В этом параграфе мы рассмотрим явления переноса в газах с молекулярно-кинетической точки зрения. Соответствующие расчеты будут иметь оценочный характер. Еще раз напомним (об этом уже говорилось ранее), что оценочный подход — это то, с чего обычно начинается создание теории. Главное достоинство такого подхода состоит в простоте и акценте на физической стороне явления, не заслоненной громоздкими вычислениями и преобразованиями. Разумеется, оценочный подход ни в коей мере не может претендовать на получение точных результатов, но различие заключается только в числовых коэффициентах.

Итак, будем исходить из предельно упрощенной модели, которой мы уже пользовались ранее и убедились, что она дает неплохие результаты. Повторим: ввиду полной хаотичности теплового движения молекул будем считать, что молекулы движутся по трем направлениям $X,Y$ и $Z$, так что на каждое направление в одну сторону плотность потока молекул составляет
$$j=\frac{1}{6}⟨v⟩n,$$

где $n$ — концентрация молекул. Эти потоки и являются переносчиками определенных физических величин $G$. Плотность потока величины $G$ будем обозначать $j_G$.

Далее будем считать, что через интересующую нас площадку $S$ молекулы будут переносить то значение величины $G$, которое они имели на расстоянии $\lambda$ от площадки $S$. T.е. будем предполагать, что последнее соударение молекулы испытывают на этом расстоянии от $S$.

Теперь перейдем к рассмотрению с помощью этой модели явлений переноса и начнем с вывода общего уравнения переноca, не зависящего от времени.

Общее уравнение переноса. Пусть величина $G$ характеризует определенное молекулярное свойство, отнесенное к одной молекуле. Это может быть энергия, импульс, электрический заряд и др. Ясно, что при наличии градиента величины $G$ должен возникнуть поток в сторону ее уменьшения.

Пусть величина $G$ меняется только в направлении оси $X$, например, так, как показано на рис. 6.8. Площадку $S$ будут пронизывать молекулы, движущиеся во встречных направлениях, их плотности потоков обозначим $j^{\prime }u{j}^{\prime \prime }$. Причем — это существенно — они должны быть равны друг другу $(j^{\prime }=j^{\prime \prime })$, чтобы не возникало газодинамических потоков и чтобы все процессы сво-
Рис. 6.8

дились только к переносу величины $G$. Тогда для результирующей плотности потока величины $G$ можно (см. рис. 6.8) записать:
$$j_G=j{G}^{\prime }-j{G}^{\prime \prime }=\frac{1}{6}⟨v⟩n_0(G^{\prime }-G^{\prime \prime }).$$

Благодаря малости $\lambda$ разность значений величины $G$ в скобках представим в виде
$$G^{\prime }-G^{\prime \prime }=-\frac{\partial G}{\partial x}2\lambda$$

С учетом этой формулы выражение (6.19) запишем так:

Это и есть общее уравнение переноса для любой величины $G$. Здесь $n_0$ — концентрация молекул, $⟨v⟩$ — их средняя тепловая скорость. Значения этих величин берутся в сечении $S$.

Применим это уравнение к трем наиболее интересным явлениям переноса, связанным с диффузией, вязкостью и теплопроводностью.

Диффузия. Ограничимся рассмотрением самодиффузии, т.е. процессом перемешивания (взаимопроникновения) молекул одного сорта. Макроскопически самодиффузию наблюдать нельзя: из-за тождественности молекул она не может проявляться ни в одном явлении. Для наблюдения этого процесса часть молекул газа надо как-то \»пометить\». Практически это можно сделать с помощью так называемых «меченых» атомов: смесь газов берут из двух изотопов одного и того же элемента, один из которых радиоактивен. Тогда процесс диффузии можно наблюдать, регистрируя радиоактивное излучение радиоизотопа. Можно также взять смесь двух различных газов, молекулы которых почти одинаковы по массе и размерам (такие, например, как ${\mathrm{N}}_2$ и (CO). В этом случае у обеих компонент газа будут одинаковы как средние скорости, так и длины свободного пробега, т.е. $⟨v⟩$ и $\lambda$.

Чтобы отсутствовали газокинетические потоки и перемешивание молекул происходило только за счет диффузии, необходимо (так мы и будем считать), чтобы суммарная концентрация $n_0$ обеих компонент смеси не зависела от координаты в направлении оси $X$, вдоль которой происходит этот процесс, (рис. 6.9).

Пусть концентрация молекул 1 -го сорта зависит от координаты $x$ как $n_1(x)$. Учитывая, что величина $G$ в уравнении (6.21) есть характеристика переносимого в данном случае количества, отнесенного к одной молекуле, определим $G$ как
$$G=n_1/n_0,$$

Рис. 6.9
где $n_0$ — равновесная концентрация (см. рис. 6.9). Величина $G$ характеризует степень принадлежности каждой из $n_0$ молекул к сорту 1 . Другими словами, если, например, $G=0,3$, то это значит, что из $n_0$ молекул к сорту 1 принадлежит $0,3n_0$ молекул. И только.

Это «свойство» и переносится. Если через площадку $S$ переносится 100 молекул со свойством $G=0,3$ каждая, то молекул сорта 1 переносится 30. Нас не должно смущать, что молекулы \»не подозревают\», что мы приписываем им такое свойство. Главное — это удобно нам.
Учитывая то, что $G=n_1/n_0$, уравнение (6.21) примет вид
$$j_{n_1}=-\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda \frac{\partial n_1}{\partial x}.$$

Сравнив это выражение с эмпирической формулой (6.9), находим, что коэффициент самодиффузии

Рассуждения, приведшие нас к формуле (6.22), в равной мере справедливы и для другой компоненты смеси. Значит, коэффициент $D$ одинаков для обеих компонент.

Более строгий расчет приводит к такой же формуле для $D$, но с несколько бо́льшим числовым коэффициентом (в $1,2÷1,5$ раза для разных газов).

Puc. 6.10
Рис. 6.10
Вязкость (внутреннее трение). Это явление возникает в тех случаях, когда на хаотическое тепловое движение молекул накладывается упорядоченное движение. Пусть скорость $и$ упорядоченного движения зависит только от координаты $x$, как показано на рис. 6.10. В этом случае через единичную площадку $S$ будет происходить перенос импульса $p=mu$, где $m$ — масса молекулы. Это значит, что в данном случае величина $G=p$ и согласно уравнению (6.21) мы находим, что плотность потока импульса
$$j_p=-\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda \rho \frac{\partial u}{\partial x},$$

где $\rho =mn-$ плотность газа. Сопоставив это уравнение с эмпирической формулой (6.11), находим выражение для вязкости:

Более точный расчет дает несколько большее значение для числового коэффициента: не $1/3$, а 0,49 .

Теплопроводность. В этом явлении величиной $G$ в (6.21) является средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы имеем $G=(i/2)kT$, и тогда плотность потока тепла
$$j_Q=-\frac{1}{3}{n}_0⟨v⟩\lambda \frac{i}{2}k\frac{\partial T}{\partial x}.$$

Для упрощения этой формулы введем удельную теплоемкость $c_V$. Для этого обратим внимание на то, что ( $i/2)k$ — это теплоемкость при постоянном объеме, рассчитанная на одну молекулу. Произведение данной величины на концентрацию $n_0$ дает теплоемкость единицы массы $c_V$, умноженную на плотность газа $\rho$. Таким образом, учитывая, что ( $i/2)k\cdot n_0=c_V\rho$, перепишем (6.26) в виде

$$j_Q=-\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda \rho c_V\frac{\partial T}{\partial x}.$$

Из сравнения этого выражения с формулой (6.12) видим, что теплопроводность

где, повторим, $c_V$ — удельная теплоемкость, отнесенная к единице массы, Дж/(К$\cdot$кг). Более точные вычисления числового коэффициента в (6.28) представляют большие трудности, но полученные результаты оказываются того же порядка, что и $1/3$.

Анализ коэффициентов переноса. Прежде всего выпишем для удобства сопоставления и анализа все три коэффициента рассмотренных явлений переноса:
$$\begin{array}{l}D=\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda ,\\ \eta =\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda \rho ,\\ x=\frac{1}{3}⟨v⟩\lambda \rho c_V.\end{array}$$
1. Определив по эмпирическим формулам коэффициенты $D$, $\eta$ и $\chi$, мы имеем возможность с помощью формул (6.29) вычислить $\lambda$ и диаметр $d$ молекул. При этом следует иметь в виду, что полученные значения заметно зависят от того, на основании какого коэффициента их вычисляют (поэтому в таблицах это оговаривается).
2. Все три коэффициента, $D,\eta$ и $\chi$, с ростом температуры $T$ увеличиваются, так как $⟨v⟩\sim \sqrt{T}$.
3. Поскольку $\lambda \sim 1/n$, а $n\sim \rho$, то как вязкость $\eta$, так и теплопроводность $x$ не зависят от концентрации, а значит и от давления (при неизменной температуре).

На первый взгляд этот вывод кажется странным и в свое время послужил поводом к тому, чтобы подвергнуть сомнению развиваемые молекулярно-кинетические представления. Однако при более внимательном рассмотрении выяснилось, что здесь все в порядке. Действительно, уменьшая давление, мы уменьшаем концентрацию молекул, но при этом одновременно растет $\lambda$, а значит и различие в значениях величины $G$, переносимой каждой молекулой в противоположных направлениях. Тем самым «парадокс» был разрешен, и это явилось очередным триумфом молекулярно-кинетической теории.

Все так, и тем не менее, уменьшая давление $p$, мы обнаруживаем, что с какого-то момента коэффициенты $\eta$ и $x$ начинают зависеть от давления. Это связано с тем, что с уменьшением давления растет $\lambda$ и наступает момент, когда $\lambda$ становится сравнимым с характерным размером сосуда, в котором находится газ (например, с расстоянием между дисками, колеблющимися относительно друг друга). После этого коэффициенты $\eta$ и х начинают уменьшаться за счет уменьшения плотности $\rho$, т.е. концентрации $n$, и мы вступаем в новую область — в область вакуумных явлений.

Уравнения переноса, зависящие от времени. Приведенные выше расчеты и результаты относятся к так называемым стационарным задачам, когда распределение интересующей нас величины $G$ зависит только от координат. Но процессы переноса (выравнивания величины $G$ ) зависят и от времени. Это обстоятельство приводит к необходимости решать нестационарные задачи, учитывающие зависимость величины $G$ как от координат, так и от времени. В качестве примера приведем соответствующее одномерное дифференциальное уравнение для теплопроводности:
$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}.$$

Для решения подобных уравнений необходимо знать начальные и граничные условия. Если они заданы и известен коэффициент $\alpha$, то задача является чисто математической, ее решение подробно рассматривается в курсе математической физики.
Ультраразреженные газы (вакуум)
Когда длина свободного пробега $\lambda$ превышает характерный размер $l$ сосуда, говорят, что достигнут вакуум, и газ находится в состоянии ультраразрежения. Под характерным понимают тот размер сосуда (или в сосуде), который определяет интересующее нас явление. Вакуум — понятие относительное: условие $\lambda >l$ может иметь место в малых порах даже при атмосферном давлении.

Поведение ультраразреженного газа существенно отличается от поведения газов при обычных условиях. В условиях вакуума теряет смысл говорить о давлении одной части газа на другую, а это значит, что внутреннее трение отсутствует. Имеет смысл говорить только о силе трения, испытываемого движущимся телом.

Теряет также смысл введенное нами понятие теплопроводности, как процесса передачи энергии от одного слоя газа к другому (тепловая диффузия). Следует говорить только о теплообмене между телами.

Из сказанного следует, что при выводе уравнений переноса величины $G$ (импульса или энергии) надо остановиться на формуле (6.19), где под $G^{\prime }$ и $G^{\prime \prime }$ следует понимать значения величины $G$, соответствующие двум телам. Формула (6.20) в случае ультраразреженного газа уже не имеет смысла.

Теперь должно быть понятным, почему в опыте с крутильными колебаниями диска 1 (рис. 6.11, где диск 2 неподвижен) в сосуде $C$ при уменьшении давления в нем сначала коэффициент затухания не меняется, а начиная с некоторого значения давления начинает уменьшаться. Это «граничное\» давление соответствует концентрации $n$ молекул, при которой их длина свободного пробега $\lambda$ становится равной характерному размеру расстоянию между дисками, и коэффициент $\eta$ уменьшается из-за уменьшения

Pис. 6.11 концентрации $n$.

Становится также понятным, почему и насколько надо эвакуировать объем между стенками сосуда Дюара, чтобы как можно более снизить коэффициент теплопроводности $x$. Здесь характерным размером является расстояние между стенками сосуда.