Равновесное тепловое излучение в замкнутой полости представляет собой совокупность стоячих электромагнитных волн с дискретными частотами. Попытки теоретически объяснить наблюдаемое распределение спектральной плотности излучения по частотам с классической точки зрения оказались несостоятельными и породили так называемую «проблему теплового излучения». В 1900 г. она была решена Планком путем введения в процесс взаимодействия излучения с веществом идеи квантования.

Эйнштейн сделал следующий шаг. Он предположил, и это подтвердилось экспериментом, что само излучение представляет собой фотонный газ, газ идеальный. У фотонов спин равен единице. Значит это бозоны, а они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Число фотонов в полости не сохраняется, оно зависит от температуры. А для систем с переменным числом бозонов, как было сказано в § 4.1 , химический потенциал $\mu=0$, и функция (4.3) принимает вид (4.5), т.е.
\[
f=\frac{1}{\mathbf{e}^{\varepsilon / k T}-1} .
\]

Для фотонов $\varepsilon=h v$ и $p=h v / c$, поэтому число квантовых состояний (фазовых ячеек) в интервале частот ( $v, v+\mathrm{d} v$ ) в расчете на единицу объема фотонного газа равно согласно (4.7)
\[
\mathrm{d} Z=\frac{4 \pi}{c^{3}} v^{2} \mathrm{~d} v
\]

Графики функций $f$ и $\mathrm{d} Z / \mathrm{d} v$ для фотонного газа представлены на рис. 4.9 и рис. 4.10. Следует обратить внимание на то, что обе функции ведут себя с ростом частоты $v$ взаимно противоположно: $f$ убывает, а $\mathrm{d} Z / \mathrm{d} v$ растет.
Рис. 4.9
Рис. 4.10
В соответствии с формулой (4.8) число фотонов с частотами в интервале ( $v, v+\mathrm{d} v$ ) равно
\[
\mathrm{d} n=2 f \mathrm{~d} Z=\frac{8 \pi v^{2}}{c^{3}} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{e}^{h
u / k T}-1} .
\]

Коэффициент 2 появился в связи с двумя независимыми поляризациями излучения во взаимно перпендикулярных плоскостях. Другими словами, он указывает на две возможные поперечные поляризации фотона. Напомним, что в случае электронов этот коэффициент учитывал две возможные «ориентации» спина электрона.

График распределения фотонов по частотам, т.е. $\mathrm{d} n / \mathrm{d} v$, показан на рис. 4.11. Площадь под кривой равна полному числу $n$ фотонов в расчете на единицу объема фотонного газа.
Pис. 4.11

Теперь перейдем к спектральной плотности энергии излучения (фотонного газа): $u_{v}=\mathrm{d} u / \mathrm{d} v$, где $\mathrm{d} u=h v \cdot \mathrm{d} n$. В результате получим:
Pис. 4.12
Это знаменитая формула План$\kappa a$. Её открытие и интерпретация положили начало созданию квантовой физики. График этой зависимости от частоты $v$ показан на рис. 4.12.
При переходе от $v$ и $h$ к циклической частоте $\omega=2 \pi
u$ и $\hbar=h / 2 \pi$ надо учесть, что $u_{
u} \mathrm{d} v=u_{\omega} \mathrm{d} \omega$. Тогда формула Планка приобретает вид:
\[
u_{0}=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{1}{\mathrm{e}^{\hbar_{\omega} / k T}-1} .
\]

Вернемся к формуле (4.24), графики которой при разных температурах представлены на рис. 4.12, где $T_{1}<T_{2}<T_{3}$. Площадь под каждой из этих кривых равна полной плотности энергии $u$ при соответствующей температуре. Выясним, как эта величина ( $u$ ) зависит от $T$. Для этого ради упрощения преобразований представим (4.24) в виде
\[
u_{v}=v^{3} F(v / T),
\]

где $F$ – функция, вид которой до открытия Планка был неизвестен. Кстати, в таком виде формула (4.26), была получена Вином и получила название формулы Вина.
Воспользовавшись (4.26), запишем:
\[
u=\int_{0}^{\infty} u_{v} \mathrm{~d} v=\int_{0}^{\infty} v^{3} F\left(\frac{v}{T}\right) \mathrm{d} v=T^{4} \int_{0}^{\infty} x^{3} F(x) \mathrm{d} x,
\]

где введена новая переменная $x=v / T$. Последний интеграл представляет собой некоторую постоянную $a$, и мы приходим к выводу, что
\[
u=a T^{4} .
\]

Закон Стефана-Больцмана. Вместо плотности энергии излучения $и$ удобнее пользоваться понятием энергетической светимости $M$, которая выражает поток энергии излучения с единицы поверхности по всем направлениям в пределах телесного угла $2 \pi$. Можно показать, что обе эти величины связаны соотношением
\[
M=\frac{c}{4} u
\]

Остается учесть (4.28), и мы получим

Эта формула и выражает закон Стефана-Больцмана. Здесь $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана. С помощью формулы Планка можно найти ее зависимость от постоянных $c, h, k$ и ее числовое значение:
\[
\sigma=5,67 \cdot 10^{-8} \mathrm{Br} /\left(\mathrm{M}^{2} \cdot \mathrm{K}^{4}\right) .
\]

Если в стенках полости с равновесным тепловым излучением (фотонным газом) сделать небольшое отверстие, то можно экспериментально исследовать спектральный состав выходящего через это отверстие излучения. Это было проделано для разных температур полости. Результаты оказались в прекрасном соответствии с формулой Планка и законом Стефана-Больцмана.

В данном случае отверстие в стенке полости играет роль так называемого черного тела. Его особенностью является способность полностью поглощать падающее на него извне излучение. Термин черное не следует понимать буквально: при повышении температуры отверстие начинает «краснеть\”, а затем может стать и белым. После этого не должно вызывать особого удивления, если в качестве примера черного тела будет названо… Солнце. Дело в том, что спектральный состав его излучения очень близок к описываемому формулой Планка (и Солнце при этом полностью поглощает падающее на него излучение).

Закон смещения Вина. При теоретических исследованиях спектральный состав излучения удобнее характеризовать по частотам, в экспериментальных же – по длинам волн. Имея в виду соотношение $u_{y} \mathrm{~d} v=-u_{\lambda} \mathrm{d} \lambda$, формулу (4.26) и то, что $v=c / \lambda$, запишем:
\[
u_{\lambda}=-u_{v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} \lambda}=\frac{1}{\lambda^{3}} \mathscr{F}(\lambda T) \frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{\lambda^{5}} \mathscr{F}(\lambda T) .
\]

Наличие знака минус в исходной формуле связано с тем, что с ростом частоты ( $\mathrm{d} v>0$ ) длина волны уменьшается ( $\mathrm{d} \lambda<0$ ).

Найдем теперь длину волны $\lambda_{m}$, соответствующую максимуму функции $u_{\lambda}$. Это значит, надо решить уравнение $\mathrm{d} u_{\lambda} / \mathrm{d} \lambda=0$ :
\[
\frac{\mathrm{d} u_{\lambda}}{\mathrm{d} \lambda}=\frac{1}{\lambda^{5}} T \frac{\mathrm{d} \mathscr{F}}{\mathrm{d} \lambda}-\frac{5}{\lambda^{6}} \mathscr{F}=\frac{1}{\lambda^{6}}\left(\lambda T \frac{\mathrm{d} \mathscr{F}}{\mathrm{d} \lambda}-5 \mathscr{F}\right)=0 .
\]

Выражение в скобках есть некоторая функция $\Phi(\lambda T)$. При длине волны $\lambda_{m}$, соответствующей максимуму функции $u_{\lambda}$, функция $\Phi(\lambda T)$ должна обратиться в нуль: $\Phi\left(\lambda_{m} T\right)=0$. Решение последнего уравнения ириводит к некоторому значению $b$ величины $\lambda_{m} T$. Таким образом, можно записать, что

Это и есть закон смещения Вина. Значение постоянной $b$ можно найти экспериментально или с помощью формулы Планка:
\[
b=0,29 \mathrm{~cm} \cdot \kappa .
\]

Из формулы (4.33) видно, что с ростом температуры длина волны $\lambda_{m}$ уменьшается, а значит, частота $v_{m}$ увеличивается, как показано на рис. 4.12. Заметим только, что $v_{m}
eq c / \lambda_{m}$, поскольку $v_{m}$ соответствует распределению по частотам, а $\lambda_{m}$ – по длинам волн.

С помощью закона смещения Вина легко определить температуру $T$ электромагнитного излучения (или его источника), спектр которого соответствует формуле Планка. Так находят, например, температуру звезд.

Пример. Определим длину волны $\lambda_{m}$, соответствующую максимуму функции распределения $u_{\lambda}$ теплового излучения, энергетическая светимость которого $M=30 \mathrm{BT} / \mathrm{cm}^{2}$.
Для этого следует использовать закон смещения Вина, температура $T$ в котором связана с величиной $M$ законом Стефана-Больцмана. В результате получим:
\[
\begin{aligned}
\lambda_{m}=b \sqrt[4]{\sigma / M} & =0,29 \cdot 10^{-2} \sqrt[4]{5,67 \cdot 10^{-8} /\left(30 \cdot 10^{4}\right)}= \\
& =1,9 \cdot 10^{-6} \mathrm{M}=1,9 \mathrm{mкм} .
\end{aligned}
\]