Распределение Больмана (31.6) для одномерного случая принимает вид
\[
\mathrm{d} w(x)=\frac{\mathrm{d} N(\mathrm{x})}{N}=B_{1} \mathrm{e}^{-U(x) / u n} \mathrm{~d} x,
\]
rде $\mathrm{d} N(x)$ – число частиц из данных $N$ в слое толщиной $\mathrm{dx}$ вблизи координаты $x$. Применим распределение (32.1) к атмосфере Земли. Предположим, что температура воздуха в атмосфере Земли постоянна: $T=$ const (случай изотермической атмосферы). Примем, что высота $h$ атмосферы значительно меньше радиуса Земли $R(h \ll R)$ и, следовательно, в пределах атмосферы можно считать ускорение свободного падения постоянным ( $g=9,8 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}=$ const). Тогда потенциальная энергия молекулы массоИ $m$ на высоте $x$ от поверхности Земли $U(x)=m g x$.

Использяя условие нормировки (31.2), определяем постоянную $B_{1}$ :
\[
1=\int_{0}^{\infty} B_{1} \mathrm{e}^{-m g x /(k T)} \mathrm{d} x .
\]

Отсюда $B_{1}=m g /(k T)$.
Таким образом, число молекул $\mathrm{d} N(x)$ в слое воздуха толщиной $\mathrm{d} x$ на высоте $x$ от поверхности Земли
\[
\mathrm{d} N(x)=\frac{N_{m g}}{k T} \mathrm{e}^{-m g x /(u r)} \mathrm{d} x .
\]

Пусть $d S$ – элементарная площадка, перпендикулярная оси $O X$. Torда $\mathrm{d} x \mathrm{~d} S=\mathrm{d} V$ – элемент объема, а выражение
\[
\frac{N_{m g}}{d S}=p_{0}
\]
– это давление атмосферы на поверхности Земли. Следовательно, в объеме $\mathrm{d} V$ на высоте $x$ от поверхности Земли число молекул
\[
\mathrm{d} N(x)=\frac{p_{0}}{k T} \mathrm{e}^{-m g x /(k n)} \mathrm{d} V .
\]

Так как $\mathrm{d} N(x) / \mathrm{d} V=n$ – плотность молекул на высоте $x$, а $p_{0} /(k T)=n_{0}$ – плотность молекул вблизи поверхности Земли, то
\[
n=n_{0} \mathrm{e}^{-m} \boldsymbol{\mu} /(\mathrm{un}) .
\]

Отсюда можно получить барометрическую формулу:
\[
p=p_{0} \mathrm{e}^{-m g x /(k T)} \text {. }
\]

Стандартные задачи на распределение Большмана (так же как и при использовании распределения Максвелла) сводятся к определению средних физических величин и к нахождению числа частиц, обладающих некоторым своАством.
Пример 32.1 Найти среднюю потенциаивную энерешю молекул воздуха в поле тгоотения Земии. На какой высоте от поверхности Земли потенциальная энереия молекул равна єредней потенциальной эмереши? Температуру ваздуха считать постояннод и раенод $0^{\circ} \mathrm{C}$.
Реше и и е. Газ (воздух) находится в поле тяготения Земли. Следовательно, его молекулы распределены по энергиям согласно функции распределения Больщана
\[
f_{\mathrm{S}}(U)=B \mathrm{e}^{-U /(k T)},
\]

где $U=m g h$ – потенциальная энергия молекулы.
Если известна функция $f$ распределения молекул по какому-либо физическому параметру $l$ (скорости $v$, импульсу $p$, энергии $E$ и т. д.), то среднее значение некоторой физической величины, являющейся функцией от этого параметра $\varphi(l)$, определяется по формуле
\[
\langle\varphi(t)\rangle=\frac{\int_{0}^{\infty} \Phi(t) t(l) d t}{\int_{0}^{\infty} f(t) \mathrm{d} t} .
\]

В нашем случае $\varphi(l)=U, t=f_{\mathrm{B}}$. Таким образом, среднее значение потенциальной энергии молекул воздуха в поле тяготения Земли
\[
\langle U\rangle=\frac{\int_{0}^{\infty} B U \mathrm{e}^{-U / k T} \mathrm{~d} U}{\int_{0}^{\infty} B \mathrm{e}^{-U /(k n} \mathrm{d} U}=\frac{\int_{0}^{\infty} U \mathrm{e}^{-U / k T} \mathrm{~d} U}{\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-U /(k n} \mathrm{d} U} .
\]

В выражении (32.4) знаменатель
\[
\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-U / k \pi} \mathrm{d} U=k T \text {, }
\]

а числитель
\[
\int_{0}^{\infty} U \mathrm{e}^{-U / k n} \mathrm{~d} U=k^{2} T^{2} \int_{0}^{\infty} t \mathrm{e}^{-1} \mathrm{~d} t=k^{2} T .
\]

Следовательно,
\[
\langle U\rangle=k T \text {. }
\]

Теперь находим высоту $h$, на которой потенциальная энергия молекул воздуха равна средней потенциальной энергии: $\langle U\rangle=m g h$ или $k T=m g h$. Отсюда
\[
h=\frac{k T}{m g}=\frac{R T}{M g} ; \quad h \approx 8 \cdot 10^{\prime} \mathrm{M} .
\]

Пример 32.2 Определить массу солдуха в цилиндре \& основанием $\Delta S=1$ м и восото $h=1$ км. Считать, чmd воздух находится при нормальньх условиях.
Решение. Применять уравнение Менделеева Клапейрона нельзя, ибо физическая система – идеальный газ (воздух) – находится в поле тяготения Земли. Нельзя и непосредственно использовать формулу (32.2), так как толщина слоя $\mathrm{d} x=h=1$ км велика. Проинтегрировав (32.2) по $x$ в пределах от 0 до $h$, найдем полное число молекул воздуха в данном цилиндре:
\[
N_{1}=\frac{N m g}{k T} \int_{0}^{h} \mathrm{e}^{-\frac{m g x}{k T}} \mathrm{~d} x=N\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}\right)=\frac{p_{0} \Delta S}{m g}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}\right) .
\]

Умножив (32.5) на массу $m$ одной молекулы, получим искоง мую массу:
\[
M_{1}=m N_{1}=\frac{\rho_{0} \Delta S}{g}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{m g h}{k T}}\right)=\frac{\rho_{0} \Delta S}{g}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{M_{e} h}{R T}}\right),
\]

где $M=29 \mathrm{кr} /$ кмоль – молярная масса воздуха.
Если бы воздух не находился в поле тяготения Земли, то, по уравнению Менделеева – Клапейрона,
\[
M_{2}=p_{0} \Delta \operatorname{Sh} M /(R T) .
\]

Найдем отношение $M_{2}$ и $M_{1}$ :
\[
\alpha=\frac{M_{1}}{M_{1}}=\frac{M_{g h}}{R T\left(1-\mathrm{e}^{\left.-M_{g h} h / R T\right)}\right)} .
\]

Числовой расчет для высот $h_{1}=100 \mathrm{~m}, h_{2}=1$ км, $h_{3}=10$ км дает следующие значения этого отношения: $\alpha_{1}=1,008$, $\alpha_{1}=1,08, \alpha_{2}=1,8$.

Таким образом, для воздуха, находящегося в объеме с высотой до сотен метров, можно применять уравнение Менделеева – Клапейрона, не учитывая распределения Больцмана. Для воздуха, находящегося в объеме с высотой 1 км и более, использование уравнения Менделеева – Клапейрона приводит к значительным ошибкам и в этих случаях необходимо учитывать влияние поля тяготения Земли.

Интересно было бы исследовать зависимость $\alpha$ от параметров (температуры $T$, молярной массы $M$, ускорения свободного падения g).
Пример 32.3 В атмосфере находятся частицы поии, именоцие масуу $m=8 \cdot 10^{-21}$ кг и обвем $V=5 \cdot 10^{-21} \mathrm{~m}^{3}$, Найти уменьшение их концентрации на оссотах $h_{1}=$ $=3$ м и $h_{2}=30$ м. Воздух находится при нормальньх усsoвurx.
Решение. Физическая система состоит из частиц пыли и воздуха, находящихся в поле тяготения Земли. Следовательно, и частицы пыли и молекулы воздуха подчиняются распределению Болымана (32.3). Но если для молекул воздуха это распределение можно использовать непосредственно, то применение его к частицам пыли может привести к ошибочному результату. Дело в том, что на частицы пыли кроме силы тяжести $m g$ действует выталкивающая сила Архимеда $F_{\mathrm{A}}$ (частицы пыли находятся в воздухе). Легко убедиться простым расчетом, что сила Архимела $F_{\text {A }}$ по порядку величины сравнима с силой тяжести $m g$. Действительно, плотность пылинки $\rho_{\mathrm{n}}=m / V$, т. е. $\rho_{\mathrm{n}}=$ $=8 \cdot 10^{-n / 5} \cdot 10^{-n} \approx 1,6 \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3}$, что мало отличается от плотности воздуха $\rho_{\mathrm{s}} \approx 1,3 \mathrm{kr} / \mathrm{m}^{3}$. Следовательно, и сила Архимеда мало отличается от силы тяжести. Поэтому найдем сначала эффективную массу частии пыли: $m_{94} g=m g-F_{\mathrm{A}}$ или $m_{04} g=m g-\rho_{s} V g$, где $\rho_{s}-$ плотность воздуха. Плотность воздуха определим из уравнения Менделеева – Клапейрона:
\[
\rho_{\mathbf{s}}=p M /(R T) .
\]

Таким образом,
\[
m_{94}=m-\frac{\rho M V}{R T} .
\]

Использовав распределение Больцмана (32.3), найдем изменение концентрации частиц пыли с высотой:
\[
\beta=\frac{n}{n_{0}}=\mathrm{e}^{-\frac{m_{\phi^{g}}{ }^{g h}}{k T}}=\mathrm{e}^{-\frac{\left(m-\frac{p M V}{R T}\right) g h}{k T}} .
\]

Числовой расчет для $h_{1}=3$ м и $h_{2}=30$ м дает $\beta_{1}=0,29$, $\beta_{2}=3 \cdot 10^{-6}$. Таким образом, если на высоте $h_{1}=3$ м (уровень 1 -го этажа здания) концентрация частиц пыли все еще составляет примерно $1 / 3$ концентрации пыли на поверхности Земли, то на высоте $h_{2}=30$ м (уровень 10-го этажа здания) пыли практически нет. Этот вывод справедлив, если отсутствуют восходящие потоки воздуха.