Лучше говорить не о стандартных, нестандартных и оригинальных задачах (ибо мы видели, что одна и та же задача, например, в зависимости от выбора системы отсчета может оказаться и стандартной, и нестандартной, и даже оригинальной), а о способах решения задач (стандартный, нестандартный и оригинальный).

Очевидно, что попытка классификации оригинальных задач, по-видимому, тоже (как и вообще для всех нестандартных задач) является безнадежной. Можно только заметить, что оригинальные задачи часто допускают и стандартное, и нестандартное, и оригинальное решение. В первом случае для решения задачи достаточно применить только конкретные и обобщенные знания, во втором используют еще и догадки, причем роль последнего элемента не столь существенна, и, наконец, в третьем случае задача может быть решена только с помощыо догадки, интуиции. Эти последние задачи и можно было бы назвать собственно оригина.тьными. Приведем несколько примеров.
Пример 34.1 В круге радиуса $R$ верезак круе радиуса $r<R / 2$, центр которого расположен на растоянии $a<(R-r)$ от центра большово круга (рис. 34.1, a). Oпределить центр масс образовавиейся фигуры.
Реше и и е. Задача допускает и стандартное решение, вытекающее из определения пентра масс (см. (13.2)).
Стандартное решение связано с относительно громоздкими вычислениями. Попробуем поискать нестандартное, а может быть, и оригинальное решение. В чем особенность данной физической системы? Круги – фигуры симметричные с бесконечно большим числом осей симметрий (диа-

метры кругов). Центр масс большого круга (обозначим эту фигуру символом 11, рис. 34.1 , б) до выреза находился в центре круга (точка $O$ ). Фигура, образовавшаяся после выреза малого круга (обозначим ее символом 1), осталась симметричной, но только с одной осью симметрии $\left(O O_{1}\right)$.

Возникает догадка: а если вырезать не один, а два малых круга, расположенных симметрнчно относительно центра большого круга (рис. 34.2, a)? Центр масс образовавшейс фигуры (обозначим ее символом III) будет (в силу симмет рии) находиться в точке 0 . Вернем второй малый круг (эт) фигуру обозначим символом IV; рис. 34.2 , б) на свое место Тогда задача о нахождении центра масс фигуры 1 сводитс к определению центра масс системы фигур III и IV, центри мас которых известиы. Так как центр масс двух тел лежи на прямой, соединяющей их центры масс в точке
(рис. 34.2), делящей расстояние $a_{0}$ между ними в отношении, обратно пропорциональном их массам, то
\[
\frac{x}{a_{0}-x}=\frac{m_{1}}{m_{4}},
\]

где $x=|A O|, \quad m_{1}=\alpha \pi r^{2}-$ масса фигуры IV, $m_{4}=\alpha\left(\pi R^{2}-\right.$ $\left.2 \pi r^{2}\right)$ – масса фигуры III, $\alpha=$ const. Из (34.1) находим искомую координату дентра масе фигуры 1:
\[
x=\frac{a_{0} f^{2}}{R^{2}-r^{2}} .
\]

Заметим, что самым важным во втором (оригинальном) решении этой задачи была догадка о вырезе дополнительного (второго) малого круга. А эта догадка – элемент опыта, физической интуиции.

Уложним условия решенной задачи: пусть вырез произведен в несимметричной фигуре, например в треугольнике.
Пример 34.2 В треугольнике со сторонами $a$, в и с вырезан круг радиуса $r$, центр которого лежит ка медиане $A D$ на расстоянии $a_{1}=|M N|$ от точки пересечения медиан $М$ (рис. 34.3). Oпределить центр масс образоваешейся фигуры.
Р еше н и е. Легко видеть, что и эта задача допускает стандартиое решение по формуле (13.2) с громоздкими вычислениями. Попробуем найти другое решение. Соособ (с вырезанием другого круга с целью получить фигуру с большей симметрией), использованный в предыдущей задаче, здесь не годится: исходная фигура (треугольник) не симмет: рична. Но идею о комбинации фигур можно попытаться применить. Вложим вырезанный круг (обозначим эту фигуру символом I). Тогда мы получим треугольних $O A B$ (обозначим эту фигуру символом III), центр масс которого лежит в точке пересечения медиан $M$. Но центр масс фигуры II (треугольник с вырезанным кругом) лежит в точке $L$ на медиане $A D$ на неизвестном расстоянии $x$ от точки $M$, и возникает идея рассматривать фигуру III как комбинацию фигур 1 и II. Так как массы фигур известны $\left(m_{1}=\alpha \pi r^{2}\right.$, $m_{2}=m_{2}-m_{1}, \quad m_{2}=\alpha\left[\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}-r r^{2}\right]$, где,$p=$ $=(a+b+c) / 2$, $)$ то уравнение (34.1) определяющее центр масс системы фигур I и II, принимает в данном случае вид
\[
x / a_{4}=m_{2} / m_{2} \text {. }
\]

В общем виде его решение:
\[
x=\frac{\pi r^{2} a_{1}}{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)-\pi r^{2}}} .
\]

Пример 34.3 В равномерно заряженном электрическом шаре имеется сферическая полость, чентр которой находится на расстоянии а от центра шара (рис. 34.4). Найти напряженность ялектрическоео поля в произвольной точке поности, если плотность заряда равна $\rho$. $\mathrm{P}$ еше и ие. Физическая система состоит из равномерно заряженного шара с полостью. Необходимо рассчитать электрическое поле в полости. Эта основная задача в теории электростатического поля.

Так как заряд шара неточечный, то можно было бы применить метод Дй (см. §6). Но это связано с трудоемкими вычислениями интегралов. Используем комбинационные идеи, изложенные выше. Обозначим $r$ радиус полости, а $R$ – радиус большого шара. Рассмотрим совокупностн трех тел, равномерно заряженных электричеством с плотностью $\rho$ : малый шар радиуса $r$ (обозначим это тело символом I), большой шар радиуса $R$ (символ III) и шар с поло стью (символ II). По принципу суперпозиции напряжен, ность поля $\mathbf{E}$, в любой точке внутри большого шара равны геометрической сумме напряженностей полей малого шар
\[
\mathbf{E}_{3}=\mathrm{E}_{1}+\mathbf{E}_{\mathbf{i}} \text {. }
\]

Отсюда искомая напряженность
\[
E_{2}=E_{5}-E_{i} \text {. }
\]

Пусть произвольная точка $A$ внутри полости находит на расстоянии $y$ от дентра полости и на расстоянин $x$ центра шара (рис. 34.4). Тогда по формуле для поля внуг
шара имеем
\[
\begin{array}{l}
E_{1}=\rho y /\left(3 e_{0}\right), \\
E_{3}=\rho x /\left(3 e_{0}\right) .
\end{array}
\]

Рассмотрим треугольники $A O O_{8}$ и $A B C$. Учитывая (34.2) и (34.3), находим
\[
\frac{|A B|}{|A C|}=\frac{E_{1}}{E_{3}}=\frac{y}{x}=\frac{\left|A O_{1}\right|}{|A O|} .
\]

Следователыно, эти треугольники подобны, отсюда
\[
\frac{|B C|}{\left|O O_{1}\right|}=\frac{|A C|}{|A O|} \text { или } \frac{E_{2}}{a}=\frac{E_{3}}{x} .
\]

Таким образом,
\[
E_{\mathrm{s}}=a \rho /\left(3 e_{\mathrm{o}}\right) \text {. }
\]

Так как $\mathrm{E}_{2} \| \mathrm{O}_{1}$ (это следует из подобия треугольников $A O O_{1}$ и $A B C$ ), то окончательно находим, что электрическое поле внутри полости однородно.
Пример 34.4 По бесконечному сплоиному цилиндрическому проводнику идет постоянкьй ток потности $j$. $B$ провднике имеется бесконечная цииндрическал полость, ось которой паралиельна оси проводника и отстоит от нее ма расстоянии а (рис. 34.5). Определить напряженность магнитного поля в произвольной точке полости.
Реше и и е. Используем метод (1), изложенный выше. Рассмотрим произвольную точку $A$ полости, отстоящую от оси оольшого цилиндра на расстоянии $x$ и от оси полости иа расстоянии $y$ (рис. 34.5). Полезно выделить три системы: ток и его магиитиое поле сплошного (без полости) большого цилиндра (обозначим символом III), ток и его магнитное поле большого цилиндра с полостыю (символ II) и ток и его магнитное поле малого цилиндра радиуса, равного радиусу полости (символ I). Так как (по принципу суперпозипии)
\[
\mathbf{H}_{3}=\mathrm{H}_{2}+\mathbf{H}_{2} \text {, }
\]

то искомая напряженность
\[
\mathbf{H}_{2}=\mathrm{H}_{3}-\mathbf{H}_{1} \text {. }
\]

По теореме о циркуляции вектора $\mathbf{H}$ находим
\[
H_{1}=\frac{i}{2} y, H_{3}=\frac{i}{2} x ;
\]

следовательно,
\[
\frac{H_{1}}{H_{3}}=\frac{y}{x}=\frac{\left|A O_{1}\right|}{|A O|} .
\]

Так как углы $B A C$ и $O A O_{1}$ равны, то треугольники $A B C$ и $O A O_{1}$ подобны. Таким образом,
\[
H_{2} / a=H_{3} / x \text { и } H_{2}=j a / 2 .
\]

Легко показать, что вектор $\mathbf{H}_{2}$ перпендикулярен вектору 00, и, следовательно, магнитное поле внутри полости однородно.

Заметим, что решение последней задачи оказалось стандартным потому, что до этого мы решили три почти такие же задачи и наш опыт и физическая интуиция возросли. Теперь уже можио поставить десятки подобных задач, и они будут для нас не оригинальными, а обычными стандартиыми задачами потому, что в продессе решения первых трех подобных задач мы нашли специальный метод их решения. Таким образом, понятия стандартиой, нестандартной или оригинальной задачи весьма условны и относительны и заг висят от опыта и физической интуищии того, кто эту задачу решает. Тем не менее классификащия задач на стандартные, нестандартные и оригинальные является полезной.