В квантовой физике, как и в статистической, закономерности имеют вероятностный, статистический характер. Однако есть и принципиальное отличие: в квантовой физике статистический (вероятностный) подход лежит в самой природе микрочастиц, в их волновых свойствах.

Согласно квантовой теории все микрочастицы подразделяют на два класса, которым соответствуют две квантовые статистики:
1) частицы с полуцелым спином, их называют фермионами; они подчиняются статистике Ферми-Дирака;
2) частицы с целым спином – бозоны; они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Других возможностей квантовая теория не допускает. Нет частиц, подчиняющихся классической статистике Больцмана. Последняя является приближенным предельным случаем, в который переходят при определенных условиях эти две квантовые статистики*.

Во всех трех статистиках (классической, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака) допустимые микросостояния считаются равновероятными. Но различие их – в способах определения микросостояний и статистических весов. В статистике Больцмана считается, что даже тождественные частицы принципиально различимы. В квантовых же статистиках, наоборот, считается, что тождественные частицы принципиально неразличимы.

В статистике Ферми-Дирака в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (принцип Паули), а в статистике Бозе-Эйнштейна – любое число частиц.
* Физическая природа различия этих двух квантовых статистик вытекает из принципа неразличимости тождественных частиц, согласно которому существуют два тида волновых $\Psi$-функций, описывающих состояние тождествениых частид, – симметричные и антисимметричные.

Различие статистик поясняет табл. 4.1, где показано как в каждой из них размещаются две тождественные частицы $a$ и $b$ по трем квантовым состояниям (клеткам).
Таблица 4.1
Видно, что в статистике Больцмана всех микросостояний девять и вероятность каждого из них равна $1 / 9$.

В статистиках же Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака состояния в первых трех парах распределения Больцмана неразличимы, и каждая пара рассматривается как одно состояние. Частицы $a$ и $b$ принципиально неразличимы, поэтому они обозначены просто точками. Для бозонов число микросостояний равно шести, и вероятность каждого из них $1 / 6$. Для фермионов последние три распределения статистики Бозе-Эйнштейна невозможны (принцип Паули). Остается только три микросостояния, и вероятность каждого из них равна $1 / 3$.

Фазовые ячейки. Основная задача квантовых статистик это нахождение соответствующих им функций распределения частиц по тем или иным параметрам (например, по энергиям), а также определение средних значений этих параметров, характеризующих наиболее вероятное макросостояние всей системы частиц.

Для описания состояния системы частиц рассматривают воображаемое шестимерное пространство, каждая точка которого характеризуется шестью координатами: $x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}$. Это так называемое фазовое пространство. Состояние системы определяется тем, как распределены в этом пространстве точки, изображающие состояния всех $N$ частиц системы. При этом нужно учесть присущий частицам корпускулярно-волновой дуализм, согласно которому неопределенности координаты $x$ и соответствующей проекции импульса $p_{x}$ могут быть определены только с неопределенностью $\delta x$ и $\delta p_{x}$, произведение которых, согласно принципу неопределенностей Гейзенберга, $\delta \boldsymbol{\delta} \cdot \delta p_{x} \geqslant h$ (здесь $h=2 \pi \hbar$ ). Аналогично и для других пар: $y$ и $p_{y}, z$ и $p_{z}$.

Поэтому естественно считать, что данному состоянию частицы в фазовом пространстве соответствует не точка, а фазовая ячейка, объем которой
\[
\delta \Lambda=\delta x \cdot \delta y \cdot \delta z \cdot \delta p_{x} \cdot \delta p_{y} \cdot \delta p_{z} \approx h^{3} .
\]

Распределение частиц по таким фазовым ячейкам есть предельно подробное квантовое описание состояния системы. Нас будет интересовать наиболее вероятное распределение частиц по фазовым ячейкам. Решение этой задачи достаточно сложно, и его нет смысла здесь приводить. Мы приведем лишь окончательные результаты – распределения частиц по энергиям $\varepsilon_{i}$.

Квантовые распределения. Эти распределения представляют собой функции $f\left(\varepsilon_{i}\right)$, определяющие средние числа частиц в одной фазовой ячейке с энергией $\varepsilon_{i}$, или функции заполнения ячеек:
для фермионов
для бозонов

Здесь $\mu$ – так называемый химический потенциал (некоторая характерная энергия, значение которой можно найти из условия нормировки: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу $N$ частиц макросистемы).

Остановимся подробнее на особенностях этих распределений.
1. Для фермионов функция $f\left(\varepsilon_{i}\right)$ не может быть больше единицы, а для бозонов ее значение может быть любым $(f \geqslant 0)$.
2. Если $f \ll 1$, то в знаменателях обоих распределений можно пренебречь единицей, и формула переходят в
\[
f\left(\varepsilon_{i}\right)=\mathrm{e}^{\left(\mu-\varepsilon_{i}\right) / k T}=A \mathrm{e}^{-\varepsilon_{i} / k T},
\]
т.е. в распределение Больцмана ( $A$ – нормировочный коэффициент). Значит, классическое распределение Больцмана справедливо лишь тогда, когда малы «числа заполнения» фазовых ячеек,– при условии $\left\langle N_{i}\right\rangle \ll 1$. Особо отметим, что в этом случае речь идет о совпадении формул, а отнюдь не о том, что изменяется поведение частиц (фермионы остаются фермионами, бозоны – бозонами).
3. В макросистеме уровни энергии $\varepsilon_{i}$ частиц квазинепрерывны (расположены очень плотно). Поэтому индекс $i$ у $\varepsilon_{i}$ можно опустить.
4. Для бозонов значения $\mu$ в (4.3) не могут быть положительными, иначе при $\varepsilon_{i}<\mu$ окажется, что $f<0$, а это лишено физического смысла. Таким образом, для бозонов $\mu \leqslant 0$. У макросистем с переменным числом бозонов (к числу которых относятся, например, фотоны) $\mu=0$, и формула (4.3) переходит в
\[
f=\frac{1}{\mathrm{e}^{\varepsilon_{i} / k T}-1} .
\]

Для фермионов подобного ограничения не существует.
Число фазовых ячеек. До сих пор мы имели дело с функцией $f(\varepsilon)$, характеризующей, напомним, среднее число частиц с энергией $\varepsilon$ в одной фазовой ячейке. Для дальнейших целей необходимо найти число $\mathrm{d} Z$ фазовых ячеек, в интервале энергий $(\varepsilon, \varepsilon+\mathrm{d} \varepsilon)$.

Чтобы определить $\mathrm{d} Z$, найдем сначала соответствующий объем d $\Lambda$ фазового шестимерного пространства. Для этого в импульсной части фазового пространства выделим шаровой слой радиусом, равным импульсу $p$ частицы, и толщиной $\mathrm{d} p$. Его объем равен $4 \pi p^{2} \mathrm{~d} p$. Умножив его на объем $V$ координатной части фазового пространства (это объем макросистемы), получим искомый элемент объема $\mathrm{d} \Lambda$ фазового пространства:
\[
\mathrm{d} \Lambda=4 \pi p^{2} \mathrm{~d} p \cdot V .
\]

Число $\mathrm{d} Z$ фазовых ячеек в этом элементе объема получим, разделив $\mathrm{d} \Lambda$ на объем одной фазовой ячейки, равный $h^{3}$ согласно (4.1). Кроме того, в дальнейшем нас будет интересовать число фазовых ячеек, приходящихся на единицу объема обычного пространства, поэтому будем считать, что $V=1$. Таким образом, число фазовых ячеек в расчете на единицу объема, занимаемого газом, будет равно
\[
\mathrm{d} Z=\frac{4 \pi}{h^{3}} p^{2} \mathrm{~d} p .
\]

Эта величина имеет размерность см ${ }^{-3}$.
Переход от импульсов к энергиям зависит от природы частиц. Это будет конкретизировано в дальнейшем.

Распределение частиц. Зная число $\mathrm{d} Z$ фазовых ячеек в интервале энергий ( $\varepsilon, \varepsilon+\mathrm{d} \varepsilon$ ) и среднее число частиц в каждой ячейке, т.е. функцию заполнения $f$, мы можем найти число частиц $\mathrm{d} n$ в данном интервале энергий (в расчете на единицу объема газа):
\[
\mathrm{d} n=\gamma f \mathrm{~d} Z,
\]

где $\gamma$ – числовой коэффициент порядка единицы; как мы увидим далее, он связан со спецификой частиц идеального газа.