Элементарная работа при повороте твердого тела на угол $\mathrm{d} \varphi$ составляет
\[
\mathrm{d} A=M \mathrm{~d} \varphi \text {, }
\]

где $M$ – момент сил относительно оси вращения. Полная работа находится интегрированием уравнения (15.1):
\[
A=\int_{\omega}^{\sigma} M d \varphi .
\]

Киметическая энереия твердого тела при его произвольном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения:
\[
E_{\mathrm{s}}=m v_{\mathrm{c}}^{2} / 2+J \omega^{2} / 2,
\]

где $v_{\mathrm{c}}$ – скорость поступательного движения, центра масс, $J$ – момент инерции тела относительно оси вращения.

В динамике твердого тела наряду с законами сохранения импульса и энергии в механике применяется за ко н сохранения момента импу льса. Этот закон вытекает из уравнения движения (14.3) относительно точки: если аеометрическая сумма моментов внениних сил относительно точки О равна нулю, то момент илпульса относительно этой точки постоянен:
\[
\mathbf{L}=\text { const. }
\]

Чаще закон сохранения момента импульса используют в форме, вытекающей из уравнения движения (14.4) относительно неподвижной оси: если алаебраическал сумма моментов внешиних сил относительно неподвиюной оси равна нулю, то момент импуаса системы относительно этой оси постоянен:
\[
L=\Sigma J \omega=\text { const, }
\]

где $\mathbf{\Sigma} J_{\omega}$ – алгебраическая сумма моментов импульса всех тел системы.

Метод применения законов сохранения в динамике твердого тела осуществляется по тои же схеме, которая была описана в динамике материальной точки.
Пример 15.1 Деревянньй стержень массоа $M=6$ кг и длиной $l=2$ м молет врацаться в вертикальной плоскости относительно соризонтальной оси, проходяцен через точку $O$ (рис. 15.1). В конец стерзсня попадает пуая праєленнои перпендикулярно стержню и оси, и застревает в нем. Oпределить кинетическую энергию стержня после удара.
Решение и Физическую систему образуем из двух тел: стержня и пули. Пулю можно считать за матернальную точку, сте́ржень примем за твердое тело. Физическое явление заключается во взаимодействии этих тел (абсолотно неупругий удар). Состояние системы до взаимодействия известно, необходимо определить некоторый параметр системы (кинетическую энергио) после взанмодействия.

Характер сил, возникающих в процессе взаимодействия, нам не известен. Поэтому решить эту задачу динамическим методом невозможно. Применим законы сохранения. Пуля до взаимодействия двигалась прямолинейно, а после взаимодействия вместе со стержнем вращается вокруг неподвижной оси. Целесообразно применить закон сохранения
момента импульса относительно этоћ оси. Условия применимости этого закона выполнены.
ИСО, как обычно, свяжем с Землей, начало координат поместим в точку $O$, а ось вращения примем за ось $O X$. Момент импульса пули относительно оси вращения до удара равен $m_{0} v_{0} l$, а стержня – нулю. После удара момент импульса стержня и пули равен $J \omega$, где $J$ – момент инершии стержня и пули относительно оси вращения, а $\omega-$ угловая скорость вращения стержня и пули после удара. Так как момент инершии пули $m_{0} l^{2}$ значительно меньше момента инерции стержня $1 /, M l^{2}$, то можно приближенно считать, что $J \simeq 1, M l^{2}$. По закону сохранения момента импульса,
\[
m_{0} v_{0} l=J \omega .
\]

Кинетическая энергия стержня
\[
\begin{array}{l}
E_{\mathrm{x}}=\frac{J \omega^{2}}{2}=\frac{m_{0}^{2} 0^{2} t^{2}}{2 J}=\frac{3 m+\omega^{2}}{2 M}, \\
E_{\mathrm{x}}=25 \text { Дк. }
\end{array}
\]

Заметим, что начальная кинетическая энергия пули (до удара) $E_{\text {мо }}=$ $=m_{0} v_{0}^{3} / 2$ т. e. $E_{\mathrm{x} 0}=5 \cdot 10^{3} Д ж$, что значительно больше кинетической энергии стержня после удара. В результате неупругого удара большая часть начальной механической энергии превратилась в немеханические виды энергии. В пропессе взаимодействия возникли огромные неконсервативные силы, которые и рассеяли механическую энергию системы. Поэтому неправильно было бы в этой задаче непосредственно применять закон сохранения энергии в механике в виде $J \omega^{2} / 2=m_{0} v_{0}^{2} / 2$. Неправильно было бы в этой задаче применять и закон сохранения импульса, ибо после удара стержень с пулей участвуют во вращательном движении. По этому закону мы получили бы $m_{0} v_{0}=\left(M+m_{0}\right) u$, где $u=\omega l$. Отсюда, пренебрегая массой пули $m_{0}$ по сравнению с массой стержня $M$, находим $\omega=m_{0} v_{0} /(M I)$. Тогда кинетическая энергия стержня после удара $J_{\omega^{2}} / 2=m_{0}^{2} v_{0}^{3}(6 M)$, что составляет $\sim 2,7$ Дж и почти на порядок меньше правильного результата (15.6).

Предположим, что нам необходимо определить, на какой максимальный угол $\alpha$ от вертикали отклонится стержень после удара. После удара неконсервативих сил в системе нет и, следовательно, к дальнейшему процессу движения стержня и пули можно применить закон сохранения энергии в механике. По этому закону,
\[
\frac{3 m_{0}^{2} t_{6}^{4}}{2 M}=M g h,
\]

где $h$ – высота, на которую поднялся центр масс стержня, находящийся в точке $A$, после удара (рис. 15.2). Здесь учтено, что $m_{0} \wedge M$. Из треугольника $O B C$ (рис. 15.2) получаем
\[
\cos \alpha=\frac{t / 2-h}{l / 2} .
\]

Решая полученную систему уравнений, находим
\[
\begin{array}{l}
\alpha=\arccos \left(1-\frac{3 m^{2} \phi^{2}}{M^{2} g}\right), \\
\alpha \approx 54^{\circ} .
\end{array}
\]

Можно рассмотреть множество других вариантоврешенной задачи, например, заменив пуло стальным шариком, а деревянный стержень – стальным, решить задачу об абсолютно упругом взаимодействии этих тел, исследовать єкосое движение налетающего тела и т. д. Все эти варианты задач могут быть решены методом законов сохранения.

В заключение рассмотрим задачу, при решении которой будут использованы все основные методы, описанные выше: кинематический, динамический, законов сохранения и ДИ.
Пример 15.2 Сплошной однороднєй диск радиуса $R=$ $=10$ см, имевиий начальную угловую скорость $\omega_{0}=50$ рад $/ \mathrm{c}$ (относительно оси, перпендикулярнод плоскости диска и проходящей через центр масс), кладут осноеанием на горизонтальную поеерхность. Сколько оборотое сделает диск до остановки, если коэффициент трения между осмованием диска и горизонтальной поерхностью $f=10^{-1}$ и не зависит от угловой скорости єращения диска.
Решеиие. Физическая система состоит из одного тела – диска. Диск нельзя считать материальной точкой. Примем его за твердое тело. Физическое явление заключается во вращательном движении твердого тела относительно неподвижной оси под действием силы трения (остальные силы взаимно уравновешивают друг эруга). Начальное и конечное состояния системы известны. Необходимо опре-
делить одии из параметров этого движения (число оборотов $N$ до остановки). Эта основная задача динамики твердого тела.
Применим динамический метод. Центр масс диска находится в покое, а диск вращается. Из уравнения движения (14.7) получаем
\[
1 / s m R^{*} \beta=M \text {, }
\]

где $m=\pi R^{*} h \rho-$ масса диска, $h-$ его толщина, $\rho-$ плотность материала диска, $\beta$ – угловое ускорение, а $M$ – суммарный момент сил трения относительно оси.

Сила трения приложена к каждому участку диска, и так как эти участки находятся на различных расстояниях от оси, то и моменты сил трения, приложенных к этим участкам, различны. Для нахождения $M$ применим метод ДИ. Разделим диск на достаточно узкие кольца (рис. 15.3), а каждое кольцо двумя соседними радиусами, образующими достаточно малый угол dф.- на малые элементы. На рис. 15.3 один такой элемент заштрихован. Сила трения, действующая на выделенный элемент,
\[
\mathrm{d} F_{\mathrm{Tp}}=f \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \mathrm{d} h \rho g .
\]

Момент этой силы трения
\[
\mathrm{d} M=r \mathrm{~d} F_{\mathrm{Tp}}=f \rho g h^{2} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi .
\]

Интегрируя по углу ч в пределах от нуля до $2 \pi$ и по $r$ от нуля до $R$, получаем суммарный момент сил трения:
\[
M=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} f \rho g h r^{2} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi=f \rho g h 2 \pi R^{3} / 3=2 / R g m / 3 .
\]

Подставляя это значение $M$ в уравнение движения (15.7), находим угловое ускорение диска:
\[
\beta=4 / g /(3 R) \text {. }
\]

Решая далее обратную задачу кинематики (кинематический метод), определяем закон изменения угловой скорости
\[
\omega=\omega_{0}-\beta t
\]

и закон движения:
\[
\varphi=\omega_{0} t-\beta r^{2} / 2 \text {. }
\]

Учитывая, что конечная угловая скорость диска равна нулю $(\omega=0)$, из уравнения (15.9) находим время движения:
\[
t=\frac{\omega_{0}}{\beta}=\frac{3 R \omega_{0}}{4 / g}, \quad t \approx 3,75 \mathrm{c} .
\]

Подставляя это значение времени $t$ в уравнение (15.10) и учитывая, что $\varphi=2 \pi N$, получаем
\[
N=\frac{3 R \omega^{2}}{16 \pi / g} .
\]

Отсода вычисляем $N \approx 15$.
Решим теперь эту задачу методом законов сохранения. В физическую систему включим два тела: диск и Землю. Система этих тел замкнута, и можно было бы применять закон сохранения энергии в механике, но в системе действуют неконсервативные силы трения. Считая эти силы внешними, по уравнению (13.16) находим
\[
J \omega_{5}^{2} / 2=A,
\]

где $J=1 /, m R^{2}$ – момент инерции диска, $A$ – работа неконсервативных сил трения. Так как момент этих сил уже найден (см. 15.8), то по формуле (15.2) получаем
\[
A=\int_{0}^{\varphi} M \mathrm{~d} \varphi=\int_{0}^{\varphi} \frac{2 f R g m}{3} \mathrm{~d} \varphi=\frac{2 f R g m \varphi}{3} .
\]

Подставляя это значение работы $A$ в уравнение (15.12) и учитывая, что $\varphi=2 \pi N$, находим
\[
N=\frac{3 R \omega_{0}^{2}}{16 \pi / g}, \quad N \approx 15,
\]

что совпадает с формулой (15.11), найденной динамическим методом.

Заканчивая рассмотрение механическоћ модели, мы вндим, что любая стандартная поставленная задача из этого раздела может быть решена (не считая метода анализа физической ситуации задачи) сравнительно небольшим числоу универсальных методов: кинематический, динамический, законов сохранения, дифференцирования и интегрироваяия!