Рассмотренные выше задачи хотя и относятся к категории непоставленных и неидеализированных, но в них в явном виде не было зерназ проблемы. Рассмотрим пример задачи (назовем его пример 36.1), которая не только является непоставленной и неидеализированной, но и содержит в себе идею проблемы. В пропессе анализа этой задачи мы увидим, что она представляет частный случай непоставленной задачи, рассмотренной в примере 35.1 (движение заряженного тела в электрическом поле и в поле тяготения), но в ней в отличие от обобщенной задачи из примера 35.1 поставлена конкретная проблема.

Пожход к постановке проблемы. Известно, что газ из атмосферы планеты улетучивается в космическое пространство. Через некоторый промежуток времени планета может лишиться своей атмосферы (как это, например, произошло с Луноћ). Исчезновение атмосферы планеты объясняется тем, что молекулы атмосферы распределены по скоростям по закону Максвелла (точнее, по закону Максвелла – Больцмана). Поэтому в атмосфере всегда имеются молекулы, скорости которых больше второй космической скорости лля этой планеты. Такие молекулы могут преодолеть силу тяготения планеты и навсегда уйти от нее. Вместо этих ушедших молекул в атмосфере вновь образуются молекулы, скорости которых превысят вторую космическую скорость, что позволит и этим молекулам покинуть планету. Этот пропесс будет продолжаться до тех пор, пока атмосфера не исчезнет…

Как легко здесь молекулы приобретают вторую космическую скоросты Вторая космическая скорость… Преодоление силы притяжения… Поле тяготения…, но против поля тяготения можно действовать и другим полем, например электрическим. Известно, что Земля имеет электрическое поле, напряженность которого у поверхности Земли $E_{3} \approx 130 \mathrm{~B} / \mathrm{m}$. Нельзя ли использовать электрическое поле планеты для того, чтобы сообщить заряженному телу вторую космическую скорость?

Можно рассчитать, что если электрон пройдет разность потенциалов всего в 1 B, то он приобретет скорость, примерно равную $600 \mathrm{kм} / \mathrm{c}$, что значительно превышает значение второЙ – космической скорости для Земли ( $v_{2} \approx$ $\approx 11,2 \mathrm{kм} / \mathrm{c}$ ). Протон, пройдя разность потенциалов в 100 В, приобретает скорость 14 км/с, что также превышает значение $v_{2}$. Таким образом, протоны легко могут єулететьз от Земли.

Постановка проблемы. Исследовать возможность использования злектрического поля планеты для старта космических кораблей.

Подход к постановке проблемной задачи. В качестве планеты рассмотрим гипотетическую планету с параметра-
ми Земли. Примем, что Земля – шар радиуса $R \approx 6400$ км с массоЯ $M=6 \cdot 10^{24}$ кг. Произведем некоторые оценки (числовые расчеты порядка некоторых величин). Рассчитаем сначала электрический заряд $Q$ и потенциал $甲$ Земли:
\[
\begin{array}{l}
Q=E 4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}, \quad Q \simeq 5,9 \cdot 10^{5} \mathrm{Kл}, \\
\varphi=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}, \quad \simeq 88,3 \cdot 10^{4} \mathrm{~B} .
\end{array}
\]

Мы знаем (это можно показать и расчетом), что протон, имеющий заряд $Q_{p}=1,6 \cdot 10^{-10} \mathrm{Kл} \mathrm{и} \mathrm{массу} m_{p} \approx 1,67 \cdot 10^{-n} \mathrm{\kappa г}$, двигаясь в электрическом поле Земли, легко может приобрести скорость, большую второй космической скорости для Земли, и улететь в космическое пространство. Поставим следующий вопрос: какова максимальная масса $m$ тела, имеющего заряд, равный заряду протона, которое, двигаясь в электрическом поле Земли, может преодолеть ее силу тяготения и уйти в бесконечность? Предположим, что тело материальная точка – стартует с поверхности Земли с начальной скоростью $v_{0}=0$. Torда по закону сохранения энергии имеем
\[
-G \frac{m M}{R}+\frac{Q Q_{p}}{4 \pi \varepsilon_{0} R}=0,
\]

где $G=6,67 \cdot 10^{-11} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{Kr}^{2}$ – гравитационная постоянная. Отсюда определяем максимальную массу тела:
\[
m=\frac{Q Q_{p}}{4 \pi \varepsilon_{0} G M}, m \approx 2,1 \cdot 10^{-18} \mathrm{Kr} .
\]

Такую массу имеет пылинка. Итак, пылинка с массой $2,1 \cdot 10^{-18} \mathrm{Kr}$, имеющая заряд $Q_{p}=1,6 \cdot 10^{-15} \mathrm{Kл}$, может улететь от Земли. Но пылиике можно сообщить заряд значительно больший, чем заряд протона $Q_{p}$. Здесь возникают два вопроса: каким может быть максимальный заряд $Q_{\max }$ пылинки (тела) и как этот заряд может быть сообщен телу (пылинке)? Ответ на оба вопроса можно получить, если представить тело (пылинку) в виде металлического шарика радиуса $r$, который будет заряжаться от Земли путем непосредственного контакта. Электрические заряды перетекают от Земли к шарику до тех пор, пока не сравняются потенциалы этих тел. Так как емкость шарика $C=4 \pi e_{0} r$ и $C=Q_{\max } / \varphi$, то
\[
Q_{\max }=4 \pi \varepsilon_{0} \varphi r=\frac{4 \pi \varepsilon_{0} r Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}=\frac{r Q}{R},
\]

где $\varphi$ – потенциал Земли. Пусть $\rho$ – плотность шарика, тогда его масса
\[
m=4 / r r^{3} \rho \text {. }
\]

Подставляя значения максимального заряда шарика $Q_{\max }$ и его массы $m$ в формулу (36.1), получаем уравнение для определения радиуса $r$ шарика плотности $\rho$, который может улететь от Земли:
\[
-G \frac{M^{4} / \pi^{3} \rho}{R}+\frac{Q r Q}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{2}}=0 .
\]

Отсюда
\[
r=\frac{Q}{4 \pi} \sqrt{\frac{3}{E_{0} G \rho M R}} .
\]

Примем, что плотность шарика $\rho=10^{3} \mathrm{Kr} / \mathrm{m}^{2}$ (шарик может быть и полым). Произведя расчет в СИ, получаем $r \approx$ $\approx 1,8 \cdot 10^{-2}$ м $=1,8 \mathrm{cм}$. Масса такого шарика по формуле (36.2) составляет примерно $17 \mathrm{r}$.

Постановка проблемной задачи. Итак, от Земли с начальной скоростью, равной нулю, может стартовать миниатюрный космический кораблик радиуса $r \approx 1,8$ см с массой 17 г. Для того чтобы от Земли могли стартовать настоящие космические корабли, необходимо изменить (увеличить) электрическое поле Земли. Примем, что радиус космического корабля $r_{1} \approx 180$ см $=1,8$ м. Tеперь мы можем оформулировать условия первой задачи.
Задача А 1 Каким должен боть зарлд $Q_{1}$ Земли, чтобы от нее мое стартовать без начальной скорости сферический космический корабль радиуса $f_{1}=1,8$ м и плотности $\rho=10^{2} \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3}$, получиеший от Земли максимальный электрический заряд $Q_{\max }$ ? Cопротиелением өоздуха премебречь.
Решение е. Решение этой задачи легко получить из формулы (36.3):
\[
Q_{1}=4 \pi r_{1} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0} G \rho M R}{3}}, Q_{1} \approx 5,9 \cdot 10^{\prime} \mathrm{K} \pi .
\]

Напряженность электрического поля Земли у ее поверхности станет равной $E_{1} \approx 13000 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, а потенциал $\varphi_{1}=8,2 \times$ $\times 10^{10}$ В. По формуле (36.2) определяем массу космического корабля: $m_{1} \approx 17 \cdot 10^{3}$ кг.
Аналогичную задачу можно поставить для Луны. Рассмотрим теперь другой пример (вазовем его пример 36.2).
Позход к постановке проблемы. Известно, что в состоянии невесомости (в космосе) многие физические явления протекают иначе, чем на Земле. Рассмотрим такое явление, как колебания математического маятника.
В условиях вакуума и Земли он совершает колебания под действием силы тяжести $m g$ и силы натяжения нити $\mathbf{F}_{\text {, }}$ (рис. 36.1). Их период равен
\[
T_{0}=2 \pi \sqrt{l_{\mathrm{g}}}
\]

где $l$ – длина маятника.
Если маятник помещен в невязкую среду (идеальную жидкость), то на него дополнительно действует сила Архимеда $\mathbf{F}_{\mathrm{A}}$, направленная против силы тяжести $\mathrm{mg}$ (рис. 36.2). Период колебаний в этом случае
\[
T_{1}=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g-F_{A} / m}}
\]

может стать сколь угодно большим при $F_{\mathrm{A}}=m g$. Сила натяжения $\mathbf{F}_{n}$ исчезает, и маятник не будет совершать колебаний (сила тяжести компенсирована силой Архимеда).

Если маятнику сообщить заряд $Q$ и поместить его в однородное электрическое поле напряженности $\mathbf{E}$, как показано на рис. 36.3 , то он должен совершать колебания с периодом
\[
T,=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g-F_{\mathrm{A}} / m+Q E / m}} .
\]

В состоянии невесомости (маятник в кабине лифта, дзижущегося вниз с ускорением g) на маятник действует сила инерции $\mathbf{F}_{\mathbf{z}}=-m g$, равная по модулю и направленная противоположно силе тяжести $m g$ (рис. 36.4). Сила натяжения $\mathrm{F}_{\text {z }}$ исчезает, и маятник не должен совершать колебания (сила тяжести компенсирована силой инерџии). Если маятнику сообщить заряд и поместить его в однородное электрическое поле, то он может совершать колебания и в условиях невесомости.

Постановка проблемы. Исследовать возможность использования электрического поля для работы маятниковых часов в условиях невесомости.

Постановка проблемной задачи. Физическая система состоит из математического маятника массой $m$ и длиной $l$; обладающего зарядом $Q$, и двух полей: поля тяготения и и однородного электрического поля напряженности $E$. На маятник действует сила инершии $\mathbf{F}_{\mathbf{s}}=-m \mathrm{~g}$. Для ее компенсации напряженность ялектрического поля $E$ должна быть такова, чтобы выполнялось условие
\[
m g=Q E \text {. }
\]

Тогда период колебаний маятника можно вычислить по формуле (36.4), т. е. маятник должен совершать колебания с той же частотой, что и в обычных условиях на Земле.

Материальную точку маятника представим в виде шарнка радиуса $r$ и плотности $\rho$. Потребуем, чтобы заряд шарика; был настолько малым, что его электрическим полем можно пренебречь по сравнению с внешним электрическим полем напряженности $E$. Последнее же может быть создано в плос ком конденсаторе с расстоянием $d$ между пластинами. Пусти
шарик совершает колебания на расстоянии $d / 2$ от каждоด пластины. Тогда условие малости поля заряда шарика $Q$ можно записать в виде
\[
\varphi_{1}=10^{-2} \varphi \text {. }
\]

где $\varphi_{1}=Q /\left(4 \pi \ell_{\sigma}\right)$ – потенциал шарика, $\varphi=E \cdot d / 2$ – потенциал внешнего поля в месте расположения шарика. Следовательно, условие (36.6) приобретает вид
\[
\frac{Q}{4 \pi e_{0} f}=10^{-1} E \frac{d}{2},
\]

или
\[
Q=\frac{4 \pi \epsilon_{0} r E d}{2} 10^{-3} .
\]

Подставляя это значение заряда шарика в формулу (36.5) и учитывая (36.2), получаем
\[
E=10 r \sqrt{\frac{2 \mathrm{pg}}{3 e_{q} d}} .
\]

Расчет напряженности поля $E$ для значений $r=10^{-3} \mathrm{M}$, $\rho=10^{3} \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3}, d=2 \cdot 10^{-1}$ м дает $E=6 \cdot 10^{3} \mathrm{~B} / \mathrm{m}$. Отсюда находим разность потенциалов на конденсаторе: $\Delta \varphi=E d=1,2 \times$ $\times 10$ B.

По-видимому, такое поле в условиях космического корабля осуществить трудно. Поэтому произведем расчет напряженности поля для сминиаторного маятника, приняв такие значения: $r=10^{-!} \mathrm{M}, \rho=10^{3} \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3}, d=2 \cdot 10^{-1} \mathrm{M}$. Тогда из формулы (36.8) получим $E \approx 2 \cdot 10^{\circ} \mathrm{B} /$ м. Разность потенциалов $\Delta \varphi \approx 400$ В. Уменьшая радиус шарика $r$, можно получить практически возможные значения для напряженности $E$ и разности потенциалов $\Delta \varphi$.

Таким образом, маятниковый механизм в электрическом поле в условиях невесомости можно, по-видимому, осуществить лишь в кминиатюрном видез. Сформулируем условия первой задачи.
Задача 스. В сөободно падающем (в условиях Земли) лифте расположем плоский воздушньй конденсатор, расстояние между пластинами котораво равно $d=2 \cdot 10^{-1} \mathrm{M}$. K верхней пластиме конденсатора прикреплек математический маятник длиной d/2. Материальная точка маятника имеет форму шарика радиуса $r=10^{-1}$ м и плотности $\rho=10^{3} \mathrm{Kr} / \mathrm{m}^{2}$. Какую разность потекциалов $\Delta \varphi$ необходимо приложить к обкладкам конденсатора, а также какой заряд $Q$ должен быть сообщен шарику для тоео, чтобы маятник мое совериать колебания с такой же частотой, что и в услоеиях неподеизного лифта на Земле? Электрическое поле заряда $Q$ шарика должно быть мало по сравнению с эектрическим полем в конденсаторе. Сопротиелением воздуха в конденсаторе колебаниям малтника пренебречь.
Решение этой задачи уже получено: оно осуществляется по формулам (36.8) и (36.7).

Далее можно поставить и другие задачи, например рассмотреть колебания в однородном электрическом поле заряженного физического маятника и т. д.