Уравнение состояния идеального газа. Идеальным называют газ, уравнение состояния которого имеет вид

его называют уравнением Клапейрона. Здесь $v$ — количество вещества, измеряемое числом молей, $R$ — универсальная газовая постоянная:
$$R=8,314\text{ Дж/(моль }\cdot \kappa ).$$

Моль — это количество вещества, содержащее число частиц, равное постоянной Авогадро:
$$N_A=6,022\cdot {10}^{23}{\text{ моль }}^{-1}.$$

Молю соответствует масса — молярная масса, — разная для различных газов. Эти массы приведены в периодической системе элементов, где у каждого элемента первое число — порядковый номер, а второе — молярная масса в г/моль.

С молекулярной точки зрения идеальный газ состоит из молекул, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало*. Это присуще всем газам при достаточно большом разряжении.
* Вместе с тем, взаимодействие между молекулами даже в случае идеальных raзов должно быть, но весьма слабое. Оно необходимо, так как только благодаря нему в системе может установиться равновесие.

Простота модели идеального газа делает ее наиболее подходящей для ознакомления с методами изучения макросистем и с соответствующими понятиями.

Теплоемкость идеального газа. Прежде всего отметим тот важный экспериментальный факт, что внутренняя энергия $U$ идеального газа зависит только от температуры $T$, причем
$$U\sim T$$

в довольно широком диапазоне температур. Коэффициент пропорциональности зависит от рода газа.

Теплоемкостыо $C$ тела (газа) называют количество тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин:

Эта величина, как и d’Q, зависит от процесса. Без указания процесса выражение (1.9) не имеет смысла. Еще раз: теплоемкость С является функцией процесса.

Мы будем пользоваться в основном молярной теплоемкостью $С$, Дж/(моль — К). В таблицах же обычно указывают удельную теплоемкость
$$c=C/M,$$

где $c$, Дж/(кг $\cdot$ К), $M$ — молярная масса.
Особое значение имеют теплоемкости для двух процессов: при постоянном объеме $C_V$ и при постоянном давлении $C_p$. При постоянном объеме $\mathrm{d}V=0$, и согласно (1.6) имеем
$$C_V=(\partial U/\partial T{)}_V.$$

Такая форма записи подчеркивает, что при дифференцировании $U$ по $T$ объем $V$ следует считать постоянным (это так называемая частная производная).

Опыт показывает, что во многих случаях теплоемкость $C$ в широком интервале температур почти не меняется. Если считать, что $C$ совсем не зависит от $T$, то из (1.11) следует: $\mathrm{d}U=C_V\mathrm{d}T$, и можно написать простую формулу
$$U=C_{V}T\text{. }$$

Произвольную постоянную интегрирования мы опустили, поскольку она не существенна: во все соотношения входит не сама функция $U$, а только разность ее значений (аналогично потенциальной энергии).

Представим выражение (1.9) для теплоемкости, учитывая (1.6) и (1.11), в виде

Если процесс изобарический ( $p=$ const), то из уравнения состояния (1.7) следует, что $p(\mathrm{d}V/\mathrm{d}T)=R$, и соответствующая молярная теплоемкость
$$C_p=C_V+R.$$

Важной характеристикой газов является отношение $C_p/C_V$, которое обозначают буквой $\gamma$ и называют постоянной адиабаты. Имея в виду (1.14), запишем
$$\gamma =\frac{C_p}{C_V}=1+\frac{R}{C_V},$$

откуда молярная теплоемкость
$$C_V=R/(\gamma -1).$$

Из опыта следует, что значения $\gamma$ для разных газов лежат в пределах $1,3÷1,67$.

Подставив (1.15) в (1.12), получим другие формы выражения для внутренней энергии $v$ молей идеального газа:

Пример. Определим постоянную адиабаты $\gamma$ для газовой смеси, состоящей из $u_1$ молей газа с постоянной адиабаты ${\gamma }_1$ и $u_2$ молей газа с постоянной ${\gamma }_2$.
Исходя из того, что $\gamma =C_p/C_V$, запишем
$$\gamma =\frac{v_1{C}_{p1}+v_2{C}_{p2}}{v_1{C}_{V1}+v_2{C}_{V2}}.$$

Учитывая, что молярные теплоемкости $C_V=R/(\gamma -1)$ и $C_p=\gamma R/(\gamma -1)$, преобразуем (*) к виду
$$\gamma =\frac{v_1{\gamma }_1({\gamma }_2-1)+u_2{\gamma }_2({\gamma }_1-1)}{v_1({\gamma }_2-1)+u_2({\gamma }_1-1)}.$$