Выше уже отмечалось, что для решения нестандартных задач одних конкретных и обобщенных знаний уже недостаточно. Применяя их, мы, как правило, получаем незамкнутую систему уравнений. Затем приходится искать весьма неопределенное «нечто», учет которого позволит замкнуть систему уравнений. Неуловимые и неопределенные «нечто» в нестандартных задачах столь разнообразны, что делают попытку классификации таких задач почти безнадежной. В приводимых ниже примерах (весьма малочисленных) указаны некоторые характерные «нечто» и способы их нахождения.
Пример 33.1 На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения і лежит тело массой $т$. $B$ момент времени $t=0$ к нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся по закону $\mathbf{F}=\mathrm{a}$, где $\mathbf{a}$ – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые $t$ секунд после начала действия этой силы.
Р ешение. Проводим обычный анализ, применяя метод анализа физической ситуации задачи. В физическую систему включаем только одно тело массой $m$. Его можно считать материальной точкой. Тело движется под действием некоторых сил, одна из которых зависит от времени. Необходимо определить один из параметров этого движения – путь, пройденный телом. Это основная задача динамики материальной точки.
Применим второй закон Ныотона. Инершиальную систему отсчета свяжем с плоскостыо, ось $O X$ выберем в направлении вектора а. В процессе движения на тело действуют четыре силы: данная сила $\mathbf{F}=\mathbf{a} t=\mathbf{i} a t$, где $\mathbf{i}$ – единичный вектор, сила трения $\mathbf{F}_{\mathrm{rp}}=-f \mathrm{mgi}$, реакция опоры $\mathbf{N}$ и сила тяжести mg. Последние две силы компенсируют друг друга. По второму закону Ныотона,
\[
m \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}=a t \mathbf{i}-f m g \mathbf{i},
\]
или в проекциях на ось $O X$
\[
m \frac{d v_{x}}{d t}=a t-f m g .
\]
Иитегрируя это уравнение и учитывая начальные условия, находим закон изменения скорости:
\[
v_{x}=\frac{a t^{2}}{2 m}-f g t
\]
и далее (после интегрирования уравнения $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v_{x}$ ) – закон движения:
\[
x=\frac{e t^{3}}{6 m}-\frac{t t^{2}}{2} .
\]
Последнее выражение дает искомый ответ задачи. Но, оказывается, приведенное решение неверно. Формально проведен физический анализ: не учтена сила трения покоя вообще и в особенности тот факт, что эта сила, как и данная сила $\mathbf{F}=\mathrm{a} t$, изменяется (растет) во времени. Движение тела начнется только в момент времени $t_{0}=f \mathrm{mg} / \mathrm{a}$, когда сила трения покоя достигнет своего максимального значения. До этого момента времени тело находится в покое. Подставляя в формулу (33.1) вместо $t$ разность $t-t_{6}$, получим верное решение:
\[
x=\frac{a\left(t-t_{0}\right)^{2}}{6 m}-\frac{\operatorname{tg}\left(t-t_{0}\right)^{2}}{2},
\]
где $\geqslant t_{6}$.
Таким образом, в данной нестандартной задаче єнечтом. заключалось в тщательном учете силы трения покоя и в; том, что эта сила является переменной (она растет от нуляң
до своего максимального значения $f m g$ при возрастании действующей силы $\mathbf{F}=\mathrm{a} t$ ).
Очень часто в нестандартных задачах используют так называемое условие отрыва (при прекращении взаимодействия тел упругая сила реакции опоры обращается в нуль: $N=0$ ).
Пример 33.2 На небольшое тело массой $m$, лежаццее на гладкой горизомтальной плоскости, в момент өремени $t=0$ мачала дейстөовать сила, заеисяцая от өремени по закону $\boldsymbol{F}=a t$, дде а – постоянная. Направление ятод силь өсе время составляет угол $\alpha$ с горизонтом. Oпределить момент өремени, в которей тело оторетст от плоскости, а также скорость тела в любой момент времени до и посie omposa.
Решен и е. В физическую систему включим только одно данное тело. Все остальные тела – внешние. Данное тело можно принять за материальную точку. В результате взаимодействия с внешними телами происходит движение данного тела. Заметим, что одна из внешних сил зависит от времени $t$. Необходимо определить момент времени какогото события (отрыв тела от плоскости), а также скорость тела в любой момент времени до и после этого события. Так как движение тела рассматривается не формально (задана сила), то данная задача связана с основной задачей динамики материальной точки.
Применим второй закон Ныотона. Инерциальную систему отсчета свяжем с плоскостыю, ось $O X$ направим горизонтально, ось $O Y$ вертикально вверх. Тогда по второму закону Ньютона получим
\[
\begin{array}{l}
m \frac{d v_{x}}{d t}=a t \cos \alpha, \\
m \frac{d v_{y}}{d t}=N+a t \sin \alpha-m g .
\end{array}
\]
Нетрудно догадаться (1), что до отрыва $v_{y}=$ const $=0$ и, следовательно, система уравнений (33.2) – (33.3) приобретает вид
\[
\begin{array}{l}
m \frac{d v_{x}}{d t}=a t \cos \alpha, \\
0=N+a t \sin \alpha-m g .
\end{array}
\]
Получена система из двух уравнений с тремя неизвестными ( $v_{x}, N$ и $t$ ), но если мы догадаемся (1), что в момент отрыва реакция опоры обращается в нуль $(N=0)$, то из уравнения (33.5) сразу найдем момент времени отрыва:
\[
t_{0}=\frac{m g}{a \sin \alpha} .
\]
Далее, после интегрирования уравнения (33.4) и учета начальных условий получим закон изменения скорости до отрыва:
\[
v_{x}=\frac{a t^{2} \cos \alpha}{2 m} .
\]
После отрыва $(N=0$ ) система (33.2) – (33.3) приобретает вид
\[
\begin{array}{l}
m \frac{d v_{z}}{d t}=a t \cos \alpha, \\
m \frac{d v_{y}}{d\left(t-t_{0}\right)}=a\left(t-t_{0}\right) \sin \alpha-m g .
\end{array}
\]
В уравнении (33.9) учтено (1), что движение по оси $O Y$ начинается с момента отрыва $i_{0}=m g /(a \sin \alpha)$. После интегрирования уравнений (33.8) и (33.9) и учета начальных условий находим закон изменения вектора скорости после отрыва $\left(\geqslant t_{0}\right)$ :
\[
\mathbf{v}=\frac{a f^{2} \cos \alpha}{2 m} \mathbf{i}+\left[\frac{a\left(t-t_{0}\right)^{2} \sin \alpha}{2 m}-g\left(t-t_{0}\right)\right] \mathbf{j}
\]
(i и j-единичные векторы).
На первый взгляд кажется, что догадки, о которых шла речь в пропессе решения задачи (до отрыва $v_{v}=0$, в момент отрыва $N=0$, после отрыва время движения тела по оси $O Y$ равно $\left.t-t_{0}\right)$, – это очевидные, мелкие детали. Да, это детали, но детали, без которых задачу решить невозможно. Этим определяется важная роль вышеупомянутых маленьких єнечтов. После решения таких задач наш опыт и физическая интуиция обогащаются. В дальнейшем (в других подобных задачах) эти детали действительно становятся очевидными. Впрочем, обычно все известное и решенное кажется простым и очевидным, а неизвестное и нерешенноесложным и непонятным.
Весьма распространенным при решении нестандартных задач является удачный выбор системы отсчета (CO). Приведем три примера. В первом выбор системы отсчета безразличен, во втором – существен настолько, что при одном выборе СО задача является стандартной, а при друу гом – нестандартной, наконец, в третьем удачный выбо
$\mathrm{CO}$ является определяющим (обычная стандартная задачв становится оригинальной).
Пример 33.3 Цепочка массод $m$, образующая окружность радиуса $R$, надета на гладкий круговоћ конус с углом полурастеора $\theta$ (рис. 33.1). Наїти натяжение цепочки, если она вращается с постоянной угловод скоростью ю вокруг верпіккальнод оси, совпадающеи с осью симметрии конуса.
$\mathrm{Peшение.} \mathrm{Физическую} \mathrm{систему} \mathrm{образуем} \mathrm{из} \mathrm{одно-}$ го тела – цепочки. Цепочка не материальная точка. Сила натяжения, которую необходимо определить, действует на каждый элемент цепочки. Поэтому раздедим цепочку на столь малые и одинаковые элементы, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку. Рассмотрим один такой элемент массой $\Delta m$. Он движется по окружности известного радиусв $R$ с известной угловой скоростыю Ф под действием некоторых сил. Одну из них необходимо определить. Это одна из основных задач динамики вращательного движения материальной точки.
Применим поэтому второй закон Ньютона. Легко показать, что выбор системы отсчета (инерцнальная или неинерциальная) в этой задаче безразличен: в дальнейшем мы запишем систему уравнений параллельно в двух системах отсчета. Выберем неинерщиальную систему отсчета (НИСО), связанную с элементом $\Delta m$, и инерциальную (ИСО), связанную с любым неподвижным телом. На элемент $\Delta m$ в ИСО
действуют четыре силы: сила төжести $\Delta m g$ (рис. 33.1), упругая сила реакции опоры $\mathbf{N}$ и две одинаковые (почему одинаковые?) силы натяжения $\mathbf{T}$ (рис. 33.2), каждая из которых направлена по касательной к окружности в соответствующей точке. В НИСО к этим силам добавляется центробежная сила инерции $\Delta m \omega^{\prime} R$. Проецируя силы на оси, записываем второй закон Ньютона в ИСО:
\[
N \sin \theta-2 T \sin (\alpha / 2)=0 \text { (для оси OZ), }
\]
\[
2 T \sin (\alpha / 2)-N \cos \theta=\Delta m \omega^{2} R \text { (для оси } O X \text { ). }
\]
Соответственно в НиСО:
\[
\begin{array}{l}
N \sin \theta-2 T \sin (\alpha / 2)=0, \\
2 T \sin (\alpha / 2)-N \cos \theta-\Delta m \omega^{2} R=0 .
\end{array}
\]
Легко видеть, что системы уравнений (33.11) – (33.12) и (33.13) – (33.14) эквизалентны. Однако в любом случае это незамкнутая система из двух уравнений с тремя неизвестными ( $T, \alpha$ и $N$ ). Следовательно, необходимо найти єнечтоз, которое замкнуло бы систему уравнений. Возникает догадка (из рис. 33.2), что угол $\alpha$ как-то связан с элементом $\Delta m$. Легко видеть (!?), что эта связь имеет вид
\[
\Delta m / m=\alpha /(2 \pi) .
\]
И наконеп, учитывая еще одно єнечтоз – малость угла $\alpha$ (и, следовательно, то, что $\sin \alpha \approx \alpha$ ), получаем простую и замкнутую систему уравнений (в йО):
\[
\begin{array}{l}
N \sin \theta-\Delta m g=0, \\
T \alpha-N \cos \theta=\Delta m \omega^{2} R,
\end{array}
\]
\[
\Delta m / m=\alpha /(2 \pi) \text {. }
\]
После решения этой системы находим ответ в общем виде:
\[
T=\frac{m\left(\omega^{2} R+g \operatorname{ctg} \theta\right)}{2 \pi} .
\]
Заметим, что в решении этой задачи определяющими являются конкретные и обобщенные знания, тем не менее и роль маленьких єнечтоз уже становится значительной.
Пример 33.4 Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привгзаны грузы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ (рис. 33.3). Кабина поднимается с ускорением а. Пренебрегал массами блока и нити, а также трением, найти силу, с котороа блок дейстөует на потолок кабины.
Решение. Проведем решение задачи, выбрав различные системы отсчета: сиачала СО свяжем с кабиной (НИСО), а затем с Землей (ИСО).
Решемие в НИСО. В физическую систему включим два тела $m_{1}$ и $m_{2}$ (их можно принять за материальные точки), невесомые блок и нить. Под действием некоторых сил тела системы движутся ускоренно. Необходимо найти одну из
сил – ту, с которой блок действует на потолок кабины. Это одна из основных задач динамики.
Применим второй закон Ньютона для тел $m_{i}$ и $m_{2}$ относительно выбранной НИСО. Ось $O X$ направим вниз (рис. 33.3). На тело $m_{1}$ действуют сила тяжести $m_{1}$, сила натяжения нити и сила инершии ( $-m_{1} \mathbf{a}$ ). Проецируя эти силы на ось $O X$, по второму закону Ньютона для тела $m_{1}$ получаем
\[
m_{1} g+m_{1} a-T=m_{1} b .
\]
где $b$ – проекция вектора ускорения тела $m_{1}$ относительно выбранной НИСО. Мы условно приняли, что $m_{1}>m_{2}$ и, следовательно, вектор ускорения b направлен, вниз. Соответственно для тела $m$, находим
\[
m_{2} g+m_{2} a-T=-m_{2} b .
\]
Получена замкнутая система из двух уравнений с двумя неизвестными ( $T$ и $b$ ). Искомую силу $F$ найдем, записав второй закон Ньютона для центра масс блока (он неподвижен): $2 T-F=0$. Отсюда
\[
F=\frac{4 m_{1} m_{3}(\mathrm{~g}+a)}{m_{1}+m_{2}} .
\]
Таким образом, в НИСО задача оказалась стандартной.
Решиение в ИСО. Второй закон Ньютона для тел $m_{1}$ и $m_{3}$ дает
\[
\begin{array}{l}
m_{1} g-T=m_{1} a_{1}, \\
m_{2} g-T=-m_{2} a_{2},
\end{array}
\]
где $a_{1}$ и $a_{2}$ – модули проекщий векторов ускорений $\mathbf{a}_{1}$ и $\mathbf{a}_{2}$ соответственно тел $m_{1}$ и $m_{2}$ относительно выбранной ИСО. Получена незамкнутая система из двух уравнений с тремя неизвестными ( $T, a_{1}$ и $a_{2}$ ). Следовательно, необходимо искать єнечтоз, которое замкнуло бы эту систему.
Возникает догадка: $a_{1}$ и $a_{2}$ связаны между собой. Как? Очевидно (I), что
\[
a_{2}=a_{1}+2 a \text {. }
\]
Действительно, так как $a_{3}=b+a, a_{1}=b-a$, то
\[
a_{8}-a_{1}=2 a \text {. }
\]
Решая замкнутую систему уравнений (33.16) – (33.18), находим
\[
T=\frac{2 m_{1} m_{2}(\mathrm{~g}+a)}{m_{1}+m_{2}} .
\]
Следовательно,
\[
F=2 T=\frac{4 m_{1} m_{3}(g+a)}{m_{1}+m_{2}},
\]
что совпадает с (33.15). Таким образом, эта же задача в ИСО оказалась нестандартной.
Пример 33.5 Снаряд зенитного орудия, получивииа начальную скорость $\mathbf{v}_{\mathbf{0}}$, направленную вертикально өверх, разрывается в наивнсией точке своей траектории на $п$ одинаковьх осколкое. Скорости осколков ддинаковь, и азимутальньми ч углами. Определить полокение произольного осколка в любой момент времени.
Решение. Выберем ИСО, связанную с Землей. Легко показать, что при таком выборе СО задача является стандартной. В физическую систему включим только произвольный осколок, который можно принять за материальную точку. Erо начальная высота $h_{0}=v_{0}^{2}(2 g)$, начальная скорость $\mathrm{u}_{0}$, а также угол $\alpha=90^{\circ}-\theta$, который составляет век. тор $\mathrm{u}_{0}$ с горизонтом (рис. 33.4), известны. Необходимо най ти положение осколка в любой момент времени $t$. Это основная задача кинематики материальной точки.
Выберем плоскость, в которой движется (по парабол произвольный осколок, в качестве координатьой плоскос $O X Y$ (рис. 33.4).
Тогда закон движения осколка в параметрической фс
ме имеет вид
\[
x=u_{0} \cos \alpha t ; y=-\frac{\omega_{0}}{2 g} \pm u_{0} \sin \alpha t+\frac{g t^{2}}{2} .
\]
Очевидно, что этот закон движения позволяет определить положение произвольного осколка в любой момент времени.
Выберем НИСО, связанную с центром масс снаряда. После разрыва центр масс (начало координат) движется вниз с ускорением $\mathrm{g}$. В этой системе отсчета движение произвольного осколка является равномерным (со скоростью $u_{0}$ ) и, следовательно, в лобой момент времени каждый осколок располагается на сфере радиуса $R=u_{0} t$ с пентром в начале координат. Задача решена, причем решение, кроме того что оно просто и изящно, еще и весьма наглядно.
Таким образом, эта же задача в НИСО оказалась оригинальной.
