Уравнение состояния идеального газа. Идеальным называют газ, уравнение состояния которого имеет вид

его называют уравнением Клапейрона. Здесь $v$ – количество вещества, измеряемое числом молей, $R$ – универсальная газовая постоянная:
\[
R=8,314 \text { Дж/(моль } \cdot \kappa) .
\]

Моль – это количество вещества, содержащее число частиц, равное постоянной Авогадро:
\[
N_{A}=6,022 \cdot 10^{23} \text { моль }^{-1} .
\]

Молю соответствует масса – молярная масса, – разная для различных газов. Эти массы приведены в периодической системе элементов, где у каждого элемента первое число – порядковый номер, а второе – молярная масса в г/моль.

С молекулярной точки зрения идеальный газ состоит из молекул, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало*. Это присуще всем газам при достаточно большом разряжении.
* Вместе с тем, взаимодействие между молекулами даже в случае идеальных raзов должно быть, но весьма слабое. Оно необходимо, так как только благодаря нему в системе может установиться равновесие.

Простота модели идеального газа делает ее наиболее подходящей для ознакомления с методами изучения макросистем и с соответствующими понятиями.

Теплоемкость идеального газа. Прежде всего отметим тот важный экспериментальный факт, что внутренняя энергия $U$ идеального газа зависит только от температуры $T$, причем
\[
U \sim T
\]

в довольно широком диапазоне температур. Коэффициент пропорциональности зависит от рода газа.

Теплоемкостыо $C$ тела (газа) называют количество тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин:

Эта величина, как и d’Q, зависит от процесса. Без указания процесса выражение (1.9) не имеет смысла. Еще раз: теплоемкость С является функцией процесса.

Мы будем пользоваться в основном молярной теплоемкостью $С$, Дж/(моль – К). В таблицах же обычно указывают удельную теплоемкость
\[
c=C / M,
\]

где $c$, Дж/(кг $\cdot$ К), $M$ – молярная масса.
Особое значение имеют теплоемкости для двух процессов: при постоянном объеме $C_{V}$ и при постоянном давлении $C_{p}$. При постоянном объеме $\mathrm{d} V=0$, и согласно (1.6) имеем
\[
C_{V}=(\partial U / \partial T)_{V} .
\]

Такая форма записи подчеркивает, что при дифференцировании $U$ по $T$ объем $V$ следует считать постоянным (это так называемая частная производная).

Опыт показывает, что во многих случаях теплоемкость $C$ в широком интервале температур почти не меняется. Если считать, что $C$ совсем не зависит от $T$, то из (1.11) следует: $\mathrm{d} U=C_{V} \mathrm{~d} T$, и можно написать простую формулу
\[
U=C_{V} T \text {. }
\]

Произвольную постоянную интегрирования мы опустили, поскольку она не существенна: во все соотношения входит не сама функция $U$, а только разность ее значений (аналогично потенциальной энергии).

Представим выражение (1.9) для теплоемкости, учитывая (1.6) и (1.11), в виде

Если процесс изобарический ( $p=$ const), то из уравнения состояния (1.7) следует, что $p(\mathrm{~d} V / \mathrm{d} T)=R$, и соответствующая молярная теплоемкость
\[
C_{p}=C_{V}+R .
\]

Важной характеристикой газов является отношение $C_{p} / C_{V}$, которое обозначают буквой $\gamma$ и называют постоянной адиабаты. Имея в виду (1.14), запишем
\[
\gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}}=1+\frac{R}{C_{V}},
\]

откуда молярная теплоемкость
\[
C_{V}=R /(\gamma-1) .
\]

Из опыта следует, что значения $\gamma$ для разных газов лежат в пределах $1,3 \div 1,67$.

Подставив (1.15) в (1.12), получим другие формы выражения для внутренней энергии $v$ молей идеального газа:

Пример. Определим постоянную адиабаты $\gamma$ для газовой смеси, состоящей из $
u_{1}$ молей газа с постоянной адиабаты $\gamma_{1}$ и $
u_{2}$ молей газа с постоянной $\gamma_{2}$.
Исходя из того, что $\gamma=C_{p} / C_{V}$, запишем
\[
\gamma=\frac{v_{1} C_{p 1}+v_{2} C_{p 2}}{v_{1} C_{V 1}+v_{2} C_{V 2}} .
\]

Учитывая, что молярные теплоемкости $C_{V}=R /(\gamma-1)$ и $C_{p}=\gamma R /(\gamma-1)$, преобразуем (*) к виду
\[
\gamma=\frac{v_{1} \gamma_{1}\left(\gamma_{2}-1\right)+
u_{2} \gamma_{2}\left(\gamma_{1}-1\right)}{v_{1}\left(\gamma_{2}-1\right)+
u_{2}\left(\gamma_{1}-1\right)} .
\]