2.1. Функция распределения вероятностей. Распределение вероятностей некоторой величины $x$ описывается формулой $f(x) \sim \sqrt{x}$ в интервале $(0, a)$. Вне этого интервала $f(x)=0$. Найти:
a) наиболее вероятное и среднее значения величины $x$;
б) вероятность нахождения $x$ в интервале $(0, a / 2)$. симуму функции $f(x)$. Из рис. 2.15 сразу видно, что $x_{\text {вер }}=a$. Это случай, не требующий выполнения условия $\mathrm{d} f / \mathrm{d} x=0$.
Среднее значение $x$ по определению есть
$\langle x\rangle=\int_{0}^{a} x f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a} x A \sqrt{x} \mathrm{~d} x$,
где $A$ – нормировочный множи
тель. Его находим из условия
\[
\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{a} \sqrt{x} \mathrm{~d} x=1,
\]

Рис. 2.15
откуда $A=3 / 2 a^{3 / 2}$. Подстановка значения $A$ в (*) и интегрирование дают в результате
\[
\langle x\rangle=(3 / 5) a .
\]
б) По определению искомая вероятность
\[
P=\int_{0}^{a / 2} A \sqrt{x} \mathrm{~d} x=1 / \sqrt{8}=0,353 .
\]

2.2. Плотность распределения местонахождения частиц по плоскости зависит от расстояния $r$ до точки 0 как
\[
f(r)=A(1-r / a), \mathrm{M}^{-2},
\]

если $r \leqslant a$. Здесь $a$ задано, $A$ – некоторая неизвестная постоянная. Найти:
a) наиболее вероятное расстояние $r_{\text {вер }}$ частиц от точки 0 ;
б) среднее расстояние частиц от точки 0 .
$\mathrm{P}$ е ш е и и а Вероятность $\mathrm{d} P$ нахождения частиц в интервале $(r, r+\mathrm{d} r$ ) равна произведению $f(r)$ на площадь кольца радиуса $r$ и шириной $d r$, т.е.
\[
\mathrm{d} P=f(r) \cdot 2 \pi r \mathrm{~d} r .
\]

Отсюда плотность вероятности в расчете на единицу ширины кольца равна $\mathrm{d} P / \mathrm{d} r$. Обозначив эту величину как $F(r)$, запишем
\[
F(r)=f(r) \cdot 2 \pi r=2 \pi A r(1-r / a) .
\]

Функции $f(r)$ и $F(r)$ показаны на рис. 2.16. Наиболее вероятное расстояние $r_{\text {вер }}$ находим из условия $\mathrm{d} F / \mathrm{d} r=0$, откуда $r_{\text {вер }}=a / 2$.
б) По определению
\[
\langle r\rangle=\int_{0}^{a} r F(r) \mathrm{d} r,
\]

где функция $F(r)$ должна быть
Puc. 2.16 нормирована на единицу – для определения $A$ :
\[
\int F(r) d r=2 \pi A \int_{0}^{a} r(1-r / a) d r=1 .
\]

Отсюда $\mathrm{A}=3 / \pi a^{2}$. Теперь остается взять интеграл (3). В результате получим $\langle r\rangle=a / 2$. Т.е. в данном случае $\langle r\rangle=r_{\text {вер }}$.
2.3. Распределение Максвелла. Найти с помощью распределения Максвелла среднее значение модуля проекции скорости $\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle$, если температура газа $T$ и масса каждой молекулы $m$.
Р е ш е н и е. По определению искомая величина

\[
\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\left|v_{x}\right| \varphi\left(v_{x}\right) \mathrm{d} v_{x} .
\]

Поскольку подынтегральная функция всюду положительна и симметрична относительно начала координат ( $v_{x}=0$ ), то интеграл (1) можно записать так:
\[
\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle=2 \int_{0}^{\infty} v_{x} \varphi\left(v_{x}\right) \mathrm{d} v_{x} .
\]

После подстановки функции $\varphi\left(v_{x}\right)$ и некоторых преобразований получим
\[
\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle=\left(\frac{2 k T}{\pi m}\right)^{1 / 2} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\eta} \mathrm{d} \eta,
\]

где введена новая переменная $\eta=m v_{x}^{2} / 2 k T$. Последний интеграл равен единице, и мы имеем
\[
\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle=(2 k T / \pi m)^{1 / 2} .
\]
2.4. Газ состоит из молекул, масса каждой из которых равна $m$. При какой температуре $T$ этого газа число молекул со скоростями в заданном малом интервале ( $v_{0}, v_{0}+\delta v$ ) будет максимально? Какова наиболее вероятная скорость молекул, соответствующая такой температуре?
Р е ш е и е. Первый вопрос означает, что надо найти $T$, при которой функция (2.20) будет максимальной для заданной скорости $v$. Зависимость этой функции от $T$ имеет вид
\[
F(T) \sim T^{-3 / 2} \exp \left(-m v_{0}^{2} / 2 k T\right) .
\]

Максимум функции $F(T)$ находим из условия $\partial F / \partial T=0$, откуда следует
\[
T_{0}=m v_{0}^{2} / 2 k
\]

При этой температуре
\[
v_{\text {вер }}=\sqrt{2 / 3} v_{0} .
\]

Заметим, что скорость $v_{0}$ при температуре $T$ совпадает со среднеквадратичной. Рассмотренную здесь ситуацию поясняет

рис. 2.17, из которого видно, что при $T_{0}$ функция $F\left(v_{0}\right)=$ макс. Нумерация $1,2,3,4$ соответствует распределениям при $T_{1}<$ $<T_{2}\left(T_{0}\right)<T_{3}<T_{4}$ :
Рис. 2.17
2.5. Газ из молекул, масса каждой из которых $m$, находится при температуре T. Найти функцию распределения молекул по дебройлевским длинам волн $f(\lambda)$ и наиболее вероятное значение $\lambda$ при данной температуре.
Реше ни е. Из условия $f(\lambda) \mathrm{d} \lambda=-F(v) \mathrm{d} v$, где $\lambda=2 \pi \hbar / m v$, находим
\[
f(\lambda)=-F(v) \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} \lambda}=C \lambda^{-4} \exp (-a / \lambda),
\]

где $C=4 \pi\left(2 \pi \hbar^{2} / m k T\right)^{3 / 2}$ и $a=2 \pi^{2} \hbar^{2} / m k T$.
Наиболее вероятное значение $\lambda_{\text {вер }}$ находим из условия $\mathrm{d} f / \mathrm{d} \lambda=0$, откуда
\[
\lambda_{\text {вер }}=\pi \hbar / \sqrt{m k T} .
\]
2.6. Вычислить с помощью распределения Максвелла число $v$ молекул газа, падающих ежесекундно на единичную площадь стенки сосуда. Температура газа $T$, концентрация молекул $n$ и масса каждой молекулы $m$ предполагаются известными. щадке стенки сосуда (в произвольном месте). Тогда произведение $\mathrm{d} n\left(v_{x}\right) \cdot v_{x}$ – это число молекул в цилиндре длиной $v_{x}$ единичной плащади сечения, имеющих проекции скорости в интервале ( $v_{x}$, $v_{x}+\mathrm{d} v_{x}$ ). Оно равно числу $\mathrm{d} v$ ударов о стенку ежесекундно этой группы молекул:
\[
\mathrm{d}
u=\mathrm{d} n\left(v_{x}\right) \cdot v_{x}
\]

Согласно (2.13) $\mathrm{d} n\left(v_{x}\right)=n \varphi\left(v_{x}\right) \mathrm{d} v_{x}$, где $\varphi\left(v_{x}\right)$ – функция распределения Максвелла по $v_{x}$ (2.16).
Интегрирование (1) по всем $v_{x}$ дает искомый результат:
\[

u=\int v_{x} \mathrm{~d} n\left(v_{x}\right)=C n \int \exp \left(-m v_{x}^{2} / 2 k T\right) v_{x} \mathrm{~d} v_{x},
\]

где $C=(m / 2 \pi k T)^{1 / 2}$. Введем новую переменную $\eta=m v_{x}^{2} / 2 k T$. Тогда (2) примет вид
\[

u=C n \frac{k T}{m} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\eta} \mathrm{d} \eta=n \sqrt{\frac{k T}{2 \pi m}} .
\]

Последнее выражение можно представить как
\[
v=\frac{1}{4} n\langle v\rangle
\]

где $\langle v\rangle=\sqrt{8 k T / \pi m}$. Полученный результат (4) соответствует формуле (1.27). Таким образом, мы получили точное значение коэффициента в формуле (1.27): не $1 / 6$, а $1 / 4$.
2.7. Определить с помощью распределения Максвелла давление, оказываемое газом на стенку, если температура газа $T$ и концентрация молекул $n$.
Р ешения и е. Направим ось $X$ перпендикулярно к стенке сосуда (в произвольном месте). Каждая молекула передает при падении на стенку импульс $m v_{x}$. В единице объема содержится $\mathrm{d} n=n \varphi\left(v_{x}\right) \mathrm{d} v_{x}$ молекул с проекциями скоростей в интервале ( $v_{x}, v_{x}+\mathrm{d} v_{x}$ ). Передаваемый этими молекулами импульс в единицу времени равен
\[
m v_{x} \cdot\left(\mathrm{d} n \cdot v_{x}\right),
\]

где величина в круглых скобках – это число соответствующих молекул в объеме цилиндра длиной $v_{x}$ единичного сечения, или число ударов, испытываемых стенкой ежесекундно. Тогда полное давление (суммарный импульс в секунду) определяется как
\[
p=2 \int m v_{x} \cdot v_{x} \mathrm{~d} n\left(v_{x}\right)=2 \int_{0}^{\infty} m v_{x}^{2} n \varphi\left(v_{x}\right) \mathrm{d} v_{x},
\]

где двойка перед интегралом учитывает тот факт, что импульс передается стенке при падении молекул и такой же – при отражении. Подстановка в последний интеграл выражения $\varphi\left(v_{x}\right)$ согласно

(2.16) и введение новой переменной $\chi=v_{x} \sqrt{m / 2 k T}$ позволяет формулу (2) представить в виде
\[
p=\frac{4 n k T}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} \chi^{2} \exp \left(-\chi^{2}\right) \mathrm{d} \chi .
\]

Этот интеграл табличный, он равен $\sqrt{\pi} / 4$, поэтому в результате
\[
p=n k T,
\]

что и следовало ожидать.
2.8. Распределение Больцмана. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в тонких слоях 1 и 2 , расстояние между которыми по высоте равно $h$, отличается друг от друга в $\eta$ раз $\left(\eta=N_{1} / N_{2}\right.$ ). Температура среды $T$, диаметр частиц $d$ и их плотность на $\Delta \rho$ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данный постоянную Больцмана.
Р еш ен и е. Согласно распределению Больцмана отношение частиц в слоях 1 и 2 определяется как
\[
N_{2} / N_{1}=\exp \left[-\left(m-m_{0}\right) g h / k T\right],
\]

где учтено, что частицы находятся в поле, образованном совместным действием силы тяжести ( $m g$ ) и силы Архимеда ( $-m_{0} g$ ). Преобразуем разность масс в круглых скобках выражения (1):
\[
m-m_{0}=\Delta \rho \cdot V=(\pi / 6) d^{3} \Delta \rho .
\]

После подстановки (2) в (1) соотношение (1) представим в виде
\[
\ln \frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{\pi d^{3} g h \Delta \rho}{6 k T},
\]

откуда, имея в виду, что $N_{1} / N_{2}=\eta$, следует
\[
k=\frac{\pi d^{3} g h \Delta \rho}{6 T \ln \eta} .
\]
2.9. Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном потенциальном поле зависит от расстояния $r$ до центра поля как $U=a r^{2}$, где $a$ – положительная постоянная. Температура газа $T$, концентрация молекул в центре поля $n_{0}$. Найти:

a) число молекул $d N$ с потенциальной энергией в интервале $(U, U+\mathrm{d} U)$
б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии молекул.
$\mathrm{P}$ ешение. а) Молекулы с такими значениями $U$ будут находиться в сферическом слое объемом $\mathrm{d} V=4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r$. Тогда
\[
\mathrm{d} N=n_{0} \mathrm{e}^{-U / k T} \cdot 4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r .
\]

Поскольку $U=a r^{2}$, то $\mathrm{d} U=2 a r \mathrm{~d} r$ и формулу (1) можно представить в виде
\[
\mathrm{d} N=\left(2 \pi n_{0} / a^{3 / 2}\right) \mathrm{e}^{-U / k T} \sqrt{U} \mathrm{~d} U .
\]
б) Решение сводится к нахождению $U$, при котором функция $\mathrm{d} N / \mathrm{d} U$ в уравнении (2) имеет максимум. Обозначив $\mathrm{d} N / \mathrm{d} U$ как $f(U)$, запишем условие, при котором $f=$ макс (из вида этой функции будет видно, что мы имеем дело именно с максимумом). Итак, вычислив производную $\mathrm{d} f / \mathrm{d} U$ и приравняв полученный результат к нулю, получим
\[
U_{\text {вер }}=k T / 2 .
\]
2.10. Распределение Максвелла- Больцмана. Газ из молекул массы $m$ находится в центральном поле, где потенциальная энергия молекул равна $U(r), r$ – расстояние от центра поля. Температура газа $T$, концентрация молекул в центре поля $n_{0}$. Найти число молекул $\delta N$ в тонком сферическом слое ( $r, r+\delta r$ ) со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на $\delta \eta$-часть $(\delta \eta \ll 1)$.
Р е ш е и е. Число молекул в данном слое
\[
\delta N_{0}=n_{0} \mathrm{e}^{-U / k T} 4 \pi r 2 \delta r .
\]

Из них доля молекул, скорости которых отличаются от $v_{\text {вер }}$ не более, чем на $\delta v$, определяется формулой
\[
\delta P=F(v) \delta v=4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} v^{2} \exp \left(-\frac{m v^{2}}{2 k T}\right) \delta v,
\]

где вместо $v$ надо подставить $v_{\text {вер }}=\sqrt{2 k T / m}$ и вместо $\delta v-$ величину $v_{\text {вер }} \frac{\delta v}{v_{\text {вер }}}=v_{\text {вер }} \cdot 2 \delta \eta$. Тогда (2) примет вид

\[
\delta P=4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2}\left(\frac{2 k T}{m}\right)^{3 / 2} \mathrm{e}^{-1} 2 \delta \eta=\frac{8 \mathrm{e}^{-1}}{\sqrt{\pi}} \delta \eta .
\]

Искомое значение $\delta N$ равно произведению (1) на (3):
\[
\delta N=\delta N_{0} \cdot \delta P=32 \sqrt{\pi} n_{0} \mathrm{e}^{-E / k T} r^{2} \delta r \delta \eta,
\]

где $E=U+k T$.
2.11. Дискретное распределение Больцмана. Найти отношение количеств молекул водорода на первых возбужденных колебательном и вращательном уровнях при температуре газа $T=880 \mathrm{~K}$. Собственная частота колебаний молекулы $\omega=0,83 \cdot 10^{15} \mathrm{c}^{-1}$, ее момент инерции $I=4,6 \cdot 10^{-39} \Gamma \cdot \mathrm{cm}^{2}$.
Р еш ен и е. Воспользуемся формулами (1.41) для дозволенных значений вращательной и колебательной энергии. Для больщей ясности изобразим интересующие нас уровни
Рис. 2.18 (рис. 2.18). Согласно распределению Больцмана (2.40),
\[
\begin{aligned}
\frac{N_{\text {кол }}}{N_{\text {вр }}} & =\frac{1}{2 r+1} \exp \left(-\frac{\hbar \omega-\hbar^{2} / I}{k T}\right)= \\
& =\frac{1}{3} \exp \left[-\frac{\hbar(\omega-\hbar / I)}{k T}\right]=3,1 \cdot 10^{-4} .
\end{aligned}
\]