Система обще-частных методов является универсальной в том смысле, что может быть применена к решению задач почти из лобого раздела курса общей физики. Овладев сравкительно небольшим количеством обще-частных методов, можно успешно решать практически любые поставленные задачич.
Обще-частных методов относительно немного. Из них мы рассмотрим следующие: кинематический, динамический, эаконое сохрамения, расчета физических полей, дифференцирования и иктегрирования. Первые четыре метода будут рассмотрены в соответствующих главах. В настоящем параграфе изложен метод дифференцирования и интегрирования (метод ДИ).
В методе дИ большое значение имеет положение о гракицах применимости физических законов. Как известно, содержание физического закона не является абсолютным, а его использование ограничено рамками условий применимости.
Часто физический закон можно распространить (изменив его форму) и за гранищы его применимости с помощыо метода ДИ. В основе этого метода лежат два принципа: принцип возмокности представления закона в дифференциальнод форме и принцип суперпозиции (если величины, входящие в закон, аддитивны).
Сущиость метода ДИ заключается в следующем. Предположим, что физический закон имеет вид
\[
K=L M \text {, }
\]
где $K, L$ и $M$ – некоторые физические величины, причем условием его применимости является $L=$ const. Как распространить данный закон на случай, если $L
eq$ const и $L$ язляется некоторой функцией от $M$, т. е. $L=L(M)$ ?
Выделим столь малый промежуток $\mathrm{d} M$ изменения величины $M$, чтобы изменением величины $L$ на этом промежутке можно было пренебречь (рис. 6.1). Таким образом, п р и бл и жен но на участке $\mathrm{d} M$ можно $L$ считать постоянной ( $L=$ const) и, следовательно, условия применимости закона (6.1) на участке dM выполнены (приближенно). Тогда
\[
\mathrm{d} K=L(M) \mathrm{d} M \text {, }
\]
где $\mathrm{d} K$ – изменение величины $K$ на участке $\mathrm{d} M$.
Используя принцип суперпозиции (суммируя величины по всем участкам изменения величины $M$ ), получаем значение величины $K$ в виде
\[
K=\int_{M_{1}}^{M_{2}} L(M) \mathrm{d} M,
\]
где $M_{1}$ и $M_{2}$ – начальное и конечное значения величины $M$.
Таким образом, метод ДИ состоит из двух частей. В первой находят дифференциал (6.2) искомой величины. Для этого в большинстве случаев производят или деление тел на столь малые части, чтобы последние можно было принять за материальные точки, или деление большого промежутка времени на такие малые промежуточки времени $\mathrm{d} t$, чтобы в течение этих малых промежутков процесс можно было нарным), и т. д.
Во второй части метода производт суммирование (интегрирование). Наиболее трудными в этой части являются выбор переменкой иктегрировакия и определение пределов
интегрировамия. Для определения переменной интегрирования необходимо детально проанализировать, от каких переменных зависит дифференциал искомой величины и какая переменная является главной, наиболее существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают в качестве переменной при интегрировании. После этого все остальные переменные выражают как функции от этой переменной. В результате дифференциал искомой величины принимает вид функции от переменной интегрирования. Затем определяот пределы интегрирования как крайние (предельные) значения переменной интегрирования. После вычисления определенного интеграла получают числовое значение искомой величины.
Пример 6.1 Тонкий стерэсень длины $l=1$ м равномерно зарязсем зарлдом $Q=10^{-1}$ Кл. Определить потекциал электрическоео поля этого заряда в точке $A$, располозсенной на оси стерзсня на расстоянии $d=1$ м от его конца (рис. 6.2). Среда – вакуум.
Решени е. Ответ, записанный в виде $\varphi=Q /(4 \pi \varepsilon, \alpha)$, откуда следует, что $\varphi=9.10^{-3} \mathrm{~B}$, является ошибочным, ибо эта формула справедлива только для потенциала электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом. В нашем случае заряд $Q$ расположен на теле (стержне), геометрическими размерами которого ( $l=1$ м) нельзя пренебречь по сравнению с характерным расстоянием ( $d=1 \mathrm{~m}$ ), рассматриваемым в данной задаче. Следовательно, заряд $Q$ нельзя считать точечным.
Применим метод ди. Разделим стержень на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку. Поэтому заряд, расположенный на таком участке, можно считать точечным. Рассмотрим один такой участок длины $\mathrm{d} x$, отстоящий от точки $\boldsymbol{A}$ на расстоянии $x$. Заряд этого участка точечный и составляет $\mathrm{d} Q=(Q / l) \mathrm{d} x$. Заряд $\mathrm{d} Q$ создает ялектрическое поле, потенциал $\mathrm{d}$ которого в точке $A$ может быть вычислен по формуле
\[
\mathrm{d} \varphi=\frac{\mathrm{dQ}}{4 \pi \epsilon_{0} x} .
\]
Подставив в (6.4) значение $d Q=(Q / L) d x$, получаем дифференциал искомой величины как функцию одной переменной:
\[
\mathrm{d} \varphi=\frac{Q}{4 \pi e_{0} l} \frac{\mathrm{d} x}{x} .
\]
Первая часть метода закончена. Переходим к суммированию потенциалов полей, созданных всеми элементарными зарядами (по построению они все точечные), на которые был разделен первоначальный заряд Q. Переменная интегрирования $x$ изменяется в пределах от $d=1$ м до $d+l=2$ м. Интегрируя (6.5) по $x$ в этих пределах, окончательно получаем значение искомой величины:
\[
\Phi=\int_{d}^{d+t} \frac{Q \mathrm{~d} x}{4 \pi \varepsilon_{0} / x}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} l} \ln \left(1+\frac{l}{d}\right) .
\]
Подставив числовые значения, получим $\varphi \approx 6,3 \cdot 10^{-3}$ В.
Метод дифференцирования и интегрирования является универсальным и необходимым как при изучении теорин, так и в особенности при решении задач пофизике. В механике с помощью этого метода производят вычисление работы переменной силы, моментов инерции, при изучении физических полей его используют для расчета напряженностей и потенциалов полей, созданных неточечными массами, неточечными зарядами, макротоками и т. д.
Математическую основу метода составляют дифференцирование и интегрирование функций. Поэтому рассматриваемый метод позволяет практически осуществить межпредметную связь при изучении курсов физики и высшей математики.
