В основе метода расчета физических полей лежит фундаментальный физический принцип – принцип суперпозиции. В том случае, если поле создано системой материальных точек, сначала определяют поле (т. е. соответствующий вектор $\mathbf{E}_{l}$ ) для каждого тела отдельно. Затем по принципу суперпозиции находят результирующее поле (вектор Е) как геометрическую сумму векторов напряженности:
\[
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\ldots+\mathbf{E}_{l}+\ldots+\mathbf{E}_{n} \text {. }
\]

Поле тяготения одной материальной точки рассчитано в предыдущем параграфе. Описание движения даже одного тела в поле тяготения материальной точки представляет некоторые математические трудности. Заметим, что физически решить такие задачи, т. е. составить замкнутую систему уравнений, применяя или динамический, или метод законов сохранения, относительно легко. Трудности для студентов первого курса возникают на математическом этапе, когда необходимо решать полученную систему (обчно дифференциальных) уравнений.

Сначала полезно решить несколько элементарных задач на оценку: рассчитать напряженность и потенциал поля тяготения на поверхности Луны, Солнца, Марса (указав, что $g=G M / R^{2} \approx 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$ – это напряженность поля тяготения на поверхности Земли), определить (оценить) первую и вторую космические скорости для Земли, Луны, Марса и т. д.
Затем можно сформулировать первую задачу на описание движения материальной точки в известном поле тяготения. Целесообразно даже дать ее как непоставленную.
Пример 17.1 На северном полюсе Земли вертикально веерх запускают ракету с начальной скоростью $v_{6}(m . e$. предполагается, что деигатели ракеть мгновенно сообщалот ей начальную скорость $v_{0}$ и далее отключаются). Oписать ее деижение.
Реше и и е. Задача не поставлена. Первое упрощение очевидно: сопротивлением воздуха пренебрегаем. Ракету можно принять за материальную точку. Описать ее движение возможно, если будет найден закон движения ракеты. Закон движения существенно зависит от значения начальной скорости $v_{0}$. Предположим, что $v_{0}$ столь мала, что в точке наивысшего подъема ускорение свободного падения $g_{i}$ (а это напряженность поля тяготения Земли) незначительно отличается (скажем, не более чем на $1 \%$ ) от ускорения свободного падения $g_{0}$ на поверхности Земли. Полезно оденить эту высоту $h_{1}$ и соответствующую начальную скорость $v_{01}$. Так как, по предположению, $\left(g_{0}-g_{1}\right) / g_{0}=10^{-2}$ и
\[
g_{0}=\frac{G M}{R^{2}}, \quad g_{1}=\frac{G M}{\left(R+h_{2}\right)^{2}},
\]

то $h_{1} \approx R\left(\frac{1}{\sqrt{0,99}}-1\right)$ и $v_{01}=\sqrt{2 g h_{1}}$, т. е. $h_{1} \approx 32$ км и $v_{01} \approx 800 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.

Таким образом, если $v_{0} \ll v_{0 f}$, то ускорение ракеты приблизительно постоянно и мы получаем тривиальную школьную задачу о равнозамедленном движении материальной точки вертикально вверх с постоянным ускорением $\mathrm{g}_{0}$. Закон движения в этом случае записываем в виде
\[
x=v_{0} t-g_{0} t^{2} / 2
\]

и далее определяем любой параметр движения.
Не будем также рассматривать и случай, когда начальная скорость $v_{0}$ больше или равна $v_{2} \approx 11,2 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$ – второй космической скорости для Земли. Итак, мы можем сформулировать первую задачу в таком виде.
Пример 17.2 На северном полюсе Земли вертикально веерх запускают ракету с мачальной скоростью $v_{0}$, удовлетворяюцей услоеиям $v_{2}>v_{0}>v_{01}$. Найти закон ее движения. Сопротивлением воздуха пренебречь. Дейстөие Луны, Солнца и других тел на дөшжение ракеты не учиmенеть.

Р еш е н и е. В физическую систему включим два тела: ракету и Землю. Ракету можно принять за материальную точку. Поле тяготения Земли (фферическое тело) известно. Происходит движение материальной точки (ракеты) в известном (неоднородном) поле тяготения. Необходимо определить закон движения ракеты. Это основная задача динамики материальной точки.

Применим второй закон Ныотона. Инерциальную систему отсчета свяжем с Землей (так как масса Земли значительно больше массы ракеты, то Землю принимаем за неподвнжное тело), ось $\delta X$ направим вертикально вверх, начало координат поместим в центр Земли. На ракету действует единственная сила – сила тяготения. Очень важно отметить, что эта сила переменная. Тогда, по второму закону Ньютона,
\[
m \ddot{x}=-G m M / x^{2} \text { (лля } x \geqslant R \text { ). }
\]

Задача физически решена: получено одно дифференциальное уравнение для неизвестной функции $x(t)$ – координаты ракеты, которая и является искомым законом движения. Однако решение этого уравнения для студентов первого курса является весьма затруднительным. Необходимо подчеркнуть два момента. Во-первых, нужно отметить, что уравнение (17.2) в принщипе решается и в конечном итоге можно получить искомый закон движения ракеты. Во-вторых, уже здесь можно сказать студентам, что иногда в процессе решения физических задач получаются такие уравнения, точного решения для которых не существует вообще. Тогда необходимо обратиться к ЭВМ для получения числовых и приближенных решений.

Попробуем упростить постановку задачи, используя не динамический метод, а метод законов сохранения. Применим закон сохранения энергии к выбранной системе Земля ракета:
\[
\frac{m v^{2}}{2}-\frac{m O M}{R}=\frac{m v^{*}}{2}-\frac{m O M}{x},
\]

где $v$ – скорость ракеты в точке с координатой $x$.
Отсюда можно определить максимальную координату ракеты (при $v=0$ ):
\[
x_{\max }=\frac{2 O M R}{2 O M-0 \frac{10}{2} R} .
\]

Если начальная скорость $v_{6}$, например, равна первой космической скорости $v_{1}=\sqrt{\overline{G M I R}}$, то максимальная коор-
96
дината $x_{\max }=2 R$, а максимальная высота подъема $h_{\max }=$ $=R \approx 6400$ км. Из уравнения (17.3) можно получить зависимость скорости ракеты от координаты $x$ :
\[
v=\sqrt{v_{0}^{4}-2 G M\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{x}\right)} .
\]

График этой зависимости представлен на рис. 17.1. Теперь мы можем сформулировать вторую, более простую задачу.
Пример 17.3 На сеєерном полюсе Земли вертикально веерх запускают ракету с начальной скоростью $v_{6}$, удовлетворяощей условиям $v_{2}>v_{0}>v_{01}$. Oпределить максимальную евсоту подвема ракеть, а также ее скорость в произоольной точке траектории. Сопротиелением 6оздуха пренебречь. Влиякие Луны, Солнца и других тел на деижение ракеть не учитьвать.
Решение этой задачи уже получено (см. формулы (17.4) и (17.5)).

Заметим, что в рассмотренных задачах необходимо более детально оценить верхний предел начальной скорости: при скоростях, близких к $v_{2}$, высота подъема ракеты становится настолько большой, что влиянием Луны, Солнца и других тел на движение ракеты уже пренебрегать нельзя. Полезно предложить сделать соответствующие оценки наиболее успевающим студентам.

В заключение этого параграфа рассмотрим еще одну задачу.
Пример 17.4 Космическая ракета дөижется вокруг Земли по орбите, почти соепадающей с орбитой Луны. При өключении тормозного устройстеа ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Земню (рис. 17.2). Определить время падения ракеть на Земно. Сопротивлением өоздуха атмосферы Земии и виянием других тел пренебречь. Происходит движение ракеты в поле тяготения Земли. Из решения предыдущих задач видно, что динамический метод приводит к сложному дифференциальному уравнению, а метод законов сохранения дает возможность найти лишь скорость ракеты в лобой точке траектории, но не искомое время падения. Стандартные методы пока ни к чему не привели. Возникает догадка (1) рассматривать движение ракеты как движение спутника планеты Земля по очень вытянутому эллипсу, длина большой оси которого равна радиусу орбиты Луны $R_{л \approx 4 \cdot 10^{5}}$ км, а экцентриситет $\varepsilon=1$. Тогда можно использовать трети й закон Кеплеp a
\[
\left(\frac{2 t}{T}\right)^{2}=\left(\frac{1 / 2 R \pi}{R \pi}\right)^{3},
\]

где $t$ – время падения, $T=27,3$ сут – период обращения Луны вокруг Земли. После вычисления находим $t=T /(4 \sqrt{2})$, что составляет примерно 4,85 сут.