В кинематике движение тел рассматривают формально, без объяснения причин изменения движения и, следовательно, не используют ни понятия силы $\mathbf{F}$, ни понятия массы $m$ тела.
Простейшей физической системой является либо одна материальная точка, либо их относительно небольшая совокупность.
Положение материальной точки относительно какойлибо системы отсчета в произвольный момент времени $t$ определяется радиусом-вектором $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ (рис. 10.1). Если ввести единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по соответствующим осям (OX, OY, OZ), то радиус-вектор r можно представить в таком виде:
\[
\mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k},
\]

где $x(t), y(t), z(t)$ – компоненты радиуса-вектора $\mathrm{r}(t)$. Одновременное задание трех функций $x(t), y(t)$ и $z(t)$ 9квивалентно заданию одной векторной функции $r(t)$ от скалярного аргумента $t$. Уравненне (10.1) называют 3 а к оном движения материальной точки. Таким образом, закон движения (10.1) определяет положение материальной точки в лобой момент времени.

Вектор скорости $\mathbf{v}=\left\{v_{x}(t), v_{y}(t), v_{z}(t)\right\}$ и вектор ускорения $\mathbf{a}=\left\{a_{x}(t), a_{y}(t), a_{z}(t)\right\}$ определяотся через соответствующие производные:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t}=\frac{d x}{d t} \mathbf{i}+\frac{d y}{d t} \mathbf{j}+\frac{d z}{d t} k, \\
\mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \mathbf{i}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \mathbf{j}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \mathbf{k} .
\end{array}
\]

Закон движения (10.1) является фундаментальным в кинематике. Зная закон движения, можно определить и другие физические величины, характеризующие движение материальной точкй, например компоненты вектора скорости $\mathbf{v}$, ускорения а и т. д.:
\[
\begin{array}{l}
v_{x}(t)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}, v_{y}(t)=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}, v_{z}(t)=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} ; \\
a_{x}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}, a_{y}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}, a_{z}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} t^{2}} .
\end{array}
\]

Следовательно, с законом движения (10.1) связана основная задача кинематики. Формально этих задач две: прямая и обратная. Прямая основная задача кинематики заключается в нахождении любого параметра движения по известному закону движения. Она решается путем последовательного применения основных законов кинематики (10.1) (10.3). Обратная задача кинематики состоит в определении закона движения по какому-либо известному параметру движения (вектора скорости v или ускорения а). Обратная задача значительно труднее прямой. Можно доказать, что огромное разнообразие кинематических задач сводится к этим двум. Рассмотрим несколько примеров прямой и обратной задач кинематики.
Пример 10.1 Определить модуль скорости материаль ной точки в момент времени $t=2 \mathrm{c}$, если точка деижетсы по закону $\mathrm{r}=\alpha t^{2} \cdot \mathbf{i}+\beta \sin (\pi t) \mathbf{j}$, где $\alpha=2 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, \beta=3 \mathrm{м}$. состоит из одного идеального объекта – материальной точки. Задан формально закон ее движения. Следовательно, наша задача – прямая задача кинематики (по известному закону движения определить один из параметров движения – в данном случае модуль вектора скорости). Используя известный закон движения, находим, что компоненты радиуса-вектора $\mathbf{r}(t)$
\[
\begin{array}{l}
x(t)=\alpha t^{2}, \\
y(t)=\beta \sin (\pi t), \\
z(t)=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, материальная точка движетея в плоскости $X O Y$, поэтому каждый из векторов $\mathbf{r}$, v и а имеет две компоненты. По определению вектора скорости из уравнений (10.2), (10.4), (10.6) и (10.7) получаем компоненты вектора скорости:
\[
v_{x}=2 \alpha t, \quad v_{y}=\beta \pi \cos (\pi t) \text {. }
\]

Отсюода находим искомый модуль вектора скорости:
\[
|\mathbf{v}|=\sqrt{\overline{v_{x}^{2}+v_{v}^{3}}}=\sqrt{4 \alpha^{2} t^{2}+\beta^{2} \pi^{2} \cos ^{2}(\pi t)} .
\]

Подставив числовые значения, получим $v \approx 12,4 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
Пример 10.2 Материальная точка двизется по закому $\mathrm{r}=\alpha \sin (5 t) \mathbf{i}+\beta \cos ^{2}(5 t) \mathrm{j}$, где $\alpha=2 \mathrm{~m}, \beta=3$ м. Oпределить вектор скорости, өектор ускорения и траекторию движения материальной точки.
Решен и е. Это тоже прямая задача кинематики. Находим компоненть радиуса-вектора:
\[
\begin{array}{l}
x(t)=\alpha \sin (5 t), \\
y(t)=\beta \cos ^{2}(5 t), \\
z(t)=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, движение матернальной точки происходит в плоскости $X O Y$. Далее, оиределяем компоненты вектора скорости:
\[
\begin{array}{l}
v_{\alpha}(t)=5 \alpha \cos (5 t), \\
v_{y}(t)=-5 \beta \sin (10 t) .
\end{array}
\]
– Вводную часть физического анатиза мы будем проводить не полностыю. Поэтому слова єфизическия анализs после слова єрешениез азначают, что проводится основная част метода анализа физической ситуашии задачи (выбор и анализ физической системи, исследование физического явления и т.д.).

Из уравнений (10.12), (10.13) находим компоненты вектора ускорения:
\[
\begin{array}{l}
a_{x}(t)=-25 \alpha \sin (5 t), \\
a_{y}(t)=-50 \beta \cos (10 t) .
\end{array}
\]

Для получения уравнения траектории исключим время $t$ из системы уравнений (10.9) – (10.10):
\[
y=3-3 / 4 x^{2} \text {. }
\]

Материальная точка движется по параболе.
Пример 10.3 Скорость материальной точки изменяется по закону $\mathbf{v}=\alpha\left(2 t^{3}-\beta\right) \mathbf{i}-\gamma \sin \left(\frac{2 \pi}{3} t\right)$ j, где $\alpha=1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{4}$, $\beta=1 \mathrm{c}^{3}, \gamma=1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Oпределить закон деижения, если в начальный момент времени $t=0$ тело находилось в начале координат, т. е. $\mathrm{r}_{6}=\{0,0,0\}$.
Решение. Физический анализ : Физическая система состоит из одной материальной точки. Заданы формально закон изменения ее скорости и начальное положение. Необходимо определить закои движения материальной точки. Следовательно, данная задача – обратная задача кинематики (по одному известному параметру движения скорости – найти закон движения). Закон движения $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ и вектор скорости қ связаны посредством векторного дифференциального уравнения (10.2), которое эквивалентно трем дифференциальным уравнениям (10.4). В нашем случае компоненты скорости $v_{x}(t), v_{y}(t)$ и $v_{z}(t)$ – известные функции времени:
\[
v_{x}=\boldsymbol{\alpha}\left(2 t^{3}-\beta\right), v_{v}=-\gamma \sin \left(\frac{2 \pi}{3} t\right), v_{z}=0 .
\]

Подставляя эти значения $v_{x}, v_{y}$ и $v_{z}$ в уравнения (10.4), получим систему трех дифференциальных уравнений для трех неизвестных функций $x(t), y(t)$ и $z(t)$ – компонент радиусавектора $\mathbf{r}$ :
\[
\alpha\left(2 t^{3}-\beta\right)=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t},-\gamma \sin \frac{2 \pi}{3} t=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}, 0=\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} .
\]

Разделяя переменные и интегрируя, находим
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha\left(\frac{1}{2} t^{4}-\beta t\right)+c_{1}, \\
y=\frac{3 \gamma}{2 \pi} \cos \left(\frac{2 \pi}{3} t\right)+c_{2}, \\
z=c_{3},
\end{array}
\]
– В дальнеишем слова «физический анализэ после слова ерешениез будут опускаться.
40
где $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ – произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий. Учитывая, что $x=0, y=0$ и $z=0$ в начальный момент времени (т. е. при $t=0$ ), из системы уравнений $(10.17)-(10.19)$ получаем, что $c_{1}=0$, $c_{2}=-3 \gamma /(2 \pi)$ и $c_{3}=0$, и окончательно определяем компоненты радиуса-вектора $\mathbf{r}$ :
\[
x(t)=\alpha\left(\frac{1}{2} t^{4}-\beta t\right), y=\frac{3 \gamma}{2 \pi}\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3} t\right)-1\right], z=0 .
\]

Таким образом, закон движения имеет вид
\[
\mathbf{r}(t)=\alpha\left(\frac{1}{2} t^{4}-\beta t\right) 1+\frac{3 y}{2 \pi}\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3} t\right)-1\right] j .
\]

Заметим, что, решая теперь прямую задачу (дан закон движения – найти скорость), можно получить исходное значение вектора скорости:
\[
\mathbf{v}(t)=\alpha\left(2 t^{3}-\beta\right) \mathbf{i}-\gamma \sin \left(\frac{2 \pi}{3} t\right) \mathbf{j} .
\]

Впрочем, зная закон движения, можно определить любой параметр движения: скорость $\mathbf{v}$, ускорение $\mathbf{a}$, траекторию и т. д.
Пример 10.4 Ускорение материальной точки ияменяется по закону $\mathbf{a}=\alpha t^{2} \mathbf{i}-\beta \mathrm{j}$, где $\alpha=3 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{4}, \beta=3 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент өремени $t=1$ с, если $\mathbf{v}_{\mathbf{0}}=0$ $u \mathbf{r}_{0}=0$ nри $t=0$.
Р еш е и и е. Из условий задачи видно, что материальная точка движется в плоскости XOY. Для того чтобы определить, на каком расстоянии от начала координат она находилась в момент времени $t=1 \mathrm{c}$, необходимо знать закон ее движения. Таким образом, перед нами обратная задача кинематики: дан какой-то параметр движения (в данном случае ускорение а), надо определить закон движения $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$ и далее найти модуль радиуса-вектора $|\mathbf{r}|$ в момент времени $t=1$ с.
Сначала определим вектор скорости из уравнения (10.3): $\mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t}$ или $\mathbf{a}=\frac{d v_{x}}{d t} \mathbf{1}+\frac{d v_{\mathbf{z}}}{d t} \mathbf{j}$.
Это векторное дифференциальное уравнение эквивалентно двум дифференциальным уравнениям:
\[
\frac{d v_{x}}{d t}=\alpha t^{2}, \frac{d v_{y}}{d t}=-\beta .
\]

Разделяя переменные и интегрируя, получаем компоненты вектора скорости:
\[
v_{x}=\frac{\alpha t^{2}}{3}+c_{3}, v_{y}=-\beta t+c_{3} .
\]

Учитывая начальные условия ( $v_{x}=0, v_{y}=0$ при $t=0$ ), находим значения произвольных постоянных $c_{1}=0$ и $c_{2}=0$. Далее из системы дифференциальных уравнений
\[
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\alpha t^{2}}{3}, \quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=-\beta t
\]

определяем компоненты $x(t)$ и $y(t)$ радиуса-вектора $\mathbf{r}(t)$ :
\[
x(t)=\frac{\alpha t^{4}}{12}+c_{3}, y(t)=-\frac{\beta t^{2}}{2}+c_{4},
\]

где $c_{3}$ и $c_{4}$ – произвольные постоянные. Учитывая начальные условия ( $x=0, y=0$ при $t=0$ ), из уравнений (10.20) находим, что $c_{3}=c_{4}=0$. Закон движения найден:
\[
\mathbf{r}(t)=\frac{\alpha t^{4}}{12} \mathbf{i}-\frac{\beta t^{2}}{2} \mathbf{j} .
\]

По формуле для модуля вектора определяем искомое рас-1 стояние материальной точки от начала координат в момент времени $t=1 \mathrm{c}$ :
\[
|\mathbf{r}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\]

Отсюда получаем $r \approx 1,52$ м.
Анализ решения. Зная закон движения, можно найти любой параметр, характеризующий движение материальной точки, и, следовательно, поставить и решит множество других кинематических задач по определениф этих параметров. Сформулируем, например, задачу о ная хождении траектории данной материальной точки: nо зал (их можно и изменить) определить траекторию материальнод точки. После того как будет получен закон движения (10.21), траектория определится из системы уравнения
\[
x=\frac{\alpha t^{4}}{12}, y=-\frac{\beta t^{2}}{2} .
\]

Исключив из этой системы время $t$, можно найти уравнени траектории.

Совокупность методов решения прямой и обратной за дач кинематики составляет сущность кинематического ме тода, о котором упоминалось в §6.
Весьма часто произвольная кинематическая задача с реальным содержанием может быть сведена к схематизированным прямой и обратной задачам кинематики, рассмотренным выше. Покажем это на конкретном примере.
Пример 10.5 Поезд дешжется прямолинейно со скоростью $v_{0}=180$ км/ч. Внезапно на пути возникает препятствие, и машинист включает тормозной механизм. С этого момента скорость поезда изменяется по закону $v=v_{0}-\alpha t^{2}$, д е $\alpha=1 \mathrm{~m}^{\prime} \mathrm{c}^{3}$. Какое тормозной путь поезда? Через какое өремя после начала торможения он останоoumcs?
Решения и е. Включим в физическую систему одно тело – поезд. Его можно принять за материальную точку. Движение поезда исследуетя формально, без выяснения причин, обусловливающих изменение его движения (механизм действия тормозной установки неизвестен, и знание его в данной задаче не является необходимым). Известен закон изменения одного из, параметров движения – скорости. Необходимо определить некоторые другие физические величины, характеризующие движение поезда (время и путь торможения). Таким образом, перед нами обратная задача кинематики, которую можно сформулировать в следующем схематизированном виде: скорость материальнод точки изменяется по закону $\mathbf{v}=\left(v_{0}-\alpha t^{2}\right) \mathbf{i}$, дде $\alpha=1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{3}$, $v_{0}=180 \mathrm{км} /$ ч. Oпределить өремя ее дөижения и путь, которьй она пройдет до останоєки, если при $t=0, \mathbf{r}=0$ и $\mathbf{v}_{0}=v_{0} \mathbf{l}$ (последнее условие вытекает из закона изменения скорости $\left.\mathbf{v}=\left(v_{0}-\alpha t^{2}\right) \mathbf{i}\right)$.
В такой формулировке уже безразлично, какое реальное тело движется: поезд или автомобиль, катер или подводная лодка (достаточно изменить только постоянные параметры $\alpha$ и $v_{0}$ ).
Решение этой обратной задачи кинематики получаетст уже известиым нам кинематическим методом. Так как движение тела одномерно (вдоль оси OX), то для нахождения закона его движения имеем одио дифференциальное уравнение:
\[
\mathrm{d} x=v \mathrm{~d} t \text { или } \mathrm{d} x=\left(v_{0}-\alpha t^{n}\right) \mathrm{d} t .
\]

После интегрирования последиего уравнения и учета начальных условий получаем закон движения:
\[
x=v_{0} t-\alpha t^{2} / 3 .
\]

Время движения поезда определяется из условия равенства нулю его скорости:
\[
0=v_{0}-\alpha t^{2} .
\]

Отсюда находим $t=\sqrt{v \sqrt{\alpha}}$. Подстановка числовых значений дает $t \approx 7 \mathrm{c}$. Из (10.22) находим тормозной путь: $x \approx 230$ м.
Пример 10.6 Ракета стартует с Земли вертикально вөерх с ускорением $a=\alpha t^{2}$, дде $\alpha=1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{4}$. На высоте $h_{0}=100$ км от Земли деигатели ракеть выходят из строя. Через сколько өремени (считал с мамента выхода деигателей из строя) ракета упадет на Землю? Сопротивлемием өоздуха можно пренебречь. Начальная скорость ракетьк $v_{0}=0$.
Р е ше и и е. Ракету можно принять за материальную точку. Задан закон изменения ее ускорения и начальные условия. Необходимо определить другие физические величины, характеризующие движение ракеты (скорость, время движения, закон движения). Это обратная задача кинематики. После интегрирования соотношения $\mathrm{d} v=a \mathrm{~d} t$ и учета начальных условий определяем закон изменения скорости:
\[
v=\alpha t^{3} / 3 \text {. }
\]

Отсюда (после повторного интегрирования и учета начальных условий) находим закон движения ракеты: $h=\alpha t^{4} / 12$.

Эти законы справедливы только до момента выхода из строя двигателей ракеты. Определим скорость ракеты в тот момент времени (она станет начальной скоростыо ее дальнейшего движения):
\[
v_{01}=\frac{\alpha}{3} \sqrt{\left(\frac{12 h_{0}}{\alpha}\right)^{3}} .
\]

Отсюда получаем $v_{01} \approx 12,1 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$. Такое значение скорости $v_{01}$ превосходит вторую космическую скорость для Земли, равную $v_{2} \approx 11,2$ км/с. Следовательно, ракета воощще не возвратится на Землю.