Адиабатический процесс. Это процесс, который происходит без теплообмена с окружающей средой. Для идеального газа запишем (1.6) с учетом (1.16) в виде
\[
\mathrm{d}^{\prime} Q=\mathrm{d}\left(\frac{p V}{\gamma-1}\right)+p \mathrm{~d} V=0 .
\]

Выпишем числитель этого выражения:
\[
\mathrm{d}(p V)+(\gamma-1) p \mathrm{~d} V=\mathrm{d} p \cdot V+p \mathrm{~d} V+\gamma p \mathrm{~d} V-p \mathrm{~d} V=0 .
\]

После сокращения на $p \mathrm{~d} V$ получим
\[
V \mathrm{~d} p+\gamma p \mathrm{~d} V=0 .
\]

Разделим оба слагаемых на $p V$, тогда
\[
\frac{\mathrm{d} p}{p}+\gamma \frac{\mathrm{d} V}{V}=0 .
\]

Это выражение представляет собой сумму дифференциалов логарифмов $p$ и $V$ :
\[
\mathrm{d} \ln p+\gamma \mathrm{d} \ln V=\mathrm{d} \ln \left(p V^{\gamma}\right)=0 .
\]

Равенство нулю последнего дифференциала означает, что мы имеем дело с константой, т.е.

Это и есть уравнение адиабаты в переменных $p, V$. Его называют уравнением Пуассона. Это уравнение можно представить и в других переменных. Например, в переменных $T, V$ оно выглядит так:
\[
T V^{\gamma-1}=\text { const. }
\]

Адиабата (1.17) идет круче изотермы ( $p V=$ const): для этого достаточно сравнить производные $\mathrm{d} p / \mathrm{d} V$ для обоих процессов. Для изотермического процесса $p \mathrm{~d} V+\mathrm{d} p \cdot V=0$, откуда
\[
\mathrm{d} p / \mathrm{d} V=-(p / V) .
\]

А для адиабатического процесса (1.17) $p \gamma V^{\gamma-1} \mathrm{~d} V+\mathrm{d} p \cdot V=$ const, откуда
\[
\mathrm{d} p / \mathrm{d} V=-\gamma(p / V) .
\]

Поскольку $\gamma>1$, то адиабаты, действительно, идут круче изотерм (рис.1.6).
Рис. 1.6
Политропические процессы. Так называют процессы, уравнение которых в переменных $p, V$ имеет вид
\[
p V^{n}=\text { const, }
\]

где $n$ — произвольное число, как положительное, так и отрицательное, а также равное нулю. Таким образом, любой процесс, уравнение которого можно свести к виду (1.19), является политропическим. Соответствующую кривую называют политропой.

Политропическими являются, в частности, процессы изохорический, изобарический, изотермический и адиабатический.

Отличительной особенностью всех политропических процессов является то, что в ходе этих процессов теплоемкость системы остается постоянной:
\[
C_{n}=\text { const. }
\]

Убедимся в этом, воспользовавшись формулой (1.13). Входящую в нее производную $\mathrm{d} V / \mathrm{d} t$ найдем с помощью уравнения $T V^{n-1}$ = const — уравнения политропического процесса (1.18) в переменных $T, V$. Продифференцируем последнее уравнение:
\[
\mathrm{d} T \cdot V^{n-1}+T(n-1) V^{n-2} \mathrm{~d} V=0,
\]

откуда
\[
\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} T}=-\frac{1}{n-1} \frac{V}{T}=-\frac{R}{p(n-1)} .
\]

Остается подставить это выражение в (1.13), и мы получим
\[
C_{n}=C_{V}-\frac{R}{n-1}=\frac{R}{\gamma-1}-\frac{R}{n-1} .
\]

Отсюда видно, что, действительно, в ходе политропических процессов $C_{n}=$ const.

Если $n=\gamma$, то $C_{n}=0$ (это сразу следует и из определения адиабатического процесса). При $n=1 C_{n} \rightarrow \infty$, как и должно быть при изотермическом процессе.

Интересный результат обнаруживается в случае $1<n<\gamma$. Перепишем (1.21) в виде
\[
C_{n}=\frac{n-\gamma}{(\gamma-1)(n-1)} R .
\]

Рис. 1.7
Видно, что в этом случае $C_{n}<0$. Это значит, что мы сообщаем тепло системе, а она охлаждается, поскольку знаки d’Q и $d T$ должны быть при этом противоположными. Это относится ко всем политропическим процессам, «промежуточным» между изотермическим и адиабатическим (рис.1.7).
Из (1.21) нетрудно получить выражение, определяющее $n$ через теплоемкости:
\[
n=\frac{C_{n}-C_{p}}{C_{n}-C_{V}} .
\]

Работа газа при политропических процессах. Работу, которую совершает газ при любом процессе, можно вычислять с помощью формулы (1.5). Но эту работу можно вычислять и иначе — с помощью первого начала, а именно:
\[
A=Q-\Delta U=C_{n} \Delta T-C_{V} \Delta T=\left(C_{n}-C_{V}\right) \Delta T,
\]

где $\Delta T=T_{2}-T_{1}$. Для $v$ молей согласно (1.21) $C_{n}-C_{V}=-v R /(n-1)$, поэтому предыдущее выражение можно переписать так:

Отсюда следует, что при $n=\gamma$ работа $A=-\Delta U$, как и должно быть. Из (1.24) следует также, что при политропических процессах работа газа
\[
A \sim-\Delta U .
\]

Выражение (1.24) не удобно для изотермических процессов, поскольку при $n=1, T_{1}=T_{2}$ и $A=0 / 0$. Поэтому в данном случае работу $A$ следует вычислять непосредственно с помощью (1.5):
\[
A=\int p \mathrm{~d} V=\int_{1}^{2} \frac{v R T}{V} \mathrm{~d} V=v R T \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} .
\]