Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике При исследовании магнитного поля в физическую систему необходимо включать источники магнитного поля и их магнитные поля. Основная задача теории магиитного поля (так же как и теории поля тяготения и электрического поля) заключается в расчете характеристик магнитного поля произвольной системы токов и движущихся электрических зарядов, что эквивалентно определению магнитной индукции В в произвольной точке поля. Эту задачу решают, применяя закон Био – Савара – Лапласа в дифференциальной форме принцип суперпозиции и метод ДИ (см. § 6). Нередко используют и теорему о циркуляции вектора B в особенности в тех случаях, когда закон (23.1) неприменим. поля: расчет индукции магнитного поля кругового тока $I$ радиуса $R$ в точке $A$, находящейся на оси на расстоянии $\boldsymbol{x}$ oт ero плоскости (рис. 23.1) – результаты приводим без Далее можно поставить и решить буквально десятки задач на расчет магнитных полей, созданных различными комбинапиями этих источников: рассчитать поле кквадратаз, ктреугольниказ, єпрямоугольниказ, ктрапеции, поле фигур, образованных окружностями, полупрямыми, отрезками, и т. д., и т. п. Все эти задачи решают методом суперпозиции. Наиболее существенным здесь является учет векторного характера принципа суперпозиции. а по (23.3) – модуль вектора $\mathbf{B}_{2}$ : По принципу суперпозиции, Пример 23.2 По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса $R$ течет ток плотности $j$. Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника. Решение. Так как проводник не тонкий, то закон Био – Савара – Лапласа (23.1) и его следствие (23.4) применять нельзя. Используем теорему о циркуляции вектора B (23.2). Рассмотрим точку $A_{1}$, расположенную на расстоя- нии $r_{1}$ от оси проводника (рис. 23.4). Проведем окружность радиуса $r_{1}$ с центром $O$ на оси проводника. В силу симметрии модуль вектора $\mathbf{B}_{1}$ в каждой точке окружности одинаков. Сумма токов $\Sigma I$, охватываемая этим контуром (окружностью), равна $j \pi r_{1}^{2}$. Таким образом, по теореме о циркуляции (23.2), Отсюда определяем модуль вектора $\mathbf{B}_{1}$ магнитной индукции в точке $A_{1}$ : Рассмотрим точку $A_{\overline{2}}$, расположенную на расстоянии $r_{2}>R$ от оси проводника (23.4). Применяя теорему о циркуляции, находим Следовательно, магнитное поле вне проводника График индукции магнитного поля сплошного цилиндрического проводника представлен на рис. 23.5. Применим метод ДИ. Разделим трубку на столь узкие кольца, чтобы каждое из них можно было считать за тонкий круговой проводник. Рассмотрим одно такое узкое кольцо шириной $\mathrm{d} x$, находящееся на расстоянии $x$ от произвольной точки $A_{1}$ (рис. 23.6). Элементарный ток этого узкого кольца создает по (23.3) в точке $A_{1}$ элементарную магнитную индукцию Удобнее выбрать за переменную интегрирования угол $\alpha$, под которым радиус каждого узкого кольда виден из точки $A_{1}$. Так как то Отсюда после интегрирования получмем Если ввести ток на единичную длину трубки то (23.8) піримет вид Формула (23.10) справедлива и для соленоида, если учесть очевидное соотношение где $n$ – число витков на единичную длину соленоида, $I_{i}-$ сила тока в соленоиде. Итак, для конечного соленоида Полученные формулы (23.8), (23.10) и (23.11) справедливы и для точки $A_{2}$ (рис. 23.6), находящейся на оси трубки вне ее. Заметим, что для точки $A_{1}$ угол $\alpha_{2}$ всегда тупой, а для точки $A_{2}$ – всегда острый (исклочая точки на торцах трубки). Полезно исследовать различные частные случаи: точка $A_{1}$ расположена в середине трубки, на ее концах и т. д., а также случай бесконечной трубки или соленоида $(l \rightarrow \infty)$ Рассмотрим один такой проводник шириной $\mathrm{d} l$ (рис. 23.7). Элементарный ток 9того проводника в точке $O$ создает магнитное поле, элементарная магнитная индукция которого (по (23.12)) Легко видеть, что результирующий вектор В направлен по оси $O Y$ (т. е. $B_{x}=0$ ). Проекция вектора dВ на ось $O Y$ За переменную интегрирования выберем угол $\alpha$. Так как $\mathrm{d} l=R \mathrm{~d} \alpha$, то Отсюда после интегрирования получаем где $\alpha_{0}=l / R$ – центральный угол дуги $l$. Если $\alpha_{0}=\pi$, то (23.13) дает Пример 23.5 По тонкой пряиой бесконечной ленте иириной $l$ идет ток I. Расситать индукцию магнитмого поля этого тока в произеольмой точке О (рис. 23.8). оси которой направим, как показано на рис. 23.8. Для расчета магнитного поля применим метод ДИ (как и в двух предыдущих примерах, непосредственно применять закон Био – Савара – Лапласа и его следствия нельзя). Разделим бесконечную ленту на столь узкие прямые и бесконечные участки, чтобы каждый из них можно было принять за тонкий прямой бесконечный проводник. Рассмотрим один такой участок проводника шириной $\mathrm{d} l$ (рис. 23.8). Элементарный ток этого участка создает в точке $O$ магнитное поле, модуль магнитной индукции которого (по (23.12)) Пусть точка $O$ удалена от плоскости ленты на расстояние $r_{0}$. Тогда Таким образом, Найдем проекции вектора dB на оси $O X$ и $O Y$ : Отсюда после интегрирования получим Введя ток на единичную ширину ленты $l_{0}=I / l$, найдем В случае симметричного расположения точки $O$ (при $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ ) имеем $B_{x}=0, B_{y}=\mu_{4} / \alpha_{1} / \pi$. Для ленты бесконечной ширины (т. е. плоскости) $B_{x}=0, B_{y}=\mu_{0} I_{0} / 2$ (поле плоскости с равномерно распределенным током $I_{0}$ однородно). Если индукция магнитного поля известна (или рассчитана методами, изложенными выше), то болышинство задач сводится в дальнейшем к решению соответствующих задач механики (нередко с применением метода ДИ). Наиболее распространенными здесь являются задачи, связанные с поведением плоского контура с током в магнитном поле. Часто приходится вычислять силы и их механические моменты, действуощие на контур, определять работу перемещення контура в магнитном поле и т. д. Применим метод ДИ. Разделим проводник на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было считать элементом тока. Рассмотрим один такой участок, длина которого равна $\mathrm{d} l$. Модуль вектора dF элементарной силы, действующей на этот участок, по закону Ампера составляет Легко видеть, что все элементарные векторы $\mathrm{dF}_{\text {f }}$ направлены вдоль оси OZ. Поэтому векторное суммирование сводится к арифметическому. Так как $\mathrm{d} l=R \mathrm{~d} \alpha$, то после интегрирования (23.16) по углу $\alpha$ получаем Можно рассмотреть множество вариантов решенной задачи: магнитное поле направлено вдоль оси $O X$, вдоль оси $O Z$, под различными углами к осям и т. д. Все эти задачи могут быть решены одним и тем же методом ДИ. При отклонении рамки на малый угол $\alpha$ от положения равновесия возникает момент сил Ампера где где _J – момент инерщии рамки относительно оси $O O_{1}$, $\beta=\ddot{\alpha}-$ угловое ускорение рамки. Момент инерции рамки Подставляя в уравнение (23.19) значение момента сил Ампера (23.17) и значение момента инерции рамки (23.20), находим Учитывая, что для малых колебаннй $\sin \alpha \approx \alpha$, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний рамки: Сравнивая полученное уравнение (23.21) с общим уравнением гармонических колебаний, определяем угловую частоту колебаний рамки: и период ее колебаний: Известно, что при перемещении плоского контура с током I в магнитном поле совершается работа где $\Delta Ф$ – изменение магнитного потока через контур. Если перемещается точечный магнитный диполь (плоский контур с током I достаточно малых геометрических размеров), вектор магнитного момента которого Пример 23.8 В условиях примера 23.3 точенныї магкитньй диполь с магнитньм моментом $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$, переоначально находиешийся ма оси трубки в ее середине (точка $A_{1}$ на рис. 23.11), перемецается вдоль оси в точку $A_{2}$ так, что вектор $\mathrm{p}_{\mathrm{m}}$ остается параллельным вектору В. Onределить работу, совершенную при перемещении диполя. Решения из (23.24) видно, что для решения задачи достаточно рассчитать индукцию магнитного поля $B_{1}$ в точке $A_{1}$ и индукцию $B_{2}$ в точке $A_{2}$. По формуле (23.8) получаем Следовательно, из (23.24) находим Если в магнитном поле перемещается неточечный магнитный диполь, т. е. обычный плоский контур с током $I$, то нередко для расчета магнитиых потоков пспользуют метод Ди. является неоднородным, то решение $\Phi_{1}=B_{1} S$ (где $S=l b$ – площадь рамки) неверно. Применим метод ди. Разделим площадь рамки на столь узкие полосы, чтобы в пределах каждой такой полосы магнитное поле можно было бы приближенно считать однородным. Рассмотрим одну такую полоску шириной $\mathrm{d} x$ (рис. 23.12), находящуюся на расстоянии $\boldsymbol{x}$ от прямого тока 1. Элементарный магнитный поток через эту полоску Отсюда после интегрирования по $\boldsymbol{x}$ находим магнитный поток: Таким образом, После подстановки числовых значений получаем $A \approx 7,1 \cdot 10^{-6}$ Дж.
|
1 |
Оглавление
|