathrm{d}^{\prime} Q=\mathrm{d} U+p \mathrm{~d} V=C_{V} T+\frac{a}{V^{2}} \mathrm{~d} V+\left(\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{V^{2}}\right) \mathrm{d} V=0 .
\]
Отсюда
\[
C_{V} \frac{\mathrm{d} T}{T}=-\frac{R \mathrm{~d} V}{V-b} .
\]
Интегрируя это уравнение, получаем
\[
\ln T^{C_{V} / R}=-\ln (V-b)+\text { const, }
\]
или
\[
\ln \left[T^{C_{V} / R}(V-b)\right]=\text { const. }
\]
Таким образом, уравнение адиабаты имеет вид
\[
T(V-b)^{R / c_{v}}=\text { const. }
\]
1.10. Определить для ван-дер-ваальсовского газа разность молярных теплоемкостей $C_{p}-C_{V}$.
Р е ш е н и е. По определению теплоемкости
\[
C_{p}=\left(\frac{\mathrm{d}^{\prime} Q}{\mathrm{~d} T}\right)_{p}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{p}+p\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} .
\]
Учитывая, что $U=C_{V} T-a / V$, получим
\[
C_{p}=C_{V}+\left(p+\frac{a}{V^{2}}\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} .
\]
Найдем ( $\partial V / \partial T)_{p}$. Для этого продифференцируем по $T$ уравнение Ван-дер-Ваальса (1.42). В результате получим
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}=\frac{R}{\left(p+\frac{a}{V^{2}}\right)-\frac{2 a}{V^{2}}(V-b)}
\]
Подстановка (2) в (1) приводит к искомому результату:
\[
C_{p}-C_{V}=\frac{R}{1-\frac{2 a(V-b)^{2}}{R T V^{3}}} .
\]
