В этом случае для расчета поля тяготения используют принцип суперпозиции и метод ДИ (см. § 6). Применяя этот метод при расчете напряженности поля, очень важно учитызать векторный характер этой величины. После нахождения элементарного вектора напряженности $\mathrm{dE}$ определяют его проекции $\mathrm{d} E_{x}, \mathrm{~d} E_{y}, \mathrm{~d} E_{z}$ на соответствующие оси координат, а последующее интегрирование (суммирование) про-. изводят для каждой проекции отдельно.

Если напряженность поля известна, то задачу на движение тел в таких полях решают или динамическим методом, или методом законов сохранения.
Пррмер 18.1 Oписать дешжение материальной токид в поле тяготекия длинково тонково однородноео стержня масой М и длиной l. Влиянием других тел пренебречь
Решения й Ограничимся решением одномерной задачи – предположим, что материальная точка в начальный момент времени находилась на оси стержня на расстоянии $x_{0}=l$ от одного из его концов (точка $A$ на рис. 18.1)
и имела начальную скорость, равную нулю $\left(v_{0}=0\right)$. Физическая система состоит из двух тел: стержня и материальной точки (обозначим ее массу $m$ ). Физическое явление заключается в движении материальной точки в поле тяготения стержня.
Сила тяготения, действующая на материальную точку, неизвестна (она не равна $\boldsymbol{F}=\mathrm{GmM} / \mathrm{x}^{2}$, ибо стержень не ма: териальная точка). Для применения динамического метода необходимо рассчитать поле тяготения стержня на его оси, т. е. найти вектор его напряженности Е и потенциал ч. Применим метод ДИ. Будем считать, что $m \ll M$. Инерциаль: ную систему свяжем со стержнем, начало координат поместим в левый конец стержня, а ось $O X$ направим вправо. Разделим стержень на столь малые части, чтобы каждую из них можно было принять за материальную точку. Рассмотрим один такой элемент длиной $\mathrm{d} x$, находящийся на расстоянии $x$ от произвольной точки $A$ на оси стержня. Erо масса $\mathrm{d} m=\rho S \mathrm{~d} x$, где $S$ – площадь сечения стержня, а $\rho$ плотность. Так как выделенный элемент – материальная точка, то характеристики его поля (напряженность $\mathrm{d} E$ и потенциал (ф) известны:
\[
\mathrm{d} E=\frac{G \mathrm{~d} m}{x^{2}}=\frac{G \rho S \mathrm{~d} x}{x^{2}}, \quad \mathrm{~d} \varphi=-\frac{G \mathrm{~d} m}{x}=-\frac{G \rho S \mathrm{~d} x}{x} .
\]

Заметим, что в нашем случае все элементарные векторы напряженности dE направлены в одну сторону. После интегрирования получаем суммарные характеристики поля всех элементов стержня (т. е. поле стержня):
\[
\begin{array}{l}
E=\int_{x_{0}}^{l+x_{0}} \frac{G \rho S \mathrm{~d} x}{x^{2}}=\frac{G M}{x_{0}\left(l+x_{0}\right)}, \\
\varphi=-\int_{x_{0}}^{l+x_{0}} \frac{G \rho S \mathrm{~d} x}{x}=-\frac{G M}{l} \ln \left(1+\frac{t}{x_{0}}\right) .
\end{array}
\]

Сила, действующая на материальную точку, находящуюся на расстоянии $x$ от начала коордииат,
\[
\mathbf{F}=-\frac{G M m}{x(x+1)} \mathbf{i} .
\]

По второму закону Ньютона
\[
\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=-\frac{G M}{x(x+b)}
\]

получаем дифференциальное уравнение, после решения которого можно было бы найти закон движения материальной точки.
Применяя закон сохранения энергии в механике
\[
-\frac{G_{m} M}{l} \ln \left(1+\frac{l}{x_{0}}\right)=-\frac{G_{m} M}{l} \ln \left(1+\frac{l}{x}\right)+\frac{m v^{2}}{2},
\]

можно определить скорость движения материальной точки, находящейся на расстоянии $\boldsymbol{x}$ от правого конща стержня:
\[
v=\sqrt{\frac{2 \sigma M}{l} \ln \frac{1+l / x}{1+l / x_{0}}} .
\]

Рассмотрим несколько примеров более сложных полей. Пример 18.2 Определить капряженность поля тяготения тонкого кольца радиуса $R$ и масок $M$ в точке $A$ (рис. 18.2), расположенной на оси кольца на расстоянии $\boldsymbol{x}$ от его плоскости.
Реше и и е. Физическая система состоит из кольца и его поля тяготения. Необходимо решить основную задачу поля тяготения – рассчитать поле кольца. Но кольцо нель3я считать материальной точкой и, следовательно, формула (16.4) неприменима.

Используем метод ДИ. Разделим кольцо на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой. Рассмотрим один такой элемент $\mathrm{d} l=R \mathrm{~d} \varphi$ (рис. 18.2). Он создает поле тяготения, вектор напряженности которого в точке $A$ равен $\mathrm{dE}$, а его модуль
\[
\mathrm{d} E=\frac{G \mathrm{~d} M}{R^{2}+x^{2}},
\]

где $\mathrm{d} M=\frac{M}{2 \pi R} \mathrm{~d} l$-масса элементә $\mathrm{d} l$. Вектор $\mathrm{dE}$ составляет угол $\alpha$ с осью $O X$ и угол $\varphi$ с осью $O Z$. Проекция вектора $\mathrm{d}$ \& 100
на ось $O X$
\[
\mathrm{d} E_{x}=\frac{G \mathrm{~d} M}{R^{2}+x^{2}} \cos \alpha=\frac{G M x \mathrm{~d} \varphi}{2 \pi\left(R^{2}+x^{2}\right)^{1 /}} .
\]

После интегрирования (18.2) по углу ч находим проекцию искомого вектора напряженности на ось $O X$ :
\[
E_{x}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{G M x d \varphi}{2 \pi\left(R^{2}+x^{2}\right)^{0 /}}=\frac{G M x}{2 \pi\left(R^{2}+x^{2}\right)^{\%}} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \varphi=\frac{G M x}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{7 /}} .
\]

Легко видеть, что в силу симметрии сумма проекций элементарных напряженностей на оси $O Y$ и $O Z$ равны нулю: $E_{y}=0, E_{z}=0$. Следовательно, искомый вектор напряженности направлен вдоль оси $O X$ и его модуль выражается формулой (18.3). После расчета напряженности поля кольца можно поставить ряд задач на движение тел в этом поле.
Пример 18.3 Описать деижение материальной точки массь $m$, переоначально находиешейся в покое в токке $O_{1}$, расположенмой на оси тонково кольца массь $M$ и радиуса $R$ на расстоянии $x_{2} \leqslant R$ от плоскости кольца. Принять, что $m \ll M$ (рис. 18.3).
Решения е. Описать движение материальной точки в известном поле тяготения – это значит найти закон ее движения. Это основная задача динамики.

Используя динамический метод по второму закону Ньютона, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
\[
m \bar{x}=-\frac{G M m}{R^{3}} x .
\]

Здесь учтено, что при $x \ll R$ напряженность (18.3) поля тяготения кольца $E \approx \frac{G M}{R^{3}} x$. Таким образом, материальная точка совершает гармонические колебания по закону $x=$ $=x_{0} \sin \left(\omega_{0} t+\alpha_{0}\right)$, период которых $T=2 \pi R V \overline{R /(G M)}$.

Если условие $x_{0} \ll R$ не выполняется, то тем же динамическим методом находим более сложное дифференциальное уравнение
\[
m \ddot{x}=-\frac{G m M}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{1 /}} x,
\]

после решения которого можно было бы получить закон движения $x=x(t)$. Нспользуя закон сохранения энергии, можно было бы найти зависимость скорости $v$ материальной точки от координаты $\boldsymbol{x}$. Но для этого необходимо определить потенциал поля тяготения кольца, применяя или метод ДИ, или формулу (16.6).

Усложним условия примера 18.2: рассчитать поле полукольца в той эсе точке. Легко видеть, что в этом случае проекция результирующего вектора напряженности на ось $O X$ уменьшится в два раза:
\[
E_{x}=\frac{G M_{x}}{2\left(R^{2}+x^{3}\right)^{\pi /}} .
\]

Но самым важным является то, что вследствие нарушения симметрии возникает отличная от нуля проекция $E_{2}$ этого. вектора на ось $O Z$. Так как
\[
\mathrm{d} E_{z}=\frac{G M \sin \alpha \cos \varphi \mathrm{d} t}{2 \pi R\left(R^{2}+x^{2}\right)}=\frac{G M R \cos \varphi d \varphi}{2 \pi\left(R^{2}+x^{3}\right) \%},
\]

то
\[
E_{z}=\int_{-\pi / 2}^{+\pi / 2} \frac{O M R \cos \varphi d \varphi}{2 \pi\left(R^{2}+x^{2}\right) \%}=\frac{G M R}{\pi\left(R^{2}+x^{2}\right)^{\%}} .
\]

Заметим, что в силу симметрии $E_{v}=0$.
Можно еще более усложнить условия примера 18.2: расситать поле четеерти кольца, дуги с центральным уд лом $\varphi<\pi / 2$ и т.д. Все эти задачи могут быть решены те же методом.

Применим полученные результаты к расчету поля полу сферы.
Пример 18.4 Сфера масоы $M$ и радиуса $R$ разделена на дее полусферы плоскостью, проходяцей через ее центр Определить потенциал поля тяготения каждой поль
сферы в точке O, располоменкой ка прякой (перпендику. лярнод делящей плоскости и проходящед через центр сферы) на расстоянии $x>R$ от центра сферы (рис. 18.4).
Р еш е н и е. Для расчета поля тяготения каждой полусферы (не материальные точки) применим метод ДИ. Разделим каждую полусферу на узкие кольца ширины $R \mathrm{~d} \theta$ и радиуса $R \sin \theta$. Рассмотрим одно такое кольдо. Его площадь
\[
\mathrm{d} S=2 \pi R \sin \theta \cdot R \mathrm{~d} \theta=2 \pi R^{2} \sin \theta \mathrm{d} \theta,
\]
a масса
\[
\mathrm{d} M=\frac{\mathrm{d} S}{4 \pi R^{2}} M=\frac{M \sin \theta \mathrm{d} \theta}{2} .
\]

Так как все элементы этого кольда находятся на одинаковом расстоянии $l$ от точки $O$, то элементарный потенциал поля тяготения этого кольца в точке $O$
\[
\mathrm{d} u=-G \frac{\mathrm{d} M}{l}=-\frac{G M}{2} \frac{\sin \theta \mathrm{d} \theta}{l} .
\]

Из треугольника $A B O$, по теореме косинусов,
\[
l^{2}=R^{2}+x^{2}-2 R x \cos \theta \text {. }
\]

После дифференцирования последнего соотношения
\[
2 l \mathrm{~d} l=2 R x \sin \theta \mathrm{d} \theta
\]

находим, что
\[
\sin \theta \mathrm{d} \theta=l \mathrm{~d} l /(R x) .
\]

Подставив это соотношение в (18.11), окончательно получаем выражение для элементарного потенциала du как фуикции одного перемениого $t$ :
\[
\mathrm{d} u=\frac{G \mathrm{~d} \mathrm{~d} t l}{2 R x} .
\]

Можно было бы выразить элементарный потенциал как функцию одного переменного угла $\theta$ (исключив $l$ из (18.11) с помощыю (18.12)). В этом случае последующее интегрирование будет более сложным, чем интегрирование соотношения (18.13).

Обозначив $U_{1}$ потенциал правой полусферы, $U_{2}-$ потенциал левой, после интегрирования (18.13) находим

Сложив (18.14) и (18.15), получим выражение для потенциала поля тяготения сферы в точке, расположенной вне сферы:
\[
U=U_{1}+U_{2}=-G M / x .
\]

Тем же методом можно рассмотреть случай, когда $x<R$. Так же можно рассчитать поле тяготения вне и внутри однородного шара, что было частично сделано в задаче о колебаниях тела в шахте (см. пример 12.1) и т. д. В заклочение этого параграфа рассмотрим такую задачу.
Пример $18.5 \mathrm{Ha}$ оси панетарнод туманности ка расстоянии $r_{0}=5 \mathrm{~d}$ от центра масс туманности находится космический корабль с выключемными деигателями.
Через сколько өремени корабль достигетет туманности, дөигаясь к ней только под дейстеием ее силь тяготения? Считать туманность диском диаметром $d=10^{-1} \Pi$, толщцной $h=10^{-3}$ Пс с однороднєм распределекием вецества плотности $\rho=10^{-17} \mathrm{кr} / \mathrm{m}^{3}$. Начальную скорость корабля отмосительно туманности приялть равной $v_{0}=0$. Масса корабля $m=10^{5}$ кг (1 Пс $=3,08 \cdot 10^{13}$ км $=$ $\left.=3,08 \cdot 10^{16} \mathrm{M}\right)$. зических объектов: туманности и космического корабля. Корабль можно считать материальной точкой. Так как
104
толщина туманности мала и по сравнению с расстоянием $r_{\text {o. }}$ и по сравнению с диаметром туманности, то будем приближенно считать туманность тонким диском. Происходит движение материальной точки (корабля) в поле тяготения туманности (диск – не матернальная точка). Необходимо определить время движения корабля. Для этого надо знать закон его движения. Закон движения можно определить динамическим методом, если будет известно поле (напряженность) тяготения туманности.

Итак, план решения задачи известен: сначала необходимо рассчитать напряженность поля тяготения тонкого диска (туманности) массой
\[
M_{\tau}=\pi d^{2} h \rho / 4 .
\]

Затем динамическим методом нужно определить закон движения корабля и далее из закона движения найти время движения.

Рассчитаем напряженность поля тяготения диска. Применим метод ДИ. Разделим диск на тонкие кольца шириной dr. Рассмотрим одно такое кольдо радиуса $r$ (рис. 18.5). Ero масса
\[
\mathrm{d} M=2 \pi r h \rho \mathrm{d} r .
\]

По формуле (18.3) найдем элементарную напряженность поля тяготения кольыа:
\[
\mathrm{d} E_{\mathrm{r}}=\frac{2 \pi G r d \rho r \mathrm{~d} r}{\left(r^{2}+r^{2}\right) \%} .
\]

После интегрирования (18.19) определим напряженность поля тяготения туманности:
\[
E_{\tau}=\int_{0}^{d / 2} \frac{2 \pi G r o p h r d r}{\left(r^{2}+r^{3}\right)^{\%}}=2 \pi G \rho h\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{d}{2 r_{0}}\right)^{2}}}\right) .
\]

Далее, применяя динамическић метод, по второму закону Ньютона получим дифференциальное уравнение
\[
m \ddot{x}=-2 \pi G \rho h m\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{d}{2 x}\right)^{2}}}\right),
\]

после решения которого можно было бы найти закон движения корабля $x=x(t)$ и, следовательно, время движения $t_{6}$. Но, оказывается, в данной задаче и не нужно было составлять дифференциальное уравнение (18.21) и тем более его решаты Искомое время $t_{0}$ движения можно определить приближенно, используя средства более скромные, чем те, которыми мы воспользовались при решении данной задачи. Мы имеем в виду метод оценки. Прежде всего оценим массу туманности. Из (18.17) получаем
\[
M_{\tau}=\pi d^{2} h \rho / 2 \text {, или } M_{\tau} \approx 2 \cdot 10^{2 s} \text { кг. }
\]

Таким образом, масса туманности весьма мала: она меньше массы Солнца $M_{c}=2 \cdot 10^{30}$ кг на пять порядков. Учитывая, что размеры туманности велики (толщина туманности $h=3 \cdot 10^{13}$ м в несколько раз больше диаметра $d_{6} \approx 1,2 \cdot 10^{13} \mathrm{м}$ Солнечной системы), нетрудно предсказать, что поле тяготения, создаваемое такой туманностью, даже на ее границах весьма слабо.

Оценим порядок величины напряженности $E_{\tau}$ для двух значений $r_{0}:$ 1) $r_{0}=5 d$ и 2) $r_{0} \approx 0$ (на границе туманности). Из $(18.20)$ находим $E_{\tau}^{\prime} \approx 10^{-1 \%} \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$ и $E_{\tau} \approx 10^{-13} \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$. Эти значения напряженностей чрезвычайно малы. Если космический корабль движется даже с максимальным ускорением $a=E_{\tau}^{*}$, то для прохождения пути $s=1$ м ему потребуется время
\[
t_{1}=\sqrt{2 \mathrm{~s} / E_{\mathrm{r}}^{*}}, \quad t_{1} \approx 4,5 \cdot 10^{4} \mathrm{c} \approx 52 \mathrm{cy \tau},
\]

а на преодоление расстояния $r_{0}=5 d$ время
\[
t_{0}=\sqrt{5 d / E_{r}^{*}}
\]

что составляет около $1,7 \cdot 10^{4}$ с, или $5 \cdot 10^{4}$ лет.
Таким образом, в таком слабом поле тяготения космический корабль практически находится в состоянии покоя. Вот каков оценочный результат решения данной задачи. Он весьма поучителен и показывает, что иногда, прежде чем применять физические законы и составлять (дифференциальные) уравнения, полезно оценить порядок некоторых величин и проанализировать (сравнить) полученные результаты.