Теперь нам предстоит раскрыть физический смысл, природу и происхождение непосредственно наблюдаемых параметров $p$, $T$ и др., исходя из молекулярно-кинетических представлений. При этом мы будем использовать статистический метод, интересуясь движением не отдельных молекул, а лишь такими средними величинами, которые характеризуют движение колоссальной совокупности молекул.

Первый шаг на этом пути – выбор модели данной макросистемы. Модель, естественно, выбирают сначала простейшую и с помощью нее проводят оценочный расчет*. Полученные результаты сравнивают с экспериментом. При неудовлетворительном расхождении с опытом модель усложняют, выясняют, как это отразится на результатах и т.д. Это типичный путь познания природы.
* Заметим, что с оценочного подхода начинается построение практически любой серьезной теории. Его можно рассматривать как первое приближение.

Простейшей моделью обладает идеальный газ. Будем считать, что
1) молекулы идеального газа не взаимодействуют (или практически не взаимодействуют) друг с другом;
2) в равновесном состоянии движение молекул полностью хаотично. Это позволяет в грубом приближении считать, что все молекулы движутся только в направлениях $X, Y$ и $Z$, т.е. если в единице объема имеется $n$ молекул, то в каждом из этих направлений движутся по $n / 3$ молекул, или $n / 6$ в одну сторону.

Число ударов молекул о стенку. Разобьем молекулы в каждой единице объема на группы $\Delta n_{i}$, в каждой из которых скорости молекул можно считать практически одинаковыми и равными $v_{i}$, так что $\sum \Delta n_{i}=n$ – полное число молекул в единице объема.

Число $v_{i}$ молекул $i$-й группы, которые достигают ежесекундно единицы поверхности стенки, двигаясь перпендикулярно к ней, равно, как нетрудно сообразить, числу таких молекул в цилиндре длиной $v_{i} \cdot 1$ и сечением $S=1$ (рис.1.8), т.е.
Рис. 1.8
\[
v_{i}=\frac{1}{6} \Delta n_{i} v_{i} .
\]

Суммируя по всем группам, находим
\[
v=\sum v_{i}=\frac{1}{6} \sum \Delta n_{i} v_{i} .
\]

Разделим и умножим последнюю сумму на $n$. В результате приходим к следующему выражению:

где $\langle v\rangle$, – среднее значение скорости молекул. Заметим, что точный расчет дает коэффициент $1 / 4$ (а не $1 / 6$ ). Т.е. несмотря на такие грубые предположения, результат получился вполне приличным.

Оценим число $v$ для воздуха при нормальных условиях. Считая, что $n \sim 10^{19} \mathrm{~cm}^{-3}$ (постоянная Лошмидта) и $v \sim 1 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, получим
\[
v \sim 10^{19} \cdot 10^{5}=10^{24} \mathrm{c}^{-1} \mathrm{~cm}^{-2} .
\]

Давление газа на стенку. Природа давления, как мы догадываемся, это совокупное действие множества молекул. При оценочном подходе будем считать, что каждая молекула, налетая на стенку нормально, в результате столкновения с ней отлетает в противоположном направлении (хотя заведомо ясно, что это не так). До столкновения со стенкой молекула имела импульс $\mathbf{p}_{1}=m \mathbf{v}$ и после столкновения при сделанном предположении – импульс $\mathbf{p}_{2}=-m \mathbf{v}$. Приращение импульса молекулы в результате столкновения
\[
\Delta \mathbf{p}=\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{\mathbf{1}}=m \mathbf{v}-(-m \mathbf{v})=2 m \mathbf{v} .
\]

Такой же импульс, но в противоположном направлении, получила стенка.

Импульс, который передают стенке молекулы $i$-й группы ежесекундно, найдем с помощью (1.26):
\[
p_{i}=2 m v_{i} \cdot v_{i}=\frac{1}{3} m v_{i}^{2} \Delta n_{i} .
\]

Полное давление получим, просуммировав (1.28) по всем группам $\Delta n_{i}$ молекул:
\[
p=\sum p_{i}=\frac{1}{3} m \sum v_{i}^{2} \Delta n_{i} .
\]

Разделив и умножив последнюю сумму в этом выражении на $n$, получим
\[
p=\frac{1}{3} n m\left\langle v^{2}\right\rangle .
\]

Это выражение можно переписать иначе:

где $\left\langle\varepsilon_{\text {пост }}\right\rangle=\left\langle m v^{2} / 2\right\rangle$ – среднее значение поступательной кинетической энергии молекул.

Эту формулу называют основным уравнением кинетической теории газов. Она раскрывает физический смысл макропараметра $p$ : давление газа на стенку определяется средним значением поступательной кинетической энергии молекул (и только поступательной!).

Отметим, что это выражение является точным, несмотря на то, что расчет имеет довольно грубый оценочный характер. Дело в том, что в процессе расчета были допущены две неточности в числовых коэффициентах, которые случайным образом (так иногда бывает) компенсировали друг друга. А именно, для числа столкновений $v$ и передаваемом стенке в среднем импульсе $\Delta p$ каждой молекулой мы использовали коэффициенты соответственно $1 / 6$ и 2 . Точный же расчет дает $1 / 4$ и $4 / 3$. Как видим, их произведение в обоих случаях равно $1 / 3$.

Физический смысл температуры $\boldsymbol{T}$. Сопоставив полученное выражение (1.30) с уравнением Клапейрона (1.7), находим
\[
\left\langle\varepsilon_{\text {пост }}\right\rangle=\frac{3}{2} k T,
\]

где $k$ – постоянная Больцмана
\[
k=R / N_{A}=1,38 \cdot 10^{-23} \text { Дж } / \text { К. }
\]

Формула (1.31) замечательна тем, что вскрывает физический смысл температуры $T$ : температура $T$ выражает среднюю кинетическую энергию молекул.

Следует обратить внимание, что 〈 $\varepsilon_{\text {пост }}$ 〉 зависит только от $T$, от массы же молекул не зависит.
Заменив в (1.30) $\left\langle\varepsilon_{\text {пост }}\right\rangle$ его выражением (1.31), получим

где $n$ – концентрация молекул. Это несколько иная форма уравнения состояния идеального газа. Формулу (1.33) можно, конечно, получить и сразу из уравнения $p V_{m}=R T$, разделив обе части на $V_{m}$ и представив $R$ как $k N_{A}$.

Давление фотонного газа. Предполагается, что излучение (фотонный газ) равновесное. Скорость фотонов равна $c$ и их импульс $p_{\dot{\phi}}=\varepsilon / c$, где $\varepsilon-$ энергия фотона ( $\varepsilon=h v$ ). Представим формулу для давления (1.29) так:
\[
p=\frac{1}{3} n\langle m v \cdot v\rangle=\frac{1}{3} m\left\langle p^{\prime} v\right\rangle .
\]

Подставив вместо импульса $p^{\prime}$ импульс фотона $\varepsilon / c$, а вместо $v$ скорость $c$, получим
\[
p=\frac{1}{3} n\langle\varepsilon\rangle=\frac{1}{3} u,
\]

где $u$ – плотность энергии фотонного газа (излучения).