При изучении движения тел в динамике для учета суд ществующих между ними взаимодействий необходимо ввестй понятие силы $F$. Возникает очень важный вопрос: как на ходить силы, действующие на любое тело?

Сначала следует выяснить, с к а к и м и другими те лами взаимодействует данное тело. Далее определить, к а 1
данное тело взаимодействует с этими телами, каков вид (тип) этого взаимодействия.
Выше отмечалось, что для классических физических систем существенны следующие виды взаимодействий: гравитационное (закон всемирного тяготения Ньютона $F=$ $=O m_{1} m_{2} / r^{2}$ ) и электромагнитное (его частные случаи: сила Кулона $F=Q_{1} Q_{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0} \ell r^{2}\right)$, сила Лоренца $F=Q(\mathbf{v B})$, сила трения $F_{\mathrm{rp}}=f N$, упругая сила $F=-k x$ ). Таким образом, на данное тело только в результате взаимодействия его с каким-либо другим телом могут действовать несколько различных сил. Очень важно осознавать, чем эти силы отличаются качественно. Следующим этапом является количественная оценка каждой силы: нужно определить, какой порядок ее величины. Может оказаться, что некоторые силы настолько мали, что ими можно пренебречь (в условиях данной задачи).
Пример 11.1 Два тела массами $m_{1}=1 \mathrm{kr} и m_{2}=2 \mathrm{kr}$ связаны невесомой нитью и движутся по горизонтальной поверхности (на Земле) под дейстеием силь $F=10 \mathrm{H}$, направленной горизонтально и приломсенной к телу $m_{1}$ (рис. 11.1). Определить силь, дейстеующие на каждое тело, если козффициент трения между каждым телом $m_{1}$ и $m_{2}$ и горизонтальной поерхностью равен $f=0,5$. $\mathrm{P}$ е шен и е. Рассмотрим тело $m_{1}$. На него действует сила F. Определим другие силы. Тело $m_{1}$ взаимодействует с Землей, нитью и телом $m_{2}$. С Землей тело $m_{1}$ взаимодейст-
11.1
вует по закону всемирного тяготения и, следовательно, на него действует сила тяжести $m_{1} g$, направленная вниз. Далее, тело $m_{1}$ взаимодействует с Землей упруго (появляется упругая сила реакции опоры $\mathrm{N}_{1}$, направленная вверх). Кроме того, в результате взаимодействия тела $m_{1}$ с Землей возникает сила трения $F_{r p}^{\prime}=f N_{1}$. Тело $m_{1}$ взаимодействует с нитью только упруго: на тело $m_{1}$ действует упругая сила натяжения нити $\mathbf{F}_{\text {w, }}^{\prime}$, направленная влево (так как нить невесома, то сила тяготения между нитью и телом $m_{1}$ равна нулю). Тело $m_{1}$ может взаимодействовать с телом $m_{2}$ только по закону всемирного тяготения, но эта сила настолько мала, что ею в условиях данной задачи можно пренебречь. Итак, на тело $m_{1}$ действуют пять сил: $\mathbf{F}, m_{1} \mathbf{g}$, $\mathbf{N}_{1}, \mathbf{F}_{\text {тр }}^{\prime}$ и $\mathbf{F}_{\mathrm{n}}^{\prime}$.

Рассуждая таким же образом, можно показать, что на тело $m_{2}$ действуют четыре силы: упругая сила натяжения нити $\mathbf{F}_{\mathrm{m}}^{\prime}$, сила тяжести $m_{2} \mathrm{~g}$, упругая сила реакции опоры $N_{1}$ и сила трения $F_{T p}^{*}=f N_{3}$. На невесомую и нерастяжимую нить действуют только две упругие силы натяжения: $\mathbf{F}_{n}^{\prime}$ и $\mathbf{F}_{\text {и }}^{*}$. Легко видеть, что на основании второго закона Ньютона
\[
\mathbf{F}=m \mathbf{a}
\]

эти силы численно равны $F_{n}^{\prime}=F_{\text {и }}^{*}$ (так как масса нити $m=0$, то, по второму закону Ныютона, для нити $F_{n}^{n}-F_{n}^{*}=0 \cdot a$, т. е. $F_{n}^{\prime}=F_{n}^{\prime}$ ).

Второй закон Ньютона является фундаментальным законом динамики материальной точки. Он справедлив только в инерциальной системе отсчета для одного тела (материальной точки).

В частном случае при движении тел со скоростями, зиачительно меньшими скорости света в вакууме $c$ ( $v \ll c$ ), второй закон Ныютона можно записать в виде
\[
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\mathbf{F},
\]

или
\[
m \frac{d^{2} \mathbf{r}}{d f^{2}}=\mathbf{F} .
\]

В неинерциальной системе отсчета в правой части уравнений (11.1) — (11.3) появляются силы инерции.

Содержание (физический смысл) фундаментальных законов (11.1) — (11.3) заключается в том, что изменения импульса $m \mathbf{v}$ или скорости $\mathbf{v}$ материальной точки обусловлены и определяются действием сил. Следовательно, если известны силы и начальные условия (положение и скорость материальной точки в начальный момент времени), то можно найти изменение ее движения. В этом и заключается основная (идеальная) задача динамики: в основной задаче динамики по заданным силам и начальным условиям определяют изменение движения системы (механическое состояние системы).
46
Чтобы найти изменение движения тела, необходимо знать закон его движения. Определение закона движения по какому-либо известному параметру движения (и начальным условиям), как было показано выше, составляет содержание обратной задачи кинематики. Какой-либо параметр движения материальной точки определяется в динамике путем последовательного применения второго закона Ньютона для описания движения каждого тела системы. Этот закон записывают или в форме
\[
\mathbf{a}=\mathbf{F} / \mathbf{m}
\]
(тогда определяют вектор ускорения а каждого тела и, решая далее обратную задачу кинематики, находят закон движения), или в виде (11.2) (тогда находят вектор скорости каждого тела и после решения обратной задачи кинематики определяют закон движения), или в форме (11.3) (тогда получают непосредственно закон движения, решив это дифференциальное уравнение).

Для того чтобы в каждом конкретном случае правильно записать второй закон Ньютона, необходимо знать метод применения этого закона. Этот метод достаточно подробно был приведен в §1.
Пример 11.2 На єериине кина массой $m_{3}=10$ ка располозсен невесомьй блок (рис. 11.2). Через блок перекцкута неєесомая и нерастяжсимая нить, к концам которой прикрепмень грузы массами $m_{1}=1$ кг и $m_{2}=10$ кг. Коэффициенть трения грузое $m_{1}$ и $m_{2}$ о плоскости клика соотөетственно раены $f_{1}=0,2$ и $f_{2}=0,1$, а кояффициент трения клина о горизонтальную поверхность $f_{3}=0,3$. Уель плоскостей клина с горизонтальнод плоскостью соответственно раены $\alpha_{1}=30^{\circ}$ и $\alpha_{2}=60^{\circ}$. Oпределить силу натяжения нити.
Решения й Задача сложная. Попробуем ее упростить, а затем последовательно учесть сделанные упрощения,

Предположим, что: а) коэффициент трения $f_{1}=0$, б) угол $\alpha_{1}=0$, в) угол $\alpha_{2}=90^{\circ}$, г) клин закреплен $\left(f_{3}=\infty\right)$. Тогда мы получаем сравнительно простую задачу, которую можно сформулировать следующим образом: к концам невесомод и нерастяжимой кити, перекинутой через невесомвй блок, приелзаны деа тела массами $m_{1}=1$ кг и $m_{2}=10$ кг (рис. 11.3); тело моксет деигатвся по еладкоӓ горизонтальноа и мепод. өизсной поверхности; найти силу натяжения нити.

Решим эту задачу. В физическую систему включим четыре тела: тело $m_{1}$, тело $m_{2}$, нить и блок. Тела $m_{1}$ и $m_{2}$ можно принять за материальные точки. Физическое явление, которое происходит в этой системе, заключается в механическом движении тел. Тела системы взаимодействуют как между собой, так и с внешними телами (стол и Земля). Под действием этих сил тела системы (за исключением блока) движутся прямолинейно и равноускоренно. Таким образом, перед нами основная задача динамики. Для ее решения применим второй закон Ныотона вформе (11.4). Этот закон можно применять только к телам $m_{1}$ и $m_{3}$ (нить и блокнематериальные точки). Выберем стол в качестве тела отсчета инерщиальной системы отсчета (ИСО), а оси координат $O X$ и $O Y$ направим так, как показано на рис. 11.3 .

Рассмотрим тело $m_{1}$. На него действуют следующие силы: сила тяжести $m_{1} \mathrm{~g}$ (в результате взаимодействия тела $m_{1}$ с Землей по закону ‘ всемирного тяготения), сила реакции опоры $\mathbf{N}$ (упругая сила взаимодействия тела $m_{1}$ со столом) и сила натяжения нити $\mathbf{F}_{n}$ (упругая сила взаимодействия тела $m_{1}$ и нити). Остальные силы малы. Найденные силы уже спроецированы на оси $O X$ и $O Y$. Следовательно, можно сразу записать второй закон Ньютона в виде двух уравнений в проекциях на оси координат $O X$ и $O Y$ :
\[
\begin{array}{l}
m_{1} a_{1 x}=F_{\mathrm{n}}, \\
m_{1} a_{1 y}=m_{1} g-N,
\end{array}
\]

где $a_{1 x}$ и $a_{1 y}$ — проекции вектора ускорения $\mathbf{a}_{1}$ тела $m_{1}$ на оси $O X$ и $O Y$. Так как $a_{1 y}=0$, то $N=m_{1} g$.

Рассмотрим тело $m_{2}$. На него действуют сила тяжести $m_{2} g$ и сила натяжения нити $F_{\mathrm{R}}$.

Из рис. 1!.3 видно, что проекции этих сил на ось $O X$ равны нулю, а алгебраическая сумма проекций этих сил на ось $O Y$ равна $m_{2} g-\mathbf{F}_{a}$. Следовательно, по второму закону
Ньютона для тела $m_{2}$ получаем
\[
m_{2} a_{2 \psi}=m_{2} g-F_{n} .
\]

где $a_{2 y}$ — проекция вектора ускорения $\mathbf{a}_{2}$ тела $m_{2}$ на ось $O Y$. Нетрудно показать, что проекция вектора ускорення $a_{2}$ на ось $O X$ равна нулю $\left(a_{2 x}=0\right.$ ). Так как $a_{1 x}=a_{2 y}=a$, то система уравнений (11.5) — (11.7) принимает вид
\[
\begin{array}{l}
m_{1} a=F_{n}, \\
m_{2} a=m_{2} g-F_{n} .
\end{array}
\]

Таким образом мы составили замкнутую систему из двух уравнений с двумя неизвестными ( $a$ и $F_{n}$ ). Задача физически решена (физический этап решения задачи окончен).

Решая полученную систему уравнений (11.8) — (11.9). находим ответ в общем виде:
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g . \\
F_{n}=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g .
\end{array}
\]

После расчета получаем числовой ответ: $a \approx 8,9 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$, $F_{n} \approx 8,9 \mathrm{H}$. Окончен и математический этап решения задачи.

Полезно провести последний этап решения задачи этап анализа решения. Из формулы (I1.10) видно, что ускорение системы зависит как от $m_{1}$, так и от $m_{2}$. Рассмотрим два предельных случая: 1) $m_{1} \gg m_{2}$ и 2) $m_{1} \ll m_{3}$. В первом случае $a \approx g\left(m_{2} / m_{1}\right)$, т. е. ускорение $a$ мало (маленькое тело $m_{2}$ ) тянет огромное тело $m_{1}$ ). Во втором случае ускорение $a \approx g$, т. е. система под действием большого тела $m_{1}$ движется почти с максимально возможным в данном случае ускорением, равным $g$. Таким же о6разом по формуле (11.11) можно провести анализ зависимости силы натяжения $F_{n}$ от масс тел $m_{1}$ и $m_{2}$.
Учтем теперь сделанные выше упрощения.
a) Пусть коэффициент трения $f_{1}
eq 0$. Тогда на тело $m_{1}$ дополнительно действует сила трения $F_{\mathrm{Tp}}=f_{1} N_{1}$, направленная противоположно оси $O X$. Условия для тела $m_{2}$ остаются прежними. Применяя к каждому телу второй закон Ньютона, получаем замкнутую систему уравнений:
\[
m_{1} a=F_{\mathrm{z}}-f_{2} m_{1} g, m_{2} a=m_{2} g-F_{\mathrm{z}} .
\]

Решая полученную систему, находим
\[
\begin{array}{l}
a=\frac{m_{2}-l_{2} m_{3}}{m_{1}+m_{2}} g, \\
F_{x}=\frac{m_{1} m_{2}\left(1+t_{1}\right)}{m_{1}+m_{3}} g .
\end{array}
\]

Отсюда $a \approx 8,74 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, F_{n} \approx 10,68 \mathrm{H}$.
Сравнивая (11.12) с (11.10) и (11.13) с (11.11), мы видим, что с учетом силы трения ускорение системы становится меньше (на сколько меньше и от чего это уменьшение зависит?), а сила натяжения нити возрастает.
6) Предположим, что $\alpha_{1}
eq 0$ и $f_{1}
eq 0$. Условия для тела $m_{2}$ не изменяются. Силы, действующие на тела $m_{1}$ и $m_{2}$, показаны на рис. 11.4. Учитывая, что $N_{1}=m_{1} g \cos \alpha_{1}$ и $F_{\mathrm{тp}}=f_{1} N_{1}=$ $=f_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1}$, получаем замкнутую систему уравнений:
\[
m_{1} a=F_{\mathrm{n}}-f_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1}-m_{1} g \sin \alpha_{1}, \quad m_{2} a=m_{2} g-F_{\mathrm{n}} .
\]

После решения этой системы уравнений находим
\[
\begin{array}{l}
\bar{a}=\frac{m_{2}-f_{1} m_{1} \cos \alpha_{1}-m_{1} \sin \alpha_{1}}{m_{1}+m_{2}} g, \\
F_{n}=\frac{m_{1} m_{2}\left(1+f_{1} \cos \alpha_{1}+\sin \alpha_{1}\right)}{m_{1}+m_{2}} g .
\end{array}
\]

Отсюда $a \approx 8,32 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, F_{\mathrm{n}} \approx 14,9 \mathrm{H}$. Таким образом, ускоре ние уменьшилось, а сила натяжения нити возросла.
в) Допустим теперь, что $\alpha_{1}
eq 0, \alpha_{3}
eq 90^{\circ}, f_{1}
eq 0$ и $f_{2}
eq 0$ Силы, действующие на тела $m_{1}$ и $m_{2}$, изображены на рис 11.5. По второму закону Ньютона для тел $m_{1}$ и $m$, получа
eм
\[
\begin{array}{l}
m_{1} a=F_{\mathrm{n}}-F_{\mathrm{rp}}^{\prime}-m_{1} g \sin \alpha_{1}, \\
m_{2} a=m_{2} g \sin \alpha_{2}-F_{\mathrm{rp}}-F_{\mathrm{n}} .
\end{array}
\]

Учитывая, что $\quad N_{1}=m_{1} g \cos \alpha_{1}, \quad N_{2}=m_{2} g \cos \alpha_{2}, \quad F_{\mathrm{rp}}^{\prime}=$ $=f_{1} N_{1}=f_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1}, F_{T p}^{*}=f_{2} N_{2}=f_{2} m_{2} g \cos \alpha_{2}$, систему уравнений (11.14) — (11.15) можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
m_{1} a=F_{n}-f_{1} m_{1} g \cos \alpha_{1}-m_{1} g \sin \alpha_{1}, \\
m_{3} a=m_{2} g \sin \alpha_{3}-f_{2} m_{2} g \cos \alpha_{3}-F_{n} .
\end{array}
\]

Решая полученную систему, находим
\[
\begin{aligned}
a & =\frac{m_{2} \sin \alpha_{2}-l_{2} m_{1} \cos \alpha_{1}-l_{2} m_{2} \cos \alpha_{2}-m_{1} \sin \alpha_{1}}{m_{1}+m_{2}} g, \\
F_{n} & =\frac{m_{1} m_{2}\left(\sin \alpha_{1}+l_{1} \cos \alpha_{1}+\sin \alpha_{2}-l_{2} \cos \alpha_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}} g .
\end{aligned}
\]

Отсюда получаем $a \approx 6,62 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, F_{\mathrm{n}} \approx 13,2 \mathrm{H}$.
Из формул (11.16) и (11.17) видно, что ускорение $a$ еще более уменьшилось, а сила натяжения нити тоже уменьшилась по сравнению со случаем б). Случай г) (клин не закреплен) будет рассмотрен несколько позже.

Уравнения (11.16) и (11.17) показывают, что искомые величины (ускорение $a$ и сила натяжения $F_{\mathrm{z}}$ ) весьма сложным образом зависят от параметров физической системы: масс $m_{1}$ и $m_{2}$, углов $\alpha_{1}$ и $\alpha_{1}$, козффициентов трения $f_{1}$ и $f_{2}$. Эту зависимость можно исследовать аналитически.

Зная одну из кинематических величин физической системы (ускорение a), можно, решая обратную задачу кинематики, найти закон движения. Если начальная скорость системы равна нулю, то он имеет вид $x=x_{0}+a t^{2} / 2$, где $x_{0}-$ начальное положение какого-либо тела системы. Следовательно, можно в произвольный момент временіи $t$ определить и скорость любого тела системы, и его положение в пространстве, и многие дуугие физические величины, характеризующие и тела системы, и физические явления, происходящие в ней. Например, можно определить импульсы тел $m_{1}$ и $m_{2}$ системы $\left(p_{1}=m_{1} v_{1}, p_{2}=m_{2} v_{2}\right)$, значения их кинетических энергий $E_{\mathrm{a} 1}=m_{1} v_{1} / 2, E_{\mathrm{s} 2}=m_{2} v_{2}^{2} / 2$ и т. д., и т. п.

Таким образом, решив основную задачу динамики (найдя закон изменения одной из кинематических величин ускорения $\mathbf{a}(t)$, скорости $\mathbf{v}(t)$ или радиуса-вектора $\mathbf{r}(t))$, мы можем определить механическое состояние физическоё системы.

Можно еще более усложнить решенную нами задачу, предположив, например, что нитями связаны не два, а три тела и более, что имеется не один, а два блока и более, что сторон у клина, по которым движутся тела, не две, а три и более и т. д. Короче, можно поставить еще десятки таких задач, принципиальная сущность которых одна и та же. Важно отметить, что все эти задачи могут быть решены одним и тем же динамическим методом. В примере 11.2 мы рассмотрели несколько задач различной степени трудности, но по своей глубокой сущности это были одинаковые задачи и решены они были одним и тем же динамическим методом.

Заметим, что’задачи, решенные в примере 11.2, имели одну общую и весьма характерную черту: силы, действующие на тела системы, были постоянными. Во всех таких задачах закон движения можно предсказать заранее: если движение происходит по оси $O X$, то он должен иметь вид $x=x_{0}+v_{0 x} t+a_{x} t^{2} / 2$ (при движении по другим направлениям можно записать аналогичные уравнения). Таким образом, движение тел в этом случае всегда является равномернопеременным (с постоянным ускорением).

Рассмотрим примеры более сложных задач, когда силы, действующие на тела системы, не постоянны.
Пример 11.3 Парашотист мастод $m=100$ кг делает, затяжной прыжок с начальной скоростью $v_{0}=0$. Найти закон изменения его скорости до раскрытия парашота, если сила сопротиеления воздуха пропорциональна скорости деижения парашотиста: $\mathbf{F}_{\mathrm{e}}=-k \mathbf{v}$, дде $k \approx 20 \mathrm{кr} / \mathrm{c}$. $\mathrm{Peшение.} \mathrm{Физическая} \mathrm{система} \mathrm{в} \mathrm{данном} \mathrm{случае}$ состоит из одного тела — парашютиста, причем его можно принять за материальную точку. Физическое явление механическое движение материальной точки в результат ее взаимодействия с внешними телами (Земля и воздух); Необходимо найти один из кинематических параметро движения тела — его скорость как функцию времени. Этб основная задача динамики. Применим второй закон Ньютона (условия применимости этого закона выполнены). 3 тело отсчета инерциальной системы можно принять Земли (рис. 11.6). Начало координат поместим в точку $O$, и которой начинается движение парашотиста. Ось $O X$ на правим вертикально вниз. Так как высота $h$ мала по сравне нию с радиусом Земли, то ускорение свободного падени можно считать постоянным, т. е. $g \approx 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}=$ const. H парашютиста действуют две силы: сила тяжести $m g$ и сил. сопротивления воздуха $\mathbf{F}_{\mathrm{c}}=-k \mathbf{v}$. По второму закону Ныо
тона получаем дифференциальное уравнение для неизвестной функции $v(t)$ :
\[
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=m g-k v .
\]

Разделяя переменные, находим
\[
-\frac{\mathrm{d} v}{m g / k-v}=-\frac{k}{m} \mathrm{~d} t \text {, }
\]

или
\[
\frac{\mathrm{d}(m g / k-v)}{m g / k-v}=-\frac{k}{m} \mathrm{~d} t .
\]

Отсюда после интегрирования получаем
\[
\ln (m g / k-v)=-\frac{k}{m} t+c .
\]

Произвольную постоянную $c$ определяем из начальных условий $\left(v=v_{0}=0\right.$ при $\left.t=0\right): c=\ln (m g / k)$. Подставляя это

значение постояінной $c$ в уравнение (11.18), после несложных преобразований находим закон изменения скорости парашютиста:
\[
v=\frac{m g}{k}\left(1-\mathrm{e}^{(-k / m) t}\right) .
\]

Из уравнения (11.19) видно, что при $t \rightarrow \infty$ скорость стремится к своему максимальному значению $v_{\max }=m g / k$, что составляет примерно $50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Отыт показывает, что такое значение скорости достигается через сравнительно небольшой промежуток времени и далее парашотист приближается к Земле равномерно с этой максимальной скоростыю. Теоретически движение парашютиста — всегда ускоренное (скорость возрастает непрерывно), но практически начиная с некоторого момента времени изменением его скорости можно пренебречь, считая, что парашотист движется равномерно.

Так как закон изменения скорости известен, то, решая обратную задачу кинематики, можно найти закон движения парашютиста
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} x=v(t) \mathrm{d} t, x(t)=\int v(t) \mathrm{d} t, \\
x=\frac{m g}{k} t-\frac{m^{2} g}{k^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m) \eta} .\right.
\end{array}
\]

При нахождении закона движения (11.20) для определения произвольной постоянной было использовано начальное условие: $x=0$ при $t=0$.
Таким образом, задача полностью решена.
Несколько усложним начальные условия задачи: пусть при $t=0 \quad x=0, y=0$, а начальная скорость $\mathbf{v}_{0}=\left\{0, v_{0}\right\}$. В этом случае траектория движения является криволинейной (рис. 11.7). По-прежнему на парашютиста действуют две силы: сила тяжести $m g$ и сила сопротивления воздуха $\mathbf{F}_{\mathrm{e}}=-\boldsymbol{k} \mathbf{v}$. Но теперь сила сопротивления $\mathbf{F}_{\epsilon}$ направлена по касательной к траектории и, следовательно, необходимо учитывать векторный характер второго закона Ньютона. Проецируя вектор силы сопротивления $\mathbf{F}_{\mathrm{e}}$ на оси координат $O X$ и $O Y$, по второму закону Ньютона получаем
\[
\begin{array}{l}
m \frac{d v_{x}}{d t}=m g-k v_{x}, \\
m \frac{d v_{y}}{d t}=-k v_{y},
\end{array}
\]

где $v_{x}$ и $v_{y}$ — неизвестные компоненты вектора скорости $\mathbf{v}$. Разделяя переменные в уравнениях (11.21) и (11.22), после интегрирования с учетом начального условия ( $v_{x}=0$, $v_{y}=v_{0}$ при $t=0$ ) находим
\[
\begin{array}{l}
v_{x}=\frac{m g}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m) \eta}\right), \\
v_{y}=v_{0} \mathrm{e}^{-(k / m) t} .
\end{array}
\]

Найдем теперь закон движения парашютиста. Подставив в соотношения $\mathrm{d} x=v_{x} \mathrm{~d} t$ и $\mathrm{d} y=v_{y} \mathrm{~d} t$ значения $v_{x}$ и $v_{y}$ из уравнений (11.23) и (11.24), получим два дифференциальных уравнения для определения двух пеизвестных функций
$x(t)$ и $y(t)$ компонент радиуса-вектора $\mathrm{r}(t)$ :
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} x=\frac{m g}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m) t}\right) \mathrm{d} t, \\
\mathrm{~d} y=v_{0} \mathrm{e}^{-(k / m) t} \mathrm{~d} t .
\end{array}
\]

После интегрирования этих уравнений и учета начальных условий ( $x=0, y=0$ при $t=0$ ) находим закон движения парашотиста в параметрической форме в внде двух уравнений:
\[
\begin{array}{l}
x=\frac{m g}{k} t-\frac{m^{2} g}{k^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m) \eta}\right), \\
y=\frac{m v_{0}}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m) \eta}\right) .
\end{array}
\]

Закон движения, конечно, можно было бы записать и в векторном виде:
\[
\mathbf{r}(t)=\left[\frac{m g}{k} t-\frac{m^{2} g}{k^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m)}\right)\right] \mathbf{i}+\left[\frac{m \theta_{0}}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-(k / m)} t\right)\right] \mathbf{j}
\]

Теперь, зная закон движения, можно определить любой параметр, характеризующий данное механическое явление: в частности, исключая время $t$ из снстемы уравнений (11.25) — (11.26), получаем уравнение траектории парашютиста:
\[
x=-\frac{m^{2} g}{k^{2}}\left[\ln \left(1-\frac{k}{m v_{0}} y\right)+\frac{k}{m v_{0}} y\right] .
\]

Таким образом, и эта более сложная задача решена окончательно.

Силы, действующие на двияущееся тело, могут зависеть не только от скорости, но и от времени $t$, от координат $x, y$. $z$ и т. д. Рассмотрим такую задачу.
Пример 11.4 Двизатель тормозной системы развивает силу тяаи, пропорциональную өремени: $F=-k t$, аде $k=$ const. Пренебрегая трением, определить, через сколько времени от момента өкиючения тормозное деигателя тело массой $m$, ка котором установлен такой деигатель, остановится. В момент вклочения деиеателя скорость тела составляла ро. Cчитать, что масса деигателя мноео меньше массь тела.
Решение. Физическая система состоит из одного тела массой $m$, которое можно принять за материальную точку. Физическое явление, которое происходит в этой системе, заключается в движении этого тела в результате его взаимодействия с другими телами. Необходимо определить один из параметров этого движения — время движения $t_{1}$. Начальные условия очевидны: $v=v_{0}$ и $x=0$ при $t=0$. Траектория движения — прямая (т. е. движение одномерное). Конечная скорость тела равна нулю: $v=0$ при $t=t_{1}$. Таким образом, рассматриваемая задача является основной задачей динамики.
Применим второй закон Ньютона (условия его применнмости выполнены). За тело отсчета ИСО примем Землю. На тело действуют три силы (рис. 11.8): сила тяжести $m g$, упругая сила реакции опоры $\mathrm{N}$ (эти силы взаимно уравновешивают друг друга) и сила тяги $\mathbf{F}=-k t \mathrm{i}$ тормозного двигателя (природа этой силы в механике безразлична). По второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение для одной неизвестной функции от времени $t$ скорости $v(t)$ :
\[
m \frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t}=-k t .
\]

Разделяя переменные, интегрируя и учитывая начальные условия ( $v=v_{0}$ при $t=0$ ), находим закон изменения скорости:
\[
v=v_{0}-k t^{2} /(2 m) \text {. }
\]

Полагая в уравнении (11.27) конечную скорость $v$ равной нуло, получаем уравнение для определения времени движения $t_{1}$ :
\[
0=v_{0}-k t^{2} /(2 m) .
\]

Отсюда находим формулу для вычисления искомого времени:

После анализа решения можно поставить и другие задачи, например определить тормозной путь тела и т. д. Для определения тормозного пути $x_{1}$ необходимо знать закон движения. Последний получают после решения обратной задачи кинематики:
\[
x=v_{6} t-k t^{3} /(6 m) .
\]

Подставляя в закон движения (11.29) значение времени торможения $t_{1}$ из (11.28), находим тормозной путь:
\[
x_{1}=\frac{2}{3} v_{0} \sqrt{\frac{2 m v_{0}}{k}} .
\]

Далее, зная закон движения тела, можно определить любые параметры и величины данного физического явления. Нетрудно и еще более усложнить задачу, учтя, например, силу трания и т. д.

Мы рассмотрели несколько различных задач на динамику материальной точки. В одних из них силы были постоянны, в других силы изменялись, но метод, подход к решению всех этих задач был одним и тем же: это был метод применения трех законов Ньютона (в особенности второго) для определения какого-либо одного параметра движения (скорости v, ускорения а). Далее для нахождения закона движения обычно решалась обратная задача кинематики. Совокупное применение системы трех законов Ньютона (в особенности второго) и составляет сущность динамического метода решения задач по физике.

Этот метод может быть распространен и на случай неинерциальных систем отсчета. В примере 11.2 не был рассмотрен случай г. Допустим, что клин не закреплен, т. е. $f>\infty$. Теперь в общем случае клин движется равномерно-переменно (т. е. с ускорением $a_{3}$ относительно Земли) и связывать с ним инерциальную систему отсчета нельзя. Если учитывать все условия этой задачи, то она становится крайне сложной (не принципиально, а технически). Поэтому, чтобы показать сущность применения динамического метода при использовании неинерциальной системы отсчета, максимально упростим эти условия. Предположим, что все силы трения отсутствуют, т. е. $f_{1}=f_{2}=f_{3}=0$. Далее, будем считать, что тело $m_{2}$, нить и блок также отсутствуют и угол $\alpha_{3}=90^{\circ}$ (последнее условие несущественно — угол $\alpha_{2}$ может быть каким угодно). Таким образом, рассматриваемая нами задача может быть сформулирована в следующем виде.
Пример 11.5 На гладком клике массой $m_{3}=10$ кr расположена материальная точка массой $m_{1}=1$ кг. Клик может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности. Уеол у основания кина $\alpha_{1}=30^{\circ}$. Oпределить ускорекия тела и клина.
$\mathrm{P}$ е ш е и и е. В физическую систему включим два тела! материальную точку массой $m_{1}$ и клин массой $m_{3}$. Клин нельзя считать материальной точкой, но в условиях данной задачи (клин движется прямолинейно) можно приближенно принять, что, во-первых, все силы, действующие на клин, приложены в его центре масс и, во-вторых, к нему можно применить второй закон Ныотона.

Физическое явление в данной системе заключается в движении этих двух тел: материальная точка движется относительно клина, а клин движется относительно Земли. Необходимо найти кинематические характеристики этого явления — ускорение материальной точки $\mathbf{a}_{1}$ относительно’ клина и ускорение клина $\mathbf{a}_{3}$ относительно Земли. Это основная задача динамики.

Исследуем сначала движение клина относительно инерциальной системы отсчета, которую можно связать с Землеи. Оси координат $O X$ и $O Y$ направлены так, кақ показано

на рис. 11.9. На клин действуют три силы: сила тяжести $m_{0 g}$ (результат взаимодействия клина с Землей по закону! всемирного тяготения Ньютона), сила реакции опоры $\mathrm{N}$, (результат упругого взаимодействия клина с Землей) и сила $\mathbf{N}_{1}$ (результат упругого взаимодействия клина с материальной точкой). По второму закону Ньютона,
\[
m_{2} \mathbf{a}_{3}=m_{3} \mathbf{g}+\mathbf{N}_{1}+\mathbf{N}_{3} .
\]

Проецируя уравнение (11.30) на оси координат, получае
\[
\begin{array}{l}
m_{3} a_{3 x}=N_{1} \sin \alpha_{1}, \\
m_{3} a_{3 y}=m_{3 g}+N_{1} \cos \alpha_{1}-N_{3},
\end{array}
\]

где $a_{3 x}$ и $a_{3 y}$ — компоненты вектора ускорения $a_{3}$ соот ветственно по осям $O X$ и $O Y$. Так как $a_{3 y}=0$ и, следова тельно, $a_{\mathbf{a x}}=a_{\mathbf{4}}$, то
\[
\begin{array}{l}
m_{3} a_{3}=N_{1} \sin \alpha_{1}, \\
0=m_{3} g+N_{1} \cos \alpha_{1}-N_{3} .
\end{array}
\]

Получена незамкнутая система из двух уравнений с трем неизвестными: $a_{3}, N_{1}$ и $N_{3}$.
Для нахождения замкнутой системы уравнений исследуем движение материальной точки относительно клина. Так как клин движется ускоренно, то связанная с ним система отсчета неинерциальна. Оси координат направим так, как показано на рис. 11.10. Второй закон Ньютона по отношению к неинерциальной системе отсчета записываем в следующем виде:
\[
m \mathbf{a}=\mathbf{\Sigma} \mathbf{F}+\mathbf{F}_{\mathrm{m}},
\]

где $\mathbf{\Sigma} \mathbf{F}$ — геометрическая сумма кобычныхз сил, действующих на тело массой $m$, движущееся с ускорением а относительно неинерциальной системы отсчета, $\mathbf{F}_{n}$ — сила инерции, которая в нашем случае (поступательное движение) составляет $\mathbf{F}_{\mathrm{n}}=-m_{1} \mathbf{a}_{3}$. На материальную точку действуют три силы: сила тяжести $m_{1} g$ (результат ее взаимодействия с Землей по закону всемирного тяготения Ньютона), реакция опоры $\mathbf{N}_{1}$ (вследствие упругого взаимодействия материальной точки с клином) и сила инерщии $\mathbf{F}_{\mathrm{z}}$. По второму закону Ныютона (11.33),
\[
m_{1} \mathbf{a}_{1}=m_{1} \mathbf{g}+\mathbf{N}_{1}+\mathbf{F}_{\mathrm{n}} .
\]

Проецируя это уравнение на оси координат, находим
\[
\begin{array}{l}
m_{1} a_{1 x}=m_{1} g \sin \alpha_{1}+m_{1} a_{3} \cos \alpha_{1,} \\
m_{1} a_{1 y}=m_{1} g \cos \alpha_{1}-m_{1} a_{3} \sin \alpha_{1}-N_{1} .
\end{array}
\]

Так как $a_{1 y}=0$, и, следовательно, $a_{1 x}=a_{1}$, то из (11.34) и (11.35) получаем
\[
\begin{array}{l}
m_{1} a_{1}=m_{1} g \sin \alpha_{1}+m_{1} a_{3} \cos \alpha_{1}, \\
0=m_{1} g \cos \alpha_{1}-m_{1} a_{3} \sin \alpha_{1}-N_{1} .
\end{array}
\]

Система из четырех уравнений (11.31), (11.32), (11.36), (11.37) является замкнутой (неизвестные $N_{1}, N_{3}, a_{1}, a_{3}$ ). Решая эту систему уравнений, определяем искомые величнны:
\[
\begin{array}{l}
N_{1}=\frac{m_{1} m_{3} \cos \alpha_{1}}{m_{3}+m_{1} \sin ^{2} \alpha_{1}} ; \quad N_{3}=m_{3} g\left(1+\frac{m_{1} \cos ^{2} \alpha_{1}}{m_{3}+m_{1} \sin ^{2} \alpha_{1}}\right) ; \\
a_{1}=g \sin \alpha_{1}+\frac{m_{1} g \cos ^{2} \alpha_{1}}{\frac{m_{3}}{\sin \alpha_{1}}+m_{1} \sin \alpha_{1}} ; a_{3}=\frac{m_{1} g \cos \alpha_{4}}{\frac{m_{3}}{\sin \alpha_{1}}+m_{1} \sin \alpha_{i}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Отсюда $N_{1} \approx 8,2 \mathrm{H}, N_{3} \approx 105 \mathrm{H}, a_{1} \approx 5,25 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, a_{3} \approx 0,41 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.