При исследовании магнитного поля в физическую систему необходимо включать источники магнитного поля и их магнитные поля.

Основная задача теории магиитного поля (так же как и теории поля тяготения и электрического поля) заключается в расчете характеристик магнитного поля произвольной системы токов и движущихся электрических зарядов, что эквивалентно определению магнитной индукции В в произвольной точке поля. Эту задачу решают, применяя закон Био — Савара — Лапласа в дифференциальной форме
$$\mathrm{dB}=\frac{{\mu }_0/[\mathrm{dl}]}{4\pi r^3},$$

принцип суперпозиции и метод ДИ (см. § 6). Нередко используют и теорему о циркуляции вектора B
$$\oint \mathbf{B}\mathrm{d}\mathbf{l}={\mu }_0\mathbf{\Sigma }I\text{, }$$

в особенности в тех случаях, когда закон (23.1) неприменим.
Сначала полезно решить несколько элементарных задач для двух весьма распространенных источников магнитного

поля: расчет индукции магнитного поля кругового тока $I$ радиуса $R$ в точке $A$, находящейся на оси на расстоянии $\mathit{x}$ oт ero плоскости (рис. 23.1) — результаты приводим без
150
вычислений,-
$$B=\frac{{\mu }_0/R^2}{2{(R^2+x^2)}^{3/1}},$$
\» расчет индукции поля отрезка проводника с током $I$ в точке $A$, расположенной на расстоянии $r_0$ от него (рис. 23.2),
$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r_0}(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2).$$

Далее можно поставить и решить буквально десятки задач на расчет магнитных полей, созданных различными комбинапиями этих источников: рассчитать поле кквадратаз, ктреугольниказ, єпрямоугольниказ, ктрапеции, поле фигур, образованных окружностями, полупрямыми, отрезками, и т. д., и т. п. Все эти задачи решают методом суперпозиции. Наиболее существенным здесь является учет векторного характера принципа суперпозиции.
Пример 23.1 Oпределить модуль вектора магнитноа индукции В магнитного поля, созданного системой тонких проводников (рис. 23.3), по которьм идет ток $I$, — точке $A\{0,R,0\}$, яеляоццейся центром кругового проводника радиуса $R$. никами: полубесконечным прямым проводником $XO$, круговым проводником радиуса $R$, центр которого расположен в точке $A\{0,R,0\}$, а его плоскость совпадает с плоскостыо $\mathrm{ZOY}$, и полубесконечным прямым проводником OZ. По всем проводникам течет один и тот же ток $I$. Вектор ${\mathbf{B}}_1$ магнитной индукции поля проводника $XO$ лежит в плоскости $\mathrm{ZOY}$ и направлен против оси $OZ$; вектор ${\mathbf{B}}_3$; магнитной индукшии кругового тока лежит в плоскости $XOY$ и направлен против оси $OX$; вектор ${\mathbf{B}}_3$ магнитной индукции проводника $OZ$ лежит в той же плоскости $XOY$, но направлен противоположно вектору B2 (рис. 23.3). Из (23.4) находим модули векторов ${\mathbf{B}}_1$ и ${\mathbf{B}}_3$ ?
$$B_1=B_3=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R},$$

а по (23.3) — модуль вектора ${\mathbf{B}}_2$ :
$$B_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}.$$

По принципу суперпозиции,
$$B=\sqrt{B_1^2+{(B_2-B_3)}^2}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi R}\sqrt{2(2{\pi }^2-2\pi +1)}.$$

Пример 23.2 По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса $R$ течет ток плотности $j$. Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника. Решение. Так как проводник не тонкий, то закон Био — Савара — Лапласа (23.1) и его следствие (23.4) применять нельзя. Используем теорему о циркуляции вектора B (23.2). Рассмотрим точку $A_1$, расположенную на расстоя-

нии $r_1$ от оси проводника (рис. 23.4). Проведем окружность радиуса $r_1$ с центром $O$ на оси проводника. В силу симметрии модуль вектора ${\mathbf{B}}_1$ в каждой точке окружности одинаков. Сумма токов $\mathrm{\Sigma }I$, охватываемая этим контуром (окружностью), равна $j\pi r_1^2$. Таким образом, по теореме о циркуляции (23.2),
$$B_1\cdot 2\pi r_1={\mu }_{0}j\pi r_1^2.$$

Отсюда определяем модуль вектора ${\mathbf{B}}_1$ магнитной индукции в точке $A_1$ :
$$B_1=1/2{\mu }_0\dot{j}{r}_1.$$

Рассмотрим точку $A_{\bar{2}}$, расположенную на расстоянии $r_2>R$ от оси проводника (23.4). Применяя теорему о циркуляции, находим
$$B_2\cdot 2\pi r_2={\mu }_{0}j\pi R^2.$$

Следовательно, магнитное поле вне проводника
$$B_2=\frac{{\mu }_{0}j{R}^2}{2r_2}.$$

График индукции магнитного поля сплошного цилиндрического проводника представлен на рис. 23.5.
Пример 23.3 Тонкая лента шириной $l$ свернута в трубку радиуса R (рис. 23.6). По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток I. Определить модуль вектора магнитной индукции в произвольной точке на оси трубки.
Решение. Проводник нельзя считать ни тонким, ни элементом тока, поэтому непосредственное применение закона Био — Савара — Лапласа (23.1) и его следствия (23.3) запрещено. Трудно здесь использовать и теорему о циркуляции (23.2), так как магнитное поле лишено симметрии.

Применим метод ДИ. Разделим трубку на столь узкие кольца, чтобы каждое из них можно было считать за тонкий круговой проводник. Рассмотрим одно такое узкое кольцо шириной $\mathrm{d}x$, находящееся на расстоянии $x$ от произвольной точки $A_1$ (рис. 23.6). Элементарный ток этого узкого кольца
$$\mathrm{d}I=\frac{\mathrm{d}x}{l}I$$

создает по (23.3) в точке $A_1$ элементарную магнитную индукцию
$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2\mathrm{d}x}{2l{(R^2+x^2)}^{3/2}}.$$

Удобнее выбрать за переменную интегрирования угол $\alpha$, под которым радиус каждого узкого кольда виден из точки $A_1$. Так как
$$x=R\mathrm{ctg}\alpha ,\mathrm{d}x=-\frac{R\mathrm{d}\alpha }{{\sin }^2\alpha },R^2+x^2=\frac{R^2}{{\sin }^2\alpha },$$

то
$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0/\sin \alpha \mathrm{d}\alpha }{2l}.$$

Отсюда после интегрирования получмем
$$B={\int }_{{\alpha }_4}^{{\alpha }_0}\frac{{\mu }_{0}l\sin \alpha d\alpha }{2l}=\frac{{\mu }_{0}l}{2l}(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2).$$

Если ввести ток на единичную длину трубки
$$I_0=I/l\text{, }$$

то (23.8) піримет вид
$$B=\frac{{\mu }_0{I}_0}{2}(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2).$$

Формула (23.10) справедлива и для соленоида, если учесть очевидное соотношение
$$I_0=n{I}_1\text{, }$$

где $n$ — число витков на единичную длину соленоида, $I_i-$ сила тока в соленоиде. Итак, для конечного соленоида
$$B=\frac{{\mu }_{0}n{t}_1}{2}(\cos {\alpha }_1-\cos {\alpha }_2).$$

Полученные формулы (23.8), (23.10) и (23.11) справедливы и для точки $A_2$ (рис. 23.6), находящейся на оси трубки вне ее. Заметим, что для точки $A_1$ угол ${\alpha }_2$ всегда тупой, а для точки $A_2$ — всегда острый (исклочая точки на торцах трубки). Полезно исследовать различные частные случаи: точка $A_1$ расположена в середине трубки, на ее концах и т. д., а также случай бесконечной трубки или соленоида $(l\to \mathrm{\infty })$
Пример 23.4 Ток I течет по длияному прямому проөоднику, сечение которого имеет форму тонкой дуги длияы $i$ и радиуса $R$ (рис. 23.7). Определить индукцшо магнитного поля в точке 0 .
$\mathrm{P}$ ше и и е. Легко видеть, что проводник нельзя считать ни тонким прямым проводником, ни элементом тока.
Следовательно, мы не можем непосредственно использовать ни закон Био — Савара — Лапласа (23.1), ни его следствие (23.4). Так как магнитное поле несимметрично, то сомнительно, что теорема о циркуляции (23.2) может дать положительный результат.
Применим метод ДИ. Разделим проводник на столь узкие длинные прямые проводники, чтобы каждый из них можно было принять за тонкий длинный прямой проводник. Из (23.4) следует, что магнитное поле тонкого прямого бесконечного проводника можно рассчитать по формуле
$$B={\mu }_0\frac{l}{2\pi r_0}.$$

Рассмотрим один такой проводник шириной $\mathrm{d}l$ (рис. 23.7). Элементарный ток 9того проводника
$$\mathrm{d}I=\frac{\mathrm{d}l}{l}I$$

в точке $O$ создает магнитное поле, элементарная магнитная индукция которого (по (23.12))
$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0\mathrm{d}l}{2\pi R}=\frac{{\mu }_0/\mathrm{d}l}{2\pi /R}.$$

Легко видеть, что результирующий вектор В направлен по оси $OY$ (т. е. $B_x=0$ ). Проекция вектора dВ на ось $OY$
$$\mathrm{d}{B}_v=\frac{{\mu }_0/\mathrm{d}l}{2\pi lR}\cos \alpha .$$

За переменную интегрирования выберем угол $\alpha$. Так как $\mathrm{d}l=R\mathrm{d}\alpha$, то
$$\mathrm{d}{B}_v=\frac{{\mu }_0/\cos \alpha \mathrm{d}\alpha }{2\pi l}.$$

Отсюда после интегрирования получаем
$$B_v={\int }_{-{\alpha }_0/2}^{+{\alpha }_2/2}\frac{{\mu }_{0}l\cos \alpha d\alpha }{2\pi l}=\frac{{\mu }_{0}l}{\pi l}\sin \frac{{\alpha }_0}{2},$$

где ${\alpha }_0=l/R$ — центральный угол дуги $l$. Если ${\alpha }_0=\pi$, то (23.13) дает
$$B_y=\frac{{\mu }_{0}l}{n^{2}R}.$$

Пример 23.5 По тонкой пряиой бесконечной ленте иириной $l$ идет ток I. Расситать индукцию магнитмого поля этого тока в произеольмой точке О (рис. 23.8). оси которой направим, как показано на рис. 23.8. Для расчета магнитного поля применим метод ДИ (как и в двух предыдущих примерах, непосредственно применять закон Био — Савара — Лапласа и его следствия нельзя).

Разделим бесконечную ленту на столь узкие прямые и бесконечные участки, чтобы каждый из них можно было принять за тонкий прямой бесконечный проводник. Рассмотрим один такой участок проводника шириной $\mathrm{d}l$ (рис. 23.8). Элементарный ток этого участка
$$\mathrm{d}l=\frac{\mathrm{d}t}{l}I$$

создает в точке $O$ магнитное поле, модуль магнитной индукции которого (по (23.12))
$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0\mathrm{d}l}{2\pi r}=\frac{{\mu }_{0}l\mathrm{d}l}{2\pi lr}.$$

Пусть точка $O$ удалена от плоскости ленты на расстояние $r_0$. Тогда
$$r=\frac{r_0}{\cos \alpha },\mathrm{d}l=\frac{r\mathrm{d}\alpha }{\cos \alpha }=\frac{r_0\mathrm{d}\alpha }{{\cos }^2\alpha }.$$

Таким образом,
$$\mathrm{d}B=\frac{{\mu }_0/\mathrm{d}\alpha }{2\pi l\cos \alpha }.$$

Найдем проекции вектора dB на оси $OX$ и $OY$ :
$$\mathrm{d}{B}_x=\mathrm{d}B\sin \alpha =\frac{{\mu }_0/\sin \alpha \mathrm{d}\alpha }{2\pi l\cos \alpha },\mathrm{d}{B}_v=\mathrm{d}B\cos \alpha =\frac{{\mu }_0/\mathrm{d}\alpha }{2\pi l}.$$

Отсюда после интегрирования получим
$$\begin{array}{l}{B}_x={\int }_{-{\alpha }_4}^{+{\alpha }_4}\frac{{\mu }_0/\sin \alpha d\alpha }{2\pi l\cos \alpha }=\frac{{\mu }_{0}l}{2\pi l}\ln \frac{\cos {\alpha }_1}{\cos {\alpha }_3},\\ B_y={\int }_{-{\alpha }_4}^{+{\alpha }_4}\frac{{\mu }_{0}ld\alpha }{2\pi l}=\frac{{\mu }_{0}l({\alpha }_2+{\alpha }_1)}{2\pi l}.\end{array}$$

Введя ток на единичную ширину ленты $l_0=I/l$, найдем
$$B_x=\frac{{\mu }_0{I}_0}{2\pi }\ln \frac{\cos {\alpha }_1}{\cos {\alpha }_n},B_y=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2\pi }({\alpha }_2+{\alpha }_1).$$

В случае симметричного расположения точки $O$ (при ${\alpha }_1={\alpha }_2$ ) имеем $B_x=0,B_y={\mu }_4/{\alpha }_1/\pi$. Для ленты бесконечной ширины (т. е. плоскости) $B_x=0,B_y={\mu }_0{I}_0/2$ (поле плоскости с равномерно распределенным током $I_0$ однородно).

Если индукция магнитного поля известна (или рассчитана методами, изложенными выше), то болышинство задач сводится в дальнейшем к решению соответствующих задач механики (нередко с применением метода ДИ). Наиболее распространенными здесь являются задачи, связанные с поведением плоского контура с током в магнитном поле. Часто приходится вычислять силы и их механические моменты, действуощие на контур, определять работу перемещення контура в магнитном поле и т. д.
Пример 23.6 В однородном магнитном поле с индукцией $\mathrm{B}=\{0,B_6,0\}$ расположен тонкий проводник в виде полуокружности радиуса $R$, по которому течет ток I — направении, показанном на рис. 23.9. Определить силу, действуюццяю на проводник.
Реше и и е. Ошибочно здесь было бы непосредственно применять закон Ампера в виде $F=Il{B}_0$, где $l=\pi R-$ длина проводника, ибо каждый элемент проводника расположен неодинаковым образом относительно магнитного поля.

Применим метод ДИ. Разделим проводник на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было считать элементом тока. Рассмотрим один такой участок, длина которого равна $\mathrm{d}l$. Модуль вектора dF элементарной силы, действующей на этот участок, по закону Ампера составляет
$$\mathrm{d}F=I\mathrm{d}l{B}_0\sin \alpha .$$

Легко видеть, что все элементарные векторы ${\mathrm{dF}}_{\text{f }}$ направлены вдоль оси OZ. Поэтому векторное суммирование сводится к арифметическому. Так как $\mathrm{d}l=R\mathrm{d}\alpha$, то после интегрирования (23.16) по углу $\alpha$ получаем
$$F={\int }_0^{\pi }IR{B}_0\sin \alpha \mathrm{d}\alpha =2IR{B}_0.$$

Можно рассмотреть множество вариантов решенной задачи: магнитное поле направлено вдоль оси $OX$, вдоль оси $OZ$, под различными углами к осям и т. д. Все эти задачи могут быть решены одним и тем же методом ДИ.
Пример 23.7 Көадратная рамка из тонково провода массой $m=10$ г мокст без трения вращаться относительно вертикальной оси $0O_1$, праходящей через ее центр перпендикулярно деум противоположном сторонам рамки (рис. 23.10). Рамка помецена в однородное магнитное поле с индукцией $B={10}^{-1}\mathrm{T}\mathrm{л}$, маправленной перпендикулярно плоскости чертела. По рамке идет ток $I=2$ A. Oпределить период мальх колебаний рамки около поломсения ее устойчивого равновесия.
$\mathrm{P}$ еш е и и. Физическая система состоит из известного магнитного поля (однородного), проводника в виде рамки и направленно движущихся по рамке свободиы зарядов (или тока I). Физическое явление заклочается в малых колебаниях рамки под действием сил, действующих на каждый ее элемент тока со стороны магнитного поля. Так как индукция поля известна, то можно найти эти силы и их результирующий момент.

При отклонении рамки на малый угол $\alpha$ от положения равновесия возникает момент сил Ампера
$$M=p_{\mathrm{m}}B\sin \alpha ,$$

где
$$p_{\mathrm{m}}=IS=I{a}^4$$
— магнитный момент рамки, $a$ — ее сторона. Применяя к рамке уравнение движения (14.7), получаем
$$J\beta =M\text{, }$$

где _J — момент инерщии рамки относительно оси $O{O}_1$, $\beta =\ddot{\alpha }-$ угловое ускорение рамки. Момент инерции рамки
$$J=2\cdot \frac{m}{4}\cdot \frac{a^2}{4}+2\cdot \frac{1}{12}\cdot \frac{m}{4}\cdot a^2=\frac{1}{6}m{a}^2.$$

Подставляя в уравнение (23.19) значение момента сил Ампера (23.17) и значение момента инерции рамки (23.20), находим
$$\overline{\alpha }+\frac{6tB}{m}\sin \alpha =0.$$

Учитывая, что для малых колебаннй $\sin \alpha \approx \alpha$, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний рамки:
$$\overline{\alpha }+\frac{6IB}{m}\alpha =0.$$

Сравнивая полученное уравнение (23.21) с общим уравнением гармонических колебаний, определяем угловую частоту колебаний рамки:
$${\omega }_0=\sqrt{\overline{6/B}/m}$$

и период ее колебаний:
$$T_0=2\pi \sqrt{\frac{m}{6/B}},T_0\approx 0,57\mathrm{c}.$$

Известно, что при перемещении плоского контура с током I в магнитном поле совершается работа
$$A=I\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\text{, }$$

где $\mathrm{\Delta }Ф$ — изменение магнитного потока через контур. Если перемещается точечный магнитный диполь (плоский контур с током I достаточно малых геометрических размеров), вектор магнитного момента которого
$${\mathbf{p}}_{\mathrm{m}}=IS\mathbf{n}$$
параллелен вектору В индукции магнитного поля, то расчет работы в этом случае сводится к расчету магнитного поля:
$$A=I\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=I({\mathrm{\Phi }}_1-{\mathrm{\Phi }}_2)=\frac{p_{\mathrm{m}}}{S}(B_1-B_2)S=p_{\mathrm{m}}(B_1-B_2).$$

Пример 23.8 В условиях примера 23.3 точенныї магкитньй диполь с магнитньм моментом ${\mathbf{p}}_{\mathrm{m}}$, переоначально находиешийся ма оси трубки в ее середине (точка $A_1$ на рис. 23.11), перемецается вдоль оси в точку $A_2$ так, что вектор ${\mathrm{p}}_{\mathrm{m}}$ остается параллельным вектору В. Onределить работу, совершенную при перемещении диполя.

Решения из (23.24) видно, что для решения задачи достаточно рассчитать индукцию магнитного поля $B_1$ в точке $A_1$ и индукцию $B_2$ в точке $A_2$. По формуле (23.8) получаем
$$B_1=\frac{{\mu }_{0}I}{2}\frac{1}{\sqrt{R^2+\frac{l^2}{4}}};B_2=\frac{{\mu }_{0}I}{2}\frac{1}{\sqrt{R^2+l^2}}.$$

Следовательно, из (23.24) находим
$$A=\frac{{\mu }_0{\rho }_{m}I}{2}(\frac{1}{\sqrt{R^2+\frac{l^2}{4}}}-\frac{1}{\sqrt{R^2+l^2}}).$$

Если в магнитном поле перемещается неточечный магнитный диполь, т. е. обычный плоский контур с током $I$, то нередко для расчета магнитиых потоков пспользуют метод Ди.
Пример 23.9 Прямой бесконечный ток $I_1=5\mathrm{A}$ и прямоугольная рамка с током $I_2=3$ A расположены в одной плоскости так, что сторона рамки $l=1$ м параллельна прямому току и отстоит от него на расстоякии $r=0,1$ b, делить, какую работу необходимо совериить для тюго,
«тобь повернуть рамку на угол $\alpha ={90}^{\circ }$ относительно оси $0O_1$, паралиельной прямому току и проходящей через серединь противополозсных сторон рамки $b$. магнитный поток через рамку равен нулю: ${\mathrm{\Phi }}_2=0$. Таким образом, необходимо рассчитать магнитный поток ${\mathrm{\Phi }}_1$ через рамку в первом положении. Так как поле прямого бесконечного тока $I_1$ (no (23.4))
$$B_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi r}$$

является неоднородным, то решение ${\mathrm{\Phi }}_1=B_{1}S$ (где $S=lb$ — площадь рамки) неверно.

Применим метод ди. Разделим площадь рамки на столь узкие полосы, чтобы в пределах каждой такой полосы магнитное поле можно было бы приближенно считать однородным. Рассмотрим одну такую полоску шириной $\mathrm{d}x$ (рис. 23.12), находящуюся на расстоянии $\mathit{x}$ от прямого тока 1. Элементарный магнитный поток через эту полоску
$$\mathrm{d}\mathrm{\Phi }=B\mathrm{d}S=\frac{{\mu }_0{l}_1}{2\pi x}l\mathrm{d}x.$$

Отсюда после интегрирования по $\mathit{x}$ находим магнитный поток:
$${\mathrm{\Phi }}_1={\int }_{0,16}^{0,16+b}\frac{{\mu }_0/l_{1}l}{2\pi x}\mathrm{d}x=\frac{{\mu }_0/1}{2\pi }\ln 11.$$

Таким образом,
$$A=I_2\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=I_2{\mathrm{\Phi }}_1=\frac{{\mu }_0{l}_1{l}_{2}l}{2\pi }\ln 11.$$

После подстановки числовых значений получаем $A\approx 7,1\cdot {10}^{-6}$ Дж.