6.1. Диффузия. Два сосуда 1 и 2 одинакового объема $V$ соединены трубкой большой длины $l$ и малой площади $S$ поперечного сечения. В начальный момент $t=0$ в одном сосуде имеется газ 1 с концентрацией $n_{10}$, а в другом — газ 2 с концентрацией $n_{20}$. Давления и температуры в обоих сосудах одинаковы. Найти концентрацию $n_{1}^{(1)}$ в первом сосуде как функцию времени $t$, считая коэффициент диффузии $D$ известным.
Р еш ен и е. Одинаковость давлений и температур в обоих сосудах означает, что концентрации газов 1 и 2 тоже одинаковы, и процесс смешения газов будет происходить только за счет диффузии. В момент $t$ из условия сохранения частиц газа 1 имеем
\[
n_{1}^{(1)}+n_{1}^{(2)}=n_{10} .
\]
Поток частиц газа 1 равен убыли этих частиц в сосуде 1 за единицу времени, т.е.
\[
j_{1} S=-\partial N_{1} / \partial t .
\]
Преобразуем это выражение с помощью формулы (6.9) для плотности потока частиц:
\[
D \frac{n_{1}^{(1)}-n_{1}^{(2)}}{l} S=-V \frac{\partial n_{1}^{(1)}}{\partial t} .
\]
Чтобы исключить $n_{1}^{(2)}$, представим разность концентраций газа 1 на концах трубки с помощью (1) как
\[
n_{1}^{(1)}-n_{1}^{(2)}=n_{1}^{(1)}-\left(n_{10}-n_{1}^{(1)}\right)=2 n_{1}^{(1)}-n_{10} .
\]
Кроме того, введем для упрощения преобразований обозначение $\alpha=2 D S / V l$. Тогда уравнение (3) примет вид
\[
\frac{\partial n_{1}^{(1)}}{\partial t}+\alpha n_{1}^{(1)}=\frac{\alpha}{2} n_{10} .
\]
Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение
\[
n_{1}^{(1)}=\left(n_{10} / 2\right)\left(1+\mathrm{e}^{-\alpha t}\right) .
\]
Видно, что при $t \rightarrow \infty$ газ 1 распределится поровну между обоими сосудами.
6.2. Вязкость. Два одинаковых параллельных диска, оси которых совпадают, расположены на расстоянии $h$ друг от друга. Радиус каждого диска равен $R$, причем $R \gg h$. Один диск вращают с небольшой угловой скоростью $\omega$, другой диск неподвижен. Найти момент сил трения, действующий на каждый диск, если вязкость среды между дисками равна $\eta$.
Ре шен и е. В условиях задачи неявно предполагается, что краевыми эффектами можно пренебречь, а малость угловой скорости $\omega$ означает, что упорядоченное движение слоев среды между дисками имеет ламинарный характер (без турбулентности). Кроме того, не сказано, относительно какой оси надо найти момент сил трения. Но это не существенно, поскольку в данном случае результирующая сила, действующая на каждый диск, равна нулю, и поэтому
Рис. 6.12 (как доказывается в механике) искомый момент не зависит от выбора оси. Ради простоты будем проводить расчет относительно оси дисков.
Сначала найдем момент силы, действующий на малый элемент $\mathrm{d} S$ (рис. 6.12), площадь которого $\mathrm{d} S=r \mathrm{~d} \varphi \cdot \mathrm{d} r$ :
\[
\delta N=r \mathrm{~d} F_{\text {тр }}=r \eta \frac{\partial v}{\partial z} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} r .
\]
В нашем случае производная $\partial v / \partial r=v / h=\omega r / h$. Учитывая это, найдем момент сил, действующих на бесконечно тонкое кольцо с радиусами $r$ и $r+\mathrm{d} r$ :
\[
\mathrm{d} N=\int_{\varphi=0}^{2 \pi} \delta N=2 \pi \eta \frac{\omega}{h} r^{3} \mathrm{~d} r .
\]
Проинтегрировав последнее выражение по $r$ от 0 до $R$, получим:
\[
N=\pi \eta \omega R^{4} / 2 h .
\]
6.3. Согласно формуле Пуазейля поток жидкости плотностью $\rho$ через поперечное сечение трубы равен
\[
\mu=\frac{\pi \rho a^{4}}{8 \eta} \frac{p_{1}-p_{2}}{l}, к г / \mathrm{c},
\]
где $a$ и $l$ — радиус и длина трубы, $p_{1}-p_{2}$ — разность давлений на ее торцах, причем $p_{1}>p_{2}$. Воспользовавшись этой формулой, определить вязкость $\eta$ газа. Известны величины $\mu, a, p_{1}, p_{2}, l$, молярная масса $M$ и температура $T$ газа. Газ считать идеальным.
Р е ш е н и е. Пусть ось $X$ направлена вдоль оси трубы. Тогда в слое толщины $\mathrm{d} x$ можно считать газ несжимаемым и применить к нему формулу Пуазейля:
\[
\mu=\frac{\pi \rho a^{4}}{8 \eta}\left(-\frac{\partial p}{\partial x}\right) .
\]
Перепишем это выражение, имея в виду, что для идеального газа плотность $\rho=p M / R T$,
\[
\mu=-A p \frac{\partial p}{\partial x},
\]
где $A=\pi a^{4} M / 8 \eta R T$. Разделив в (2) переменные $p$ и $x$, проинтегрируем полученное уравнение и найдем:
\[
\mu l=-A\left(p_{2}^{2}-p_{1}^{2}\right) / 2 .
\]
Остается раскрыть коэффициент $A$, и мы получим
\[
\eta=\frac{\pi a^{4} M}{16 \mu R T} \frac{p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{l} .
\]
6.4. Теплопроводность. Стержень длины $l$ с теплоизолирующей боковой поверхностью состоит из материала, теплопроводность которого изменяется с температурой как $\chi=\alpha / T$, где $\alpha$ — постоянная. Торцы стержня поддерживаются при температурах $T_{1}$ и $T_{2}$. Найти зависимость $T(x)$, где $x$ — расстояние от торца с температурой $T_{1}$.
Р е ш е н и. Плотность потока тепла в стационарных условиях не должна зависеть от $x$, т.е.
\[
\frac{\alpha}{T} \frac{\partial T}{\partial x}=C,
\]
где’ $C$ — константа. Из этого уравнения следует
\[
\frac{\mathrm{d} T}{T}=\frac{C}{\alpha} \mathrm{d} x, \quad \ln \frac{T}{T_{1}}=\frac{C}{\alpha} x .
\]
Для нахождения константы $C$ учтем, что при $x=l$ температура $T=T_{2}$ и $\ln \left(T_{2} / T_{1}\right)=(C / \alpha) l$, откуда
\[
C=\frac{\alpha}{l} \ln \frac{T_{2}}{T_{1}} .
\]
В результате из второй формулы (2) получим
\[
T=T_{1} \mathrm{e}^{c x / \alpha}=T_{1} \exp \left(\frac{x}{l} \ln \frac{T_{2}}{T_{1}}\right)=T_{1}\left(T_{2} / T_{1}\right)^{x / l} .
\]
6.5. Два металлических тела 1 и 2 с теплоемкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ соединены между собой однородным стержнем длины $l$ с площадью поперечного сечения $S$ и достаточно малой теплопроводностыо $x$. Вся система теплоизолирована. В момент $\boldsymbol{t}=0$ разность температур между телами 1 и 2 равна ( $\left.T_{2}-T_{1}\right)_{0}$. Пренебрегая теплоемкостью стержня, найти разность температур $T_{2}-T_{1}$ между этими телами в зависимости от времени $t$.
Р еш ен и е. Исходим из того, что количество тепла, передаваемого от более нагретого тела к менее нагретому за время $\mathrm{d} t$, определяется как
\[
j_{Q} S \mathrm{~d} t=-C_{2} \mathrm{~d} T_{2}, \quad j_{Q} S \mathrm{~d} t=C_{1} \mathrm{~d} T_{1},
\]
где в правой части равенств записано тепло, отдаваемое за время $\mathrm{d} t$ более нагретым телом ( $-C_{2} \mathrm{~d} T_{2}$ ), и тепло, получаемое за это же время менее нагретым телом ( $C_{1} \mathrm{~d} T_{1}$ ). Принимая во внимание формулу (6.12), согласно которой в нашем случае $j_{Q}=\varkappa\left(T_{2}-T_{1}\right) / l$, разделим первое и второе равенства (1) соответственно на $C_{2}$ и $C_{1}$, а затем сложим отдельно левые и правые части полученных выражений. В результате получим
\[
\varkappa \frac{T_{2}-T_{1}}{l} S\left(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\right) \mathrm{d} t=-\mathrm{d}\left(T_{2}-T_{1}\right) .
\]
Введем обозначения $\tau=T_{2}-T_{1}$ и $\alpha=\varkappa S\left(1 / C_{1}+1 / C_{2}\right) / l$, тогда (2) примет вид $\alpha \tau \mathrm{d} t=-\mathrm{d} \tau$, или
\[
\frac{\mathrm{d} \tau}{\tau}=-\alpha \mathrm{d} t .
\]
Проинтегрировав это уравнение, получим $\ln \left(\tau / \tau_{0}\right)=-\alpha t$, или $\tau=\tau_{0} \mathrm{e}^{-\alpha t}$. Переходя к первоначальным параметрам, имеем
\[
T_{2}-T_{1}=\left(T_{2}-T_{1}\right)_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\alpha t},
\]
где $\alpha=\left(1 / C_{1}+1 / C_{2}\right) n S / l$.
6.6. Найти распределение температуры в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры сфер $T_{1}$ и $T_{2}$, а $R_{2}>R_{1}$.
Р ешен и е. Запишем поток тепла через промежуточную концентрическую сферу радиуса $r: \dot{Q}=-\gamma(\partial T / \partial r) 4 \pi r^{2}$. Эта величина в стационарном случае не зависит от $r$, поэтому
\[
r^{2}(\partial T / \partial r)=C,
\]
где $C$ — константа. Из (1) следует
\[
\mathrm{d} T=C \frac{\mathrm{d} r}{r^{2}}, \quad T-T_{1}=C\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{r}\right) .
\]
Константу $C$ находим из того условия, что при $r=R_{2}$ температура $T=T_{2}$, значит
\[
C=\frac{T_{2}-T_{1}}{1 / R_{1}-1 / R_{2}} .
\]
Подстановка (3) в (2) дает искомый результат:
Pис. 6.13
\[
T=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{1 / R_{1}-1 / R_{2}}\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{r}\right) .
\]
Попутно рассмотрим, какой вид имеет зависимость $T(r)$ в тех случаях, когда $T_{2}>T_{1}$ и $T_{2}<T_{1}$.
В первом случае согласно (2) $C>0$ и $\partial T / \partial r=C / r^{2}$, т.е. с ростом $r$ наклон кривой $T(r)$ уменьшается. Во втором случае $C<0$, наклон кривой $T(r)$ «отрицательный» и уменьшается по модулю. Оба случая показаны на рис. 6.13.
6.7. Постоянный электрический ток течет по проводу, радиус сечения которого $R$ и теплопроводность $\chi$. В единице объема провода выделяется тепловая мощность $w$. Найти распределение температуры в проводе, если установившаяся температура на его поверхности равна $T_{0}$.
Р е ш ени е. Рассмотрим цилиндрический коаксиальный слой $r$, $r+\mathrm{d} r$. В расчете на единицу длины этого слоя в него входит поток тепла $\left(j_{Q} \cdot 2 \pi r\right)_{r}$, выходит $\left(j_{Q} \cdot 2 \pi r\right)_{r+d r}$, внутри же слоя выделяется количество тепла $w 2 \pi r \mathrm{~d} r$. Составим баланс тепла:
\[
\left(r j_{Q}\right)_{r+\mathrm{d} r}-\left(r j_{Q}\right)_{r}=w r \mathrm{~d} r .
\]
Это уравнение можно представить как
\[
\mathrm{d}\left(r j_{Q}\right)=w r \mathrm{~d} r
\]
или, учитывая (6.12), — в виде
\[
-\mathrm{d}\left(x r \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=w r \mathrm{~d} r .
\]
Проинтегрировав это выражение, получим
\[
-\varkappa r \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} r}=w \frac{r^{2}}{2} .
\]
Разделим переменные $T, r$ и еще раз проинтегрируем:
\[
-\int_{T}^{T_{0}} \mathrm{~d} T=\frac{w}{2 \varkappa} \int_{r}^{R} r \mathrm{~d} r, \quad T=T_{0}+\frac{w}{4 \varkappa}\left(R^{2}-r^{2}\right) .
\]
6.8. Длина свободного пробега. Азот находится при нормальных условиях. При какой частоте колебаний длина звуковой волны будет равна средней длине свободного пробега молекул данного газа? Эффективный диаметр молекулы азота $d=0,37$ нм.
Р е ш е и е. Искомая частота $v=v / \lambda$, где $v-$ скорость звуковой волны, $\lambda$ — длина волны. Последняя, по условию, должна быть равной величине (6.17). А скорость волны $v=\sqrt{\gamma R T / M}$. В результате подстановки в исходное выражение получим
\[
u=\pi d^{2} p N_{A} \sqrt{2 \gamma / M R T}=5,5 \cdot 10^{9} \text { Гц. }
\]
6.9. Вязкость. Тонкостенный цилиндр $C$ (рис. 6.14) массы $m$, радиуса $a$ и длины $l$ подвешен на упругой нити и находится в зазоре между двумя закрепленными цилиндрами, заполненном газом $X$ с молярной массой $M$ и температурой $T$. Поверхность цилиндра $C$ равноудалена от поверхностей закрепленных цилиндров на расстояние $\Delta a$, причем $\Delta a \ll a$.
Рис. 6.14
Цилиндр $C$ совершает затухающие крутильные колебания вокруг вертикальной оси $O O$ с временем релаксации $\tau$. Найти эффективное сечение $\sigma$ атомов $X$.
Р е ш е н и. Чтобы найти $\sigma$, надо знать вязкость $\eta$, а ее можно определить из уравнения динамики для крутильных колебаний:
\[
I \ddot{\varphi}=-\gamma \varphi-N_{\text {тр } z},
\]
где $I=m a^{2}$ — момент инерции относительно оси $O O, \gamma-$ коэффициент упругости нити, $N_{\text {тр z }}$ — момент сил трения, действующий на цилиндр $C$.
Вычислим этот момент. На единицу площади цилиндра $C$ действует сила $f=2 \eta(\partial u / \partial r)$. Появление коэффициента 2 связано с тем, что у цилиндра $C$ две поверхности. В нашем случае (малый зазор) $\partial v / \partial r=v / \Delta a=\dot{\varphi} a / \Delta a$, и $f=2 \eta(a / \Delta a) \dot{\varphi}$. Тогда
\[
N_{\mathrm{Tp} z}=a F_{\mathrm{rp}}=a f S=\alpha \dot{\varphi},
\]
где $S$ — площадь цилиндра $C(S=2 \pi a l)$, а коэффициент
\[
\alpha=4 \pi \eta l a^{3} / \Delta a \text {. }
\]
Теперь представим уравнение (1) в стандартном виде:
\[
\ddot{\varphi}+2 \beta \dot{\varphi}+\omega_{0}^{2} \varphi=0, \quad 2 \beta=\alpha / I .
\]
Напомним, время релаксации $\tau$ — это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Оно связано с коэффициентом затухания $\beta$ как $\tau=1 / \beta$. Поэтому из второго выражения (4) с учетом (3) находим, что вязкость
\[
\eta=\frac{m \Delta a}{2 \pi l a \tau} .
\]
И наконец, имея в виду, что $\eta$ определяется выражением (6.25), а $\lambda$-уточненной формулой (6.17), получим:
\[
\sigma=\frac{4}{3} \frac{\tau l a}{m \Delta a N_{A}} \sqrt{\pi R T M} .
\]
6.10. Теплопроводность. Пространство между двумя большими горизонтальными пластинами заполнено гелием, диаметр атомов которого равен $d$. Расстояние между пластинами $h$. Нижняя пластина поддерживается при температуре $T_{1}$, верхняя — при $T_{2}$, причем $T_{2}>T_{1}$. Давление газа нормальное. Найти плотность потока тепла.
Р е ш е и е. Ясно, что поток тепла направлен вниз. Плотность потока дается формулой (6.12):
\[
j_{Q}=-\varkappa \frac{\partial T}{\partial x} .
\]
Теплопроводность $x$ определяется формулой (6.28):
\[
x=\frac{1}{3}\langle v\rangle \rho c_{V}=\alpha \sqrt{T},
\]
где, как следует из преобразований, коэффициент
\[
\alpha=(R / \pi)^{3 / 2} / d^{2} N_{A} M^{1 / 2},
\]
$R$ — универсальная газовая постоянная, $M$ — молярная масса.
Подстановка (2) в (1) приводит к уравнению
\[
j_{Q} d x=-\alpha \sqrt{T} \mathrm{~d} T .
\]
Проинтегрировав это выражение, получим:
\[
j_{Q}=\frac{2 \alpha}{3 l}\left(T_{2}^{3 / 2}-T_{1}^{3 / 2}\right) .
\]
