Свободные электроны в металле. Электропроводность металлов обусловлена, как известно, наличием в них электронов, которые мы называем свободными. Они не связаны с конкретными атомами и могут практически свободно перемещаться в пределах образца. В первом приближении свободные электроны можно рассматривать как идеальный газ из фермионов в прямоугольной потенциальной яме.

Прежде всего рассмотрим поведение электронного газа при температуре $T=0$. В этом случае функция (4.2) принимает следующие значения:
\[
f(\varepsilon \leqslant \mu)=1, \quad f(\varepsilon>\mu)=0 .
\]

Соответствующий график показан на рис. 4.1, из которого видно, что заполнены все состояния с энергией $\varepsilon<\mu$, а состояния с $\varepsilon>\mu$ оказываются незанятыми.

Состояния квантованы, и энергеРис. 4.1 тические уровни являются дискретными, но расположены настолько густо, что энергетический спектр можно считать, как уже говорилось, квазинепрерывным (см. задачу 4.2).

В статистике Ферми-Дирака, которой подчиняется электронный газ, принимается во внимание принцип Паули (согласно ему в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона). Отсюда следует, что даже между свободными электронами существует какое-то взаимодействие. Однако это взаимодействие не является силовым, а представляет собой сугубо квантовый эффект, чуждый классическим представлениям.

Энергия Ферми. В рассматриваемом случае ( $T=0$ ) величину $\mu$ называют энергией или уровнем Ферми: $\varepsilon_{F}=\mu$. Эта энергия является максимальной, которую могут иметь свободные электроны в металле при $T=0$. Найдем $\varepsilon_{F}$.

Для этого сначала определим число квантовых состояний (фазовых ячеек) $\mathrm{d} Z$ для свободных электронов с энергиями в интервале ( $\varepsilon, \varepsilon+\mathrm{d} \varepsilon$ ). Связь между энергией и импульсом электрона это $\varepsilon=p^{2} / 2 m$. Отсюда $p=\sqrt{2 m \varepsilon}$ и $\mathrm{d} p=\sqrt{m / 2 \varepsilon} \mathrm{d} \varepsilon$. Поэтому $\mathrm{d} Z$ согласно (4.7), т.е. в расчете на единицу объема электронного газа, примет вид
\[
\mathrm{d} Z=\alpha \sqrt{\varepsilon} \mathrm{d} \varepsilon
\]

где введено обозначение
\[
\alpha=2 \pi(2 m)^{3 / 2} / h^{3} .
\]

Зависимость числа квантовых состояний на единицу энергии, $\mathrm{d} Z / \mathrm{d} \varepsilon$, от энергии $\varepsilon$ представлена графически на рис. 4.2.

Чтобы определить число свободных электронов $\mathrm{d} n$ в интервале энергий ( $\varepsilon, \varepsilon+\mathrm{d} \varepsilon$ ), надо умножить соответствующее число $\mathrm{d} Z$ фазовых ячеек, т.е. (4.10), Pис. 4.2 на среднее число этих электронов в одной ячейке – на функцию заполнения $f$ :
\[
\mathrm{d} n=2 f \mathrm{~d} Z .
\]

Коэффициент 2 появился в связи с тем, что в каждой фазовой ячейке могут расположиться два электрона (фермиона) с противоположно направленными спинами. В нашем случае ( $T=0$ ) свободные электроны заполняют полностью ( $f=1$ ) все квантовые состояния с энергиями $\varepsilon \leqslant \mu$, и мы имеем
\[
\mathrm{d} n=2 \alpha \sqrt{\varepsilon} \mathrm{d} \varepsilon .
\]

График функции распределения свободных электронов по энергиям, т.е. $\mathrm{d} n / \mathrm{d} \varepsilon$ в зависимости от энергии $\varepsilon$, показан на рис. 4.3. Площадь под этим графиком равна концентрации $n$ свободных электронов:
Рис. 4.3
\[
n=\int_{0}^{\mu} \mathrm{d} n(\varepsilon)=\frac{4}{3} \alpha \mu^{3 / 2} .
\]

Отсюда находим $\mu$ – максимальное значение энергии свободных электронов при $T=0$. Эта величина и есть энергия или уровень Ферми:

где, напомним, $h=2 \pi \hbar$. При получении этого выражения учтено, что постоянная $\alpha$ определяется формулой (4.11).

Оценим значение $\varepsilon_{F}$. Концентрация $n$ свободных электронов в металлах находится в пределах от $10^{22}$ до $10^{23} \mathrm{~cm}^{-3}$. Для среднего значения $n=5 \cdot 10^{22}$ получим
\[
\varepsilon_{F}=0,8 \cdot 10^{-11} \text { эрг }=5 \text { эВ. }
\]

Пример. Определим распределение свободных электронов в металле по скоростям и максимальную скорость их при $T=0$.
Ясно. что число $\mathrm{d} n_{\varepsilon}$ свободных электронов в интервале энергий ( $\varepsilon, \varepsilon+\mathrm{d} \varepsilon$ ) должно равняться их числу $\mathrm{d} n_{
u}$ в соответствующем интервале скоростей ( $v, v+\mathrm{d} v)$, т.е. $\mathrm{d} n_{v}=\mathrm{d} n_{\varepsilon}$. Имея в виду связь между $\varepsilon$ и $v$, а именно $\varepsilon=m v^{2} / 2$, и формулу (4.13) для $\mathrm{d} n_{\varepsilon}$, получим
\[
\mathrm{d} n_{v}=2 \alpha \sqrt{m v^{2} / 2} m v \mathrm{~d} v .
\]

Остается воспользоваться выражением (4.11) для $\alpha$, и мы найдем:
\[
\mathrm{d} n_{v}=8 \pi(m / h)^{3} v^{2} \mathrm{~d} v,
\]
т.е. плотность распределения $\mathrm{d} n_{v} / \mathrm{d} v \sim v^{2}$.

Поскольку металл не конкретизирован, ограничимся оценкой максимальной скорости, полагая энергию Ферми равной значению, которое приведено выше (5 эВ). Тогда
\[
\begin{aligned}
v_{\text {MaKc }} & =\sqrt{2 \varepsilon_{F} / m}=\sqrt{2 \cdot 5 \cdot 1,6 \cdot 10^{-12} /\left(0,9 \cdot 10^{-27}\right)}= \\
& =1,34 \cdot 10^{8} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}=1,34 \cdot 10^{3} \mathrm{kM} / \mathrm{c} .
\end{aligned}
\]

Средняя энергия свободных электронов. При $T=0$ имеем следующее выражение:
\[
\langle\varepsilon\rangle=\frac{1}{n} \int_{0}^{\varepsilon_{F}} \varepsilon \mathrm{d} n_{\varepsilon}=\frac{1}{n} \int_{0}^{\varepsilon_{F}} 2 \alpha \varepsilon^{3 / 2} \mathrm{~d} \varepsilon=\frac{3}{5} \varepsilon_{F},
\]

где использованы формулы (4.13) и (4.11). При значении $\varepsilon_{F}=5$ эВ $\langle\varepsilon\rangle=3$ эВ.

Классическому газу с такой средней энергией соответствовала бы, согласно формуле $\varepsilon$ ф $=\frac{3}{2} k T$, температура $T \sim 5 \cdot 10^{4}$ К. Эта

Рис. 4.6
шая энергия, которую надо сообщить электрону для удаления его из металла, $A=U-\varepsilon_{F}$ ). Спектр энергетических уровней дискретный (практически квазинепрерывный). Тонирована часть спектра, заполненного свободными электронами.

Энергия Ферми, как показывает расчет, несколько зависит от температуры:
\[
\varepsilon_{F}(T)=\varepsilon_{F}(0)\left[1-\frac{\pi^{2}}{12}\left(\frac{k T}{\varepsilon_{F}(0)}\right)^{2}\right],
\]

где $\varepsilon_{F}(0)$ – уровень Ферми при $T=0$, определяемый формулой (4.15). И более общее определение уровня Ферми гласит: это энергия, при которой распределение Ферми-Дирака (4.2) принимает значение $f=1 / 2$.