4.1. Свободные электроны в металле. Найти функцию распределения $\mathrm{d} n / \mathrm{d} \lambda$ свободных электронов в металле при $T=0$ по дебройлевским длинам волн (в расчете на единицу объема).
Р ешение и Число свободных электронов в интервале дебройлевских длин волн ( $\lambda, \lambda+\mathrm{d} \lambda$ ) должно равняться их числу в соответствующем интервале энергий ( $\varepsilon, \varepsilon+\mathrm{d} \varepsilon$ ), т.е. $\mathrm{d} n_{\lambda}=\mathrm{d} n_{\mathrm{\varepsilon}}$. Имея в виду формулу де-Бройля $\lambda=h / p$ и связь между $\varepsilon$ и $\lambda$, а именно $\varepsilon=$ $=\dot{p}^{2} / 2 m=h^{2} / 2 m \lambda^{2}$, а также формулу (4.13), получим:
\[
\mathrm{d} n_{\lambda}=2 \alpha \sqrt{\varepsilon} \mathrm{d} \varepsilon=\sqrt{2} \alpha \frac{h^{3} \mathrm{~d} \lambda}{m^{3 / 2} \lambda^{4}} .
\]

Знак минус здесь опущен: он не существен. Раскрыв с помощью (4.11) значение $\alpha$, найдем
\[
\mathrm{d} n_{\lambda}=8 \pi \frac{\mathrm{d} \lambda}{\lambda^{4}} .
\]

Заметим, что это распределение ограничено наименьшей дебройлевской длиной волны $\lambda_{\text {мин }}$, значение которой следует из энергии Ферми $\varepsilon_{F}$ :
\[
\lambda_{\text {мин }}=\frac{h}{\sqrt{2 m \varepsilon_{F}}}=\frac{2 \pi}{\left(3 \pi^{2} n\right)^{1 / 3}} .
\]

Полагая решетку металла кубической с периодом $a$ и содержащую по одному свободному электрону на атом, получим $n=1 / a^{3}$ и
\[
\lambda_{\text {мин }} \approx 2 a \text {. }
\]
4.2. Дискретность спектра свободных электронов. Вычислить интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при $T=0$ вблизи уровня Ферми. Считать, что концентрация свободных электронов $n=2 \cdot 10^{22} \mathrm{cм}^{-3}$ и объем металла $V=1 \mathrm{~cm}^{3}$.
Р еше н и е. Исходим из формулы (4.13), где учтено, что в каждой фазовой ячейке находятся два электрона с взаимно противоположными спинами. Поэтому $\delta n=2$, и мы имеем
\[
\delta \varepsilon=\frac{1}{\alpha \sqrt{\varepsilon}} .
\]

После подстановки в эту формулу значения $\alpha$ (4.11) и $\varepsilon=\varepsilon_{F}$ из (4.15) получим
\[
\delta \varepsilon=\frac{h^{2}}{2 \pi m}\left(\frac{\pi}{3 n}\right)^{1 / 3} \approx 2 \cdot 10^{-22} \text { эВ. }
\]

Соответствующую дискретность уровней обнаружить просто невозможно. Именно поэтому спектр энергетических уровней свободных электронов можно рассматривать как непрерывный (точнее квазинепрерывный).
4.3. Давление электронного газа. Вычислить давление электронного газа на стенки металла при $T=0$, считая, что концентрация свободных электронов $n=2,5 \cdot 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3}$.

Р еше н и е. Согласно уравнению идеальных газов для давления (1.30)
\[
p=\frac{2}{3} n\langle\varepsilon\rangle
\]

где $\langle\varepsilon\rangle=(3 / 5) \varepsilon_{F}$ в соответствии с формулой (4.16). После подстановки выражения (4.15) для $\varepsilon_{F}$ получим
\[
p=\frac{(3 / \pi)^{2 / 3}}{20} \frac{\hbar^{2} n^{5 / 3}}{m}=5 \cdot 10^{9} \Pi a \approx 5 \cdot 10^{4} \text { атм. }
\]
4.4. Термодинамика фотонного газа. Замкнутая полость объемом $V=1,0$ л заполнена тепловым излучением (фотонным газом), температура которого $T=1000 \mathrm{~K}$. Найти его
a) теплоемкость $C_{V}$ и б) энтропию $S$.
Р ешение и е. По определению $C_{V}=(\partial U / \partial T)_{V}$. Решение сводится к нахождению внутренней энергии $U$. Это легко сделать, зная, что плотность $и$ энергии излучения определяется формулами (4.29) и (4.30): $u=4 M / c=4 \sigma T^{4} / c$. Тогда $U=u V$ и
\[
C_{V}=\frac{16}{c} \sigma T^{3} V=3 \cdot 10^{-9} \text { Дж/К. }
\]
б) В соответствии с теоремой Нернста (3.5)
\[
S=\int_{0}^{T} \frac{\mathrm{d} U}{T}=\frac{16}{3 c} \sigma T^{3} V=1 \cdot 10^{9} \text { Дж/К. }
\]
4.5. Найти уравнение адиабаты (в переменных $T, V$ для равновесного фотонного газа, имея в виду, что его давление $p$ зависит от плотности энергии и как $p=u / 3$.
Р е ш ен и е. По определению адиабатического процесса
\[
\mathrm{d}^{\prime} Q=\mathrm{d} U+p \mathrm{~d} V=0 .
\]

В нашем случае это выглядит так:
\[
\mathrm{d}(u V)+(u / 3) \mathrm{d} V=0 .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{\mathrm{d} u}{u}+\frac{4}{3} \frac{\mathrm{d} V}{V}=0
\]

и $\ln u+(4 / 3) \ln V=$ const, или $\ln \left(u V^{4 / 3}\right)=$ const. Поскольку $и \sim T^{4}$, то в результате получим
\[
V T^{3}=\text { const. }
\]
4.6. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению черного тела, для которого максимум излучения приходится на длину волны $\lambda_{m}=0,48$ мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения.
P е ш е н и Поток излучения с поверхности Солнца равен $\Phi=4 \pi R^{2} M$, где $R$ – радиус Солнца, $M$ – энергетическая светимость. Согласно закону Стефана-Больцмана (4.30) и закону смещения Вина (4.33), $M=\sigma T^{4}=\sigma b^{4} / \lambda_{m}^{4}$. Поток $\Phi$ – это энергия, теряемая Солнцем ежесекундно. Разделив Ф на $c^{2}$, получим соответствующую массу в кг/с. Таким образом,
\[
\left|\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{~d} t}\right|=\frac{4 \pi R^{2} \sigma b^{4}}{c^{2} \lambda_{m}^{4}}=5,1 \cdot 10^{9} \mathrm{\kappa} / \mathrm{c} .
\]

Это гигантская, на первый взгляд тревожная, величина. Но масса Солнца $m=2 \cdot 10^{30}$ кг. При такой интенсивности излучения масса Солнца уменьшится, скажем, на $1 \%$ за время
\[
t=\frac{m}{|\mathrm{~d} m / \mathrm{d} t|} \approx 4 \cdot 10^{18} \mathrm{c} \approx 10^{11} \text { лет. }
\]

Так что ситуация не безнадежная.
4.7. О квантовых осцилляторах. Система квантовых осцилляторов с частотой $v$ находится при температуре $T$. С какой вероятностью $P_{v}$ можно обнаружить в этой системе осциллятор с энергией $\varepsilon_{v}=(v+1 / 2) h v$ ? Квантовое число $v$ задано.
Р е ше н и е. Искомая вероятность по определению есть
\[
P_{v}=N_{v} / N
\]

где $N_{v}=A \exp \left(-\varepsilon_{v} / k T\right), N$ – полное число осцилляторов с частотой $v$. Раскроем правую часть равенства (1):
\[
P_{v}=\frac{A \exp \left(-\varepsilon_{v} / k T\right)}{\sum_{v=0}^{\infty} A \exp \left(-\varepsilon_{v} / k T\right)}=\frac{\mathrm{e}^{-v x}}{1+\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-2 x}+\ldots},
\]

где $x=h v / k T$. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна $1 /\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)$, поэтому (2) в результате примет вид
\[
P_{v}=\mathrm{e}^{-v x}\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right) .
\]
4.8. Средняя энергия квантового осциллятора. Имеется система, состоящая из невзаимодействующих квантовых осцилляторов с одной и той же частотой $
u$. Энергия каждого осциллятора может принимать значения $\varepsilon_{v}=(v+1 / 2) h v$, где $v=0,1,2, \ldots$ Используя распределение Больцмана, показать, что средняя энергия таких осцилляторов
\[
\langle\varepsilon\rangle=\frac{h v}{2}+\frac{h v}{\mathrm{e}^{h v / k T}-1} .
\]

Р е шен и е. Согласно распределению Больцмана число осцилляторов с энергией, соответствующей квантовому числу $v$, равно
\[
N_{v}=A \exp \left(-\varepsilon_{v} / k T\right),
\]

где $\boldsymbol{A}$ – нормировочный коэффициент. Тогда средняя энергия 〈в определяется формулой
\[
\langle\varepsilon\rangle=\frac{\sum \varepsilon_{v} N_{v}}{\sum N_{v}}=\frac{\sum \varepsilon_{v} \exp \left(-\alpha \varepsilon_{v}\right)}{\sum \exp \left(-\alpha \varepsilon_{v}\right)},
\]

где $\alpha=1 / k T$. Здесь суммирование проводится по $v$ от 0 до $\propto$, и делается это так:
\[
\langle\varepsilon\rangle=-\frac{\partial}{\partial \alpha} \ln \sum \exp \left(-\alpha \varepsilon_{v}\right) .
\]

Известно, что сумма членов бесконечной геометрической прогрессии $\Sigma=a_{1} /(1-q)$, где $a_{1}$ – первый член прогрессии, $q$ – ее знаменатель. В нашем случае это
\[
\sum \exp \left(-\alpha \varepsilon_{v}\right)=\frac{\mathrm{e}^{-\alpha h
u / 2}}{1-\mathrm{e}^{-\alpha / h}} .
\]

Остается взять производную по $\alpha$ от (3) и не забыть знак минус. В результате получим приведенное в условии выражение для (в).
4.9. Фононы. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура которой $\Theta=330 \mathrm{~K}$ и плотность $\rho=8,9$ г/см ${ }^{3}$.

Р еш е н и е. Максимальную энергию фонона находим с помощью (4.50):
\[
\varepsilon_{\text {макс }}=k \Theta=3 \cdot 10^{-2} \text { эВ. }
\]

Для максимального импульса имеем
\[
p_{\text {макс }}=h / \lambda_{\text {мин }} \text {. }
\]

Согласно (4.47) $\lambda_{\text {мин }} \approx 2 d$, где $d$ находим из условия $n \approx 1 / d^{3}$ и $n=\left(N_{A} / M\right) \rho, M$ – молекулярная масса. Отсюда
\[
d \approx \sqrt[3]{M / N_{A} \rho} .
\]

В итоге формула (*) примет вид
\[
p_{\text {макс }} \approx h / 2 d=(h / 2) \sqrt[3]{\rho N_{A} / M}=1,4 \cdot 10^{-19} \mathrm{\Gamma} \cdot \mathrm{cm} / \mathrm{c} .
\]
4.10. Оценить давление фононного газа в меди, дебаевская температура которой $\Theta=330$ К. Концентрация атомов меди равна $n_{0}=$ $=0,84 \cdot 10^{23} \mathrm{~cm}^{-3}$.
Р еш е н и е. Давление идеального газа (в нашем случае фононного) согласно (1.30) равно
\[
p=\frac{2}{3} U,
\]

где $U$ – энергия единицы объема фононного газа, определяемая формулой (4.48). Введем новую переменную $x=h v / k T$ и преобразуем (*) к виду
\[
p=\frac{6 n_{0} k^{4} T^{4}}{h^{3} v_{\text {maKc }}^{3}} \int_{0}^{x_{m}} \frac{x^{3} \mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}-1} .
\]

Теперь учтем, что $T=\Theta$, согласно (4.49) $x_{m}=1$ и значение интеграла (табличное) равно 0,225 . В результате получим:
\[
p=6 n_{0} k \Theta \cdot 0,225 \approx 5 \cdot 10^{8} \Pi \mathrm{Ma}=5 \cdot 10^{3} \text { атм. }
\]
4.11. При нагревании кристалла меди массы $m$ от $T_{1}$ до $T_{2}$ ему было сообщено количество теплоты $Q$. Найти дебаевскую температуру $\Theta$ для меди, если известно, что молярная теплоемкость кристалла при этих температурах зависит от $T$ как
\[
C=\frac{12 \pi^{4}}{5} \frac{R}{\Theta^{3}} T^{3} .
\]

P е ш ен и е. По определению искомая теплота
\[
Q=\int_{T_{1}}^{T_{2}} v C\left(T^{7}\right) d T=\frac{3 \pi^{4}}{5} \frac{m R}{M \Theta^{3}}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right),
\]

где $v-$ количество вещества $(m / M)$. Отсюда
\[
\Theta=\sqrt[3]{\frac{3 \pi^{4}}{5} \frac{m R}{M Q}\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)} .
\]