Фундаментальным законом явления электромагнитной индукции является з а кон $Ф$ а р а де я:
\[
\boldsymbol{\delta}^{*}=-\frac{d \Phi}{d t} .
\]
Следовательно, в качестве основной задачи этого явления рассматривается задача нахождения э. д. с. индукции E.. При проведении физического анализа необходимо тщательно выяснить, каким образом изменялся магнитный поток $Ф$, какова причина его изменения. Затем следует определить магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, как функцию от времени $t$, т. е. $\Phi=\Phi(t)$. Для нахождения 9. д. с. индукции используют закон Фарадея (25.1).
Пример 25.1 В магнитном поле, иядукция которого изменяется по закону $\mathbf{B}=\left(\alpha+\beta t^{2}\right) \mathrm{i}$, дде $\alpha=10^{-1} \mathrm{Tл}$, $\beta=10^{-1} \mathrm{~T} / \mathrm{c}^{4}, 1$ – единичнвй вектор оси OX, расположена квадратная рамка оо стороной $a=20$ см, причем плоскость рамки перпендикулярна В. Определить э. д. с. икдукции в рамке в момент времени $t=5 \mathrm{c}$.
Решение и Физическая система состоит из изменяющегося во времени магнитного поля, проводящей рамки, расположенной в этом поле, возникшего вихревого электрического поля и созданного этим полем индукционного тока. Необходимо определить 9. д. с. индукции. ПричиноА изменения магнитного потока через рамку является изменение во времени индукции магнитного поля.
Определяем магнитный поток через рамку. Так как магнитное поле однородное, а рамка плоская, то
\[
\Phi=\mathbf{B} \cdot \mathbf{S}=\left(\boldsymbol{\alpha}+\beta t^{2}\right) a^{2} .
\]
Далее находим 9. д. с. индукции:
\[
|\delta .|=\left|-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}\right|-2 \beta a^{2} t,|\delta .|=4 \cdot 10^{-3} \mathrm{~B} .
\]
Можно, как это мы уже неоднократно делали раньше, усложнить или упростить решенную задачу, поставив еще десятки подобного рода задач. Что значит єподобного родаз? Здесь мы рассмотрим вопрос о способах построения еблоковз задач, а также введем понятие обобщенной задачи єблоказ. $\cdot$Подобного родаз (в применении к данной задаче) – это значит, что во всех таких задачах происходит одно и то же физическое явление (явление электромагнитной индукции), что магнитное поле однородно и нестационарно, а контур является плоским и расположен перпендикулярно В. Тогда для решения всех таких задач (елоказ задач) можно использовать уравнения (25.2) и (25.3).
Теперь мы можем сформулировать обобщенную задачу n е р в ог о єблоказ: в магмитном поле, индукция котороео изменяется по закону $\mathbf{B}=f(t) \mathbf{i}$, дде $f(t)$ – произольная (но дифференцируемая) функция өремени $t$, располомсен плоскиа контур площади S, причем пиоскость контура перпендику: лярна В; определить э.д.с. икдукции в рамке в произвольнвы момент времени $t$.
Решение этой обобщенной задачи первого блока может быть получено с помощью тех же уравнений (25.2) и (25.3), но в обобщенном виде:
\[
\begin{array}{l}
\Phi=\mathrm{BS}=f(t) \mathrm{i} \cdot \mathrm{S}, \\
|\mathcal{E} .|=\left|-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}\right|=f^{\prime}(t) \cdot S .
\end{array}
\]
Теперь уже решение любой конкретной задачи этого єбоказ непосредственно дается обобщенными уравнениями (25.4) и (25.5). Таким образом, каждая конкретная задача єллоказ после формулировки и решения обобщенной задачи становится элементарной.
Рассмотрим, например, такую конкретную задачу: в мавнитном поле, индукция котороео изменяется по закону. $\mathbf{B}=B_{0} \sin \omega t \cdot \mathbf{i}$, дде $B_{0} u \omega-$ постоянные, расположена плос кая рамка в виде равностороннего треугольника со сторонод а, причем плоскость рамки перпекдикулярна В; определить ө.д.с. икдукции в рамке в момент времени $t$.
Решение этой элементарной задачи легко получается из уравнений, (25.4) и (25.5):
\[
\Phi=B_{0} \sin \omega t \cdot S,\left|\delta_{8}\right|=B_{0} S \omega \cos \omega t,
\]
где $S=a^{2} \sqrt{3} / 2-$ площадь контура.
160
Далее можно перейти к формулировке и решению задач в торого єблоказ, включая рассмотрение других физических явлений, связанных с явлениями задач первого єблоказ. Рассмотрим, например, в примере 25.1 различные явления, связанные с индукционным током (тепловые, магнитные и т. д.).
Предположим, что необходимо определить каличество теплоть, которое выделится в рамке за переве 5 с, если сопротивение рамки $R=0,5$ Ом.
Пренебрегая индуктивностыо и емкостыо контура, по закону Ома находим силу индукционного тока в рамке:
\[
I=\delta_{\star} / R=2 \beta a^{2} t / R \text {. }
\]
Так как сила тока не постоянна, то, применяя метод ДИ, определяем искомое количество теплоты:
\[
Q=\int_{0}^{5} I^{2} R \mathrm{~d} t=\int_{0}^{5} \frac{4 \beta^{2} a^{4} f^{2}}{R} \mathrm{~d} t=\left.\frac{4 \beta^{2} a^{4} t^{2}}{3 R}\right|_{0} ^{5} .
\]
Подстановка числовых значений дает $Q \approx 5,3 \cdot 10^{-1}$ Дж.
Легко сформулировать и решить обобщенную задачу второго єблокам: ө магнитном поле, индукция которого изменяется по закону $\mathbf{B}=f(t) \mathbf{i}$, аде $f(t)$ – произвольная (ко диф. ферекцируемая) функция времени $t$, располозсен плоский контур площади $S$ с омическим сопротивлением $R$, причем плоскость контура перпендикулярна вектору В. Определить, какое количество теплоты выделитея в рамке к произеольному моменту өремени $t$.
Учитывая (25.4) – (25.7), находим решение обобщенной задачи второго блока:
\[
Q=\frac{s^{2}}{R} \int_{0}^{t}\left[f^{\prime}(t)\right]^{2} \mathrm{~d} t .
\]
Теперь уже лобая конкретная задача второго єблоказ становится элементарной и решается с помощы (25.8).
Можно сформулировать и решить конкретную и обобщенную задачу тр еть е го сблоказ (а также четвертого, пятого и т.д.), изменив условия протекания физических явлений в задачах первого єблоказ. Например, пусть в условиях задачи (25.1) магнитное поле не будет однородньм. Тогда уравнение (25.4) становится несправедливым и для расчета магнитного потока необходимо использовать метод ди.
Пример 25.2 В плоскости квадратнод рамки с омическим сопротивлением $R=7$ Ом и сторонод $a=20$ см рас. положен на расстоянии $r_{0}=20$ см от рамки прямод бес. конечньй проводник (рис. 25.1). Сила тока в проводнике изменяется по закону $I=\alpha t^{3}$, дде $\alpha=2 \mathrm{~A} / \mathrm{c}^{3}$. Проводник паралелен одной из сторон рамки. Определить силу тока в рамке в момент времени $t=10 \mathrm{c}$.
$\mathrm{P}$ еше и и е. Вследствие изменения силы тока в проводнике магнитный поток через рамку изменяется и в ней возникает индукционный ток. Рамка находится в неоднородном магнитном поле. Поэтому для расчета магнитного потока применим метод ДИ (см. пример 23.9).
Разделим площадь рамки на столь узкие полоски (рис. 25.1), чтобы в пределах каждой полоски магнитное поле можно было считать однородным. Элементарный магнитный поток сквозь узкую полоску
\[
\mathrm{d} \Phi=B a \mathrm{~d} x=\frac{\mu_{0} / a \mathrm{~d} x}{2 \pi x} .
\]
Интегрируя это уравнение по $x$ в пределах от $r_{0}$ до $r_{0}+a$, находим
\[
\Phi=\int_{r_{0}}^{r_{0}+e^{e}} \frac{\mu_{e} / a d x}{x}=\frac{\mu_{0} a \alpha \ln \left(1+a / r_{0}\right)}{2 \pi} t^{3} .
\]
По закону Фарадея (25.1) определяем 9.д.с. индукции:
\[
\mathcal{\delta}_{\mathrm{z}}=\frac{3 \mu_{0} a \alpha \ln \left(1+a / r_{0}\right)}{2 \pi} t^{2}
\]
и силу тока:
\[
I=\frac{\delta z}{R}=\frac{3 \mu_{0} a a \ln \left(1+a / r_{0}\right)}{2 \pi R} t^{2}, I \approx 2,4 \cdot 10^{-4} \mathrm{~A} .
\]
Можно было бы, конечно, сформулировать и решить обобщенную задачу третьего єллоказ.
Рассмотрим конкретную задачу ч етв в т ого єблоказ.
Пример 25.3 Рамка (см. пример 25.2) удаляется от бесконечного проводника со скоростью о $=100 \mathrm{M} / \mathrm{с}$ в на-
праєлении, перпендикулярном проводнику. По проводнику течет постоянньи ток I-10 А. Определить э.д.с. индукции в рамке через $t=10 \mathrm{c}$ от мачала движения, если – мачальны ды момент өремени рамка каходилась на расстоянии $r_{0}=20$ см от проводника. магнитное поле, созданное этим током, тоже не изменяется во времени. Однако магнитный поток через рамку не постоянен вследствие того, что положение рамки относительно магнитного поля изменяется. Найдем магнитный поток через рамку как функцию времени $t$. Применяя метод ДИ, получаем
\[
\Phi=\frac{\mu_{0} / a}{2 \pi} \ln \left(1+\frac{a}{x}\right),
\]
где $x=v t+r_{0}$ – расстояние рамки от проводника в момент времени $t$ Дифференцируя уравнение (25.9) по времени $t$, по закону Фарадея находим выражение лля 9.д.с. индук: ции в рамке:
\[
\boldsymbol{\delta}_{n}=\frac{\mu_{0} / a_{v}}{2 \pi\left(a+v t+r_{0}\right)\left(v t+r_{0}\right)} .
\]
Производя вычисления (полезно заметить, что $v t \gg r_{0}$, $v t \gg a$ при $t>10^{-1}$ с и величинами $r_{0}$ и $a$ в скобках можно пренебречь), получим
\[
8 .=8 \cdot 10^{-13} \text { B. }
\]
Числовое значение э.д.с. ничтожно, ибо рамка движется с большой скоростью и через время $t=10 \mathrm{c}$, во-первых, будет находиться от проводника на расетоянии $x=1$ км, где магнитное поле мало и где, во-вторых, измененне магнитного потока через рамку также мало. Изменим несколько условия примера 25.3.
Пример 25.4 Пусть в условиях примера 25.3 от 6 есконечноео проводника удаляется со скоростью о ме вся рамка, а лише ее бокоеая сторона длиной а (рис. 25.2). Сопротияление рамки изестно. Сопротияление подеодящцх проводов и подвижнод стороны а равно кулю. Oпределить силу тока в контуре в произвольньй момент времени $t$.
$\mathrm{P}$ еше и и е. Обозначим $I_{1}$ силу тока в бесконечном проводнике. По условию она постоянна. Изменение магнитного потока через контур обусловлено движением перемычки $a$. Применяя метод ДИ, находим магнитный поток Ф через контур:
\[
\Phi=\int_{r_{0}}^{v t} \frac{\mu_{0} \mu I_{1} a}{2 \pi x} \mathrm{~d} x=\frac{\mu_{0} \mu I_{1} a}{2 \pi} \ln \left(\frac{v}{r_{0}} t\right),
\]
и далее э.д.с. индукции и силу тока:
\[
\mathscr{E}_{\mathrm{u}}=\frac{\mu_{0} \mu I_{1} a}{2 \pi t} ; I=\frac{\mu_{0} \mu I_{1} a}{2 \pi R t} .
\]
Можно усложнить только что решенную задачу, предположив, например, что сила тока в проводнике изменяется
со временем по какому-либо закону $I_{\mathrm{i}}=f(t)$. Тогда по (25.10)
\[
\Phi=\frac{\mu_{0} \mu a f(t)}{2 \pi} \ln \left(\frac{v}{r_{0}} t\right)
\]
и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{E}_{\mathrm{u}}=\frac{\mu_{0} \mu a f^{\prime}(t)}{2 \pi} \ln \left(\frac{v}{r_{0}} t\right)+\frac{\mu_{0} \mu a f(t)}{2 \pi t}, \\
I=\frac{\mu_{0} \mu a f^{\prime}(t)}{2 \pi R} \ln \left(\frac{v}{r_{0}} t\right)+\frac{\mu_{0} \mu a f(t)}{2 \pi R t} .
\end{array}
\]
Пример 25.5 По двум гладким медным шинам, установленным под уелом а к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массой $m$ (рис. 25.3). Сверху шины замкнуты на конденсатор емкости C. Расстояние между шинами $l$. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренеб. режимо малы. Найти ускорение перемьчки.
Решение. Как и в предыдущей задаче, изменение магнитного потока через контур обусловлено движением перемычки. По закону Ома для неоднородного участка э.д.с. индукции $\mathscr{£}_{\text {и }}$ в любой момент времени равна разности потенциалов $\Delta \varphi$ на обкладках конденсатора:
\[
\mathscr{\delta}_{u}=\Delta \varphi \text {. }
\]
Но $\Delta \varphi=Q / C$. Следовательно, сила индукционного тока в контуре
Так как магнитное поле однородно, то
\[
\mathscr{E}_{\mathrm{u}}=B \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}=B l \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=B l v,
\]
где $S$ – площадь контура. Таким образом,
\[
I=C B l \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=C B l a,
\]
где $a$ – искомое ускорение перемычки.
На перемычку действуют две силы: сила тяжести $m g$ и сила Ампера $I l B=C B^{2} l^{2} a$. По второму закону Ньютона, $m a=m g \sin \alpha-C B^{2} l^{2} a$.
Отсюда
\[
a=\frac{m g \sin \alpha}{m+C B^{2} l^{2}} .
\]
Если на перемычку действует сила трения, то легко показать, что
\[
a=\frac{m g \sin \alpha-f m g \cos \alpha}{m+C B^{2} l^{2}},
\]
где $f$ – коэффициент трения.
Если внешнее магнитное поле отсутствует, но сила тока $I$ в контуре изменяется с течением времени $t$, то собственный магнитный поток
\[
\Phi=L I
\]
через контур изменяется и возникает э. д. с. самоиндукции
\[
\mathscr{E}_{\mathrm{c}}=-L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t} .
\]
9. д. с. самоиндукции создает ток самоиндукции. При размыкании или замыкании электрической щепи возникают экстраток размыкания
\[
I=I_{0} \mathrm{e}^{-(R / L) t}
\]
или экстраток замыкания
\[
I=I_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-(R / L) \eta}\right),
\]
где $I_{0}=\mathcal{\delta} \sqrt{ } R$ – установившееся значение тока в цепи, 8. – 9. д. с. источника.
Пример 25.6 Соленоид с индуктивностью $L=10^{-1}$ Гн и сопротиелением $R=2 \cdot 10^{-3}$ Ом замыкается на источ: ник э. д. с. $\boldsymbol{\delta}_{0}=2$ В, өкутреннее сопротивление котород ничтожно мало. Какое количестео электричества пройдет через соленоид за переые 5 с после замыкания?
Решение. При замыкании соленоида на 9. д. с. \&. возникает переменный экстраток замыкания (25.14). Поэтому для расчета количества электричества, которое проидет через соленоид, применим метод ди.
Разделим промежуток времени $t$ на столь малые отрезки $\mathrm{dt}$, чтобы в пределах каждого такого отрезка времени силу тока можно было считать приближенно постоянной. Тогда элементарное количество электричества dQ, которое пройдет через соленоид за этот промежуток времени $\mathrm{d} t$,
\[
\mathrm{d} Q=I \mathrm{~d} t=\frac{\mathcal{E}_{0}}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-(R / L) \eta}\right) \mathrm{d} t .
\]
Отсюда после интегрирования по времени $t$ находим
\[
Q=\int_{0}^{\delta} \frac{\delta_{0}}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-(R / L) \eta} \mathrm{d} t=\left.\frac{\delta_{l}}{R}\left(t+\frac{L}{R} \mathrm{e}^{-(R / L) t}\right)\right|_{0} ^{s},\right.
\]
$Q \approx 181 \mathrm{Kл}$.
Если бы мы ошибочно предположили, что сила тока мгновенно достигает своего установившегося значения $I_{0}=$ $=\mathcal{E} / R$ (что, впрочем, возможно, если $L$ мало), то мы получили бы $Q=I_{0} t=\left(\mathcal{E}_{0}^{\prime} / R\right) t, Q=500 \mathrm{Kл}$. Этот ошибочный peэультат очень сильно отличается от верного ответа (25.15). Ответ $Q=500$ Кл был бы правильным, если бы по условиям задачи явлением самоиндукции можно было пренебречь. Пряммм расчетом можно показать, что при $L=10^{-2} \Gamma_{\text {н за- }}$ за ряд $Q \approx 495$ Кл. Таким образом, при $L=10^{-3} \Gamma$ г в данной задаче явлением самоиндукции можно было бы пренебречь.
