Основной задачей теории постоянного тока является задача о расчете электрической цепи. В общем виде эта задача ставится следующим образом: дана произвольная ялектрическая цепь, даны какие-то ее параметры (э. д. с., сопротиеления и $m$. д.); требуется найти какие-то друеие (неизөестнье) величинь (сиев токов, работу, мощность, количество теплоть $и \mathrm{~m}$. д.). Заметим, что самой важной, фундаментальной величиной в явлении постоянного тока необходимо считать силу тока I. Зная (найля) эту величину, можно определить практически любую другую величину (работу, мощность, количество теплоты, энергию, параметры магнитного поля и т. д.), характеризующую это явление. Поэтому основная задача в теории постоянного тока заключается в нахождении сил токов. Такая постановка задачи является слишком общей, и поэтому разделим ее на более конкретные и узкие виды.
1. В электрической цепи имеется только один источиик тока.
2. В электрической цепи имеется несколько одинаковых источников тока,
3. В электрической шепи имеется несколько различных источников тока.

Задачи первого вида решаются последовательным применением закона Ома для замкнутой цепи, закона Ома для однородного участка и иногда первого закона Кирхгофа. Если задача поставлена корректно, система уравнений, полученная на основе этих законов, является замкнутой и, следовательно, задача – физически решенной.

Задачи второго вида легко сводятся к задачам первого вида, если по правилам соединення одинаковых источников тока в батареи найти результирующую э. д. с. цепи ㅇ. и по правилам соединения сопротивлений определить результирующее внутреннее сопротивление батареи $r_{0}$.

Задачи первого и второго вида в основном решаются в средней школе, и мы не будем их рассматривать.

Задачи третьего вида являются наиболее общими и не приводятся к задачам первого и второго вида. Они решаются принципиально с помощью иных законов, чем закон Ома для однородного участка и для замкнутой цепи. Последний не может быть применен, так как в большинстве таких задач невозможно определить результируюцую 9. д. с. \&。.

Существует несколько методов решения задач третьего вида. Приведем наиболее распространенный – метод, основанный на применении законов Кирхгофа. Рассмотрим сущность этого метода на конкретном примере.
Пример 22.1 Определить силу тока, текущего через млемент $\delta_{3}$, если $\delta_{1}=1 \mathrm{~B}, \delta_{3}=2 \mathrm{~B}, \delta_{3}=3 \mathrm{~B}, r_{1}=1 \mathrm{Om}$, $r_{3}=0,5 \mathrm{Om}, r_{3}=1 / 3 \mathrm{Om}, R_{4}=1$ Ом, $R_{4}=1 \%$ Ом (рис. 22.1).
$\mathrm{P}$ ешение Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую 9. д. с. невозможно, и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощыю законов Кирхгофа.

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления токов в ветвях. Выберем их так, как показано на рис. 22.1. Если мы ошмблись в выборе направления какого-нибудь тока, то в окончательном решении этот ток получится отрицательным; если же случайно выбрано правильное направление тока, то он получится положительным.

Применим первый закон Кирхгофа. Он справедлив для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: точ-
144
ки $A$ и $C$. Для узла $A$ по первому закону Кирхгофа получим
\[
I_{1}+I_{2}+I_{3}=0 .
\]

Для узла $C$ первый закон Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второй закон Кирхгофа. Он справедлив только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: $A B C A$, $A C D A, A B C D A$. Рассмотрим контур $A B C A$. В этом конту-

ре имеется две э. д. с. ( $\mathscr{f}_{1}$ и $\left.\mathscr{\delta}_{2}\right)$, три резистора $\left(r_{1}, r_{2}\right.$ и $R$ ) и два тока $\left(I_{1}\right.$ и $\left.I_{2}\right)$. Для применения второго закона Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков 9. д. с. и токов. Если направления 9. д. с. или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае э. д. с. или ток считают отрицательными.

Выберем за положительное направление обхода контура АВСА направление против часовой стрелки. Э. д. с. $\mathscr{E}_{1}$ направлена против часовой стрелки; следовательно, ее считаем положительной; 9. Д. с. б, направлена по часовой стрелке (т. е. против направления обхода контура); следовательно, она войдет в уравнение второго закона Кирхгофа со знаком минус. Ток $I_{1}$ проходит через резисторы $r_{1}$ и $R_{4}$. и его направление совпадает с направлением обхода контура. Ток $I_{2}$ проходит через резистор $r_{2}$ и направлен против направления обхода. Следовательно, ток $I_{1}$ положителен, ток $I$, отрицателен. По второму закону Кирхгофа для контура $A B C A$ получаем
\[
\mathscr{E}_{\mathrm{r}}-\boldsymbol{\delta}_{2}=I_{1}\left(r_{1}+R_{\mathfrak{U}}\right)-I_{2} r_{2} .
\]

Если выбрать за положительное направление обхода этого контура направление по часовой стрелке, то по второму закону Кирхгофа найдем
\[
-\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{2}=-I_{1}\left(r_{1}+R_{4}\right)+I_{2} r_{3} .
\]

Получено уравнение (22.2), умноженное на -1 . Очевидно, что эти уравнения эквивалентны. Таким образом, сущность второго закона Кирхгофа не зависит от произвольного выбора направления обхода контура.

Рассмотрим контур $A C D A$. Выберем за положительное направление обхода этого контура направление против часовой стрелки. Применяя второй закон Кирхгофа, получим
\[
\boldsymbol{E}_{\mathbf{a}}-\boldsymbol{\delta}_{\mathbf{s}}=I_{2} r_{2}-I_{3}\left(r_{3}+R_{4}\right) .
\]

Система уравнений (22.1) – (22.3) является замкнутой. Задача физически решена. Решая полученную систему уравнений, находим:
\[
I_{1}=-5 / 6 \mathrm{~A}, I_{2}=-1 / 2 \mathrm{~A}, I_{3}=\% / 4 .
\]

Токи $I_{1}$ и $I_{2}$ получились отрицательными. Это означает, что направления их случайно были выбраны ошибочио. Ток $l$, положителен; следовательно, его направление случайно было выбрано правнльно.
Пример 22.2 Цилиндрический воздуиннй конденсатор с єнутренним $R_{1}$ и өнешним $R_{2}$ радиусами заряжен до разности потенциалов $\Delta \varphi_{0}$ (рис. 22.2). Пространстөо между обкладками заполняот слабопроводящей средоа с удельным сопротиелением $\rho$. Определить силу тока утечки, если высота (длина) конденсатора раена $l$.
Решение. Физическая система – участок электрической цепи, в котором причиной направленного движения свободных зарядов слабопроводящей среды является электростатическое поле. Разность потенциалов $\Delta$ 甲 $_{\text {。 }}$ этого поля будем считать постоянной. Так как участок однородный (в нем нет 9. д. с.), то силу тока можно найти по закону Ома для однородного участка
\[
I=\Delta \varphi_{0} / R,
\]

если известно его полное сопротивление $R$. Эту величину можно определить методом ДИ. Элементарное сопротивление тонкостенного цилиндрического слоя толщиной (длиноА) $\mathrm{d} r$ и радиусом $r$ (рис. 22.2) составляет
\[
\mathrm{d} R=\rho \frac{\mathrm{d} r}{2 \pi r l} .
\]

Отсюда после интегрирования получаем значение полного сопротивления участка:
\[
R=\int_{R_{1}}^{R_{1}} \rho \frac{\mathrm{d} r}{2 \pi l r}=\frac{\rho}{2 \pi l} \ln \frac{R_{1}}{R_{1}} .
\]

Следовательно,
\[
I_{6}=\frac{2 \pi l \Delta q_{4}}{\rho \ln \left(R_{2} / R_{1}\right)} .
\]

Всегда ли справедливо решение (22.6)? Поставим ряд других вопросов. Ранее было сказано, что после определения основной величины – силы тока – все остальные параметры и цепи, и процессов, происходящих при прохождении тока, могут быть легко определены. В частности, по закону Джоуля – Ленща
\[
Q=I^{2} R t
\]

можно определить количество теплоты Q, выделившейся в участке за время $t$; по закону
\[
Q=I t
\]

можно найти количество электричества, прошедшее сквозь поперечное сечение участка за время $t$, и т. д.

Определим, например, за какое время $t_{0}$ по участку пройдет первоначальный заряд $Q_{0}=C \Delta \varphi_{0}$ конденсатора, где
\[
C=\frac{2 \pi \varepsilon_{0} e l}{\ln \left(R_{2} / R_{1}\right)}
\]
– емкость конденсатора. Решение
\[
t_{0}=\frac{Q_{0}}{T}=\frac{C \Delta \varphi_{p} \rho \ln \left(R_{2} / R_{1}\right)}{2 \pi l \Delta \varphi_{0}}=\varepsilon_{0} e \rho
\]

является формальным и неверным по своему существу. Действительно, решение (22.10) справедливо, если сила тока постоянна. Из (22.4) и (22.6) вытекает, что условие $I=$ const выполняется при $R=$ const и $\Delta \varphi_{0}=$ const. Но условие $\Delta \varphi_{0}=$ =const означает, что при $C=$ const заряд на обкладках должен оставаться постоянным. А это противоречит поставленному вопросу. Заряд на обкладках конденсатора уменьшается; следовательно, уменьшается разность потенциалов $\Delta \varphi$ и появляющийся ток утечки, строго говоря, не является постоянным, как это следует из (22.6). Решение (22.6) справедливо, если $\Delta \varphi=$ const, что строго никогда не выполняется.

Очевидно, что выход из создавшейся ситуации таков: разность потенциалов $\Delta \varphi$ изменяется, но она при соответствуюцих условиях может изменяться столь медленно, что этим изменением можно пренебречь, считая приближенно $\Delta \varphi=$ const. Этим соответствующим условием является не выясненное в примере 22.2 понятие кслабопроводящей среды. Итак, усложняем условия примера 22.2, считая, что в реальном случае разность потенциалов $\Delta \varphi$ не является постоянной.
Пример 22.3 в условиях прияера 22.2 определить закон изменения силы тока утечки от өремени.
Решение. Допустим, что сила тока изменяется столь мелленно, чтобы в каждый момент времени был справеллив закон Ома (22.4). Tогда
\[
-\frac{d Q}{d t}=\frac{\Delta \varphi}{R} \text {, }
\]
rде $I=-\mathrm{d} Q / \mathrm{d} t$ и $\Delta \varphi=Q / C$ – мгновенные значения силы тока и разности потенциалов. Итак, мы имеем дифференциальное уравнение
\[
-\frac{d Q}{d t}=\frac{Q}{C R}
\]

для неизвестной функции $Q=Q(t)$ – заряда $Q$ на обкладках конденсатора в любой момент времени $t$. После разделения переменных и интегрирования получаем
\[
\text { in } Q=-\frac{1}{R C} t+c_{1} .
\]

Учитывая начальные условия $\left(Q=Q_{0}=C \Delta \varphi_{0}\right.$ при $\left.t=0\right)$, находим постоянную $c_{1}=\ln Q_{0}$. Таким образом,
\[
Q=Q_{0} \mathrm{e}^{-t / R C} \text {. }
\]

Постоянную
\[
\tau=R C
\]

условно назовем өременем релаксации или постоянной релаксации. Легко видеть, что $\tau$ – время, за которое первоначальный заряд $Q_{0}$ уменьшается в е $\approx 2,78$… раз. В нашем
случае
\[
\tau=\frac{\rho \ln \left(R_{2} / R_{1}\right)}{2 \pi l} \frac{2 \pi \varepsilon_{0} e l}{\ln \left(R_{2} / R_{1}\right)}=\varepsilon_{0} e \rho,
\]

что совпадает с (22.10). Таким образом, $t_{0}-9$ то не время протекания всего заряда $Q_{0}$. а лишь время релаксации. Из (22.13) видно, что время перетекания всего заряда равно бесконечности ( $Q=0$ при $t=\infty$ ).

Из (22.13) можно определить законы изменения и других величии – разности потенциалов и силы тока:
\[
\begin{array}{l}
\Delta \varphi=\frac{Q}{C}=\frac{Q_{0}}{C} \mathrm{e}^{-t /(R C)}=\Delta \varphi_{0} \mathrm{e}^{-t /(R C)}, \\
I=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}}=\frac{Q_{0}}{R C} \mathrm{e}^{-t /(R C)}=\frac{\Delta \varphi_{0}}{R} \mathrm{e}^{-t /(R C)}=I_{0} \mathrm{e}^{-t /(R C)}
\end{array}
\]

и т. д. Таким образом, формула (22.6) дает лишь начальное значение силы тока.

Выясним теперь смысл понятия єслабопроводящая средаз. Это среда, для которой можно пренебречь изменением мгновенных значений силы тока (22.16), разности потенциалов (22.15), заряда (22.13) и т. д. Изменением этих величин можно пренебречь, если время релаксации $\tau$ относительно велико. Итак, слабопроводящая среда – это среда, для которой время релаксации т относительно велико.

Проведем оценку времени релаксации некоторых сред в нашем случае. Оценим время релаксации парафина ( $\varepsilon=2$, $\rho=3 \cdot 10^{14}$ Ом-м). Из (22.14) получаем
\[
\tau=\varepsilon_{0} e \rho, \tau \approx 5,3 \cdot 10^{s} c \approx 6,1 \text { сут. }
\]

Примем условно, что время наблюдения $\tau_{0} \approx 1$ с. Таким образом, парафин с очень хорошим приближением можно считать слабопроводящей средой.

Оценка по формуле (22.14) времен релаксации двух видов квариа с параметрами $\varepsilon_{1}=4,4, \rho_{1}=3 \cdot 10^{14}$ Ом-м и $\varepsilon_{2}=$ $=4,7, \rho_{2}=1 \cdot 10^{12} \mathrm{Om} \cdot \mathrm{m}$, а также мрамора с параметрами $\varepsilon_{3}=$ $=8,3, \rho_{3}=1 \cdot 10^{\circ}$ Ом-м дает значения времен релаксации 3,25 ч, 42 с и $7 \cdot 10^{-3}$ с соответственно.

Следовательно, если кварщы еще можно считать слабопроводящими средами, то мрамору в этом свойстве можно отказать. Конечно, если характерное время наблодения принять равным $\tau_{6}=10^{-6}$ с, то и мрамор можно считать слабопроводящей средой.