Основная задача при изучении дифракции заключается в расчете дифракционной картины, т. е. в нахождении распределения интенсивности света $i$. Более узкой задачей является нахождение положения максимумов и минимумов дифракционного спектра. Часто при расчете дифракционных картин используются метод зон Френеля и метод Ди (см. §6).
Пример 28.1 На прямоугольную бесконечную щель иирияоа а падает (перпендикулярно плоскости щели) плоская монохроматическая волна с длиной волны $\lambda$. (рис. 28.1). НаІІти распределение интенсивности I светав дифракционной картике ка экране Э. Решить ту эсе задачу для системы $N$ паралиельньх щелей, разделенных мепрозрачншми промезутками ширикой в (дифракциокнал решетка).
Решение. Элементарное применение метода зон Френеля позволяет найти условие минимума дифракционной картины на одной щели
\[
a \sin \varphi=k \lambda
\]

и условие максимума
\[
a \sin \varphi=(2 k+1) \frac{\lambda}{2} .
\]

Однако мы не получили распределения интенсивности $I$ света в дифракционной картине. Применим метод ДИ. Зона шириной $\mathrm{d} x$ (рис. 28.1), находящаяся на расстоянии $x$ от края щели $C$, посылает в направлении, определяемом углом 甲. волну, уравнение которой имеет вид
\[
\mathrm{d} E=\mathrm{d} E_{x} \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi}{\lambda} x \sin \varphi\right),
\]
rде
\[
\mathrm{d} E_{x}=c / a, \quad c=\text { const. }
\]

В уравнении (28.3) учтено, что для волны, распространяющейся в направлении $C D$, расстояния отсчитываются на этой прямой. Следовательно, $|C D|=x \sin \varphi$ и фаза волны, излучаемой зоной $\mathrm{d} x$, равна $\operatorname{t}-(2 \pi / \lambda) x \sin \varphi$.

Проинтегрировав уравнение (28.4) по всей щели для точки $O$, получим значение произвольной постоянной:
\[
E_{0}=\int_{8}^{a} \frac{c}{a} \mathrm{~d} x=c .
\]

Подставляя значение $\mathrm{d} E_{x}$ из (28.4) в уравнение (28.3), находим
\[
\mathrm{d} E=\frac{E_{0}}{a} \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi}{\lambda} x \sin \varphi\right) \mathrm{d} x .
\]

Интегрируя уравнение (28.5) по всей щели, получаем
\[
\begin{array}{c}
E=\int_{0}^{a} \frac{E_{0}}{a} \cos \left(\omega t-\frac{2 \pi}{\lambda} x \sin \varphi\right) \mathrm{d} x= \\
=\left[E_{0} \frac{\sin [(\pi / \lambda) a \sin \varphi]}{(\pi / \lambda) a \sin \varphi}\right] \cos \left(\omega t-\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right) .
\end{array}
\]

Следовательно, амплитуда колебаний в точке $A$
\[
E_{\lambda}=E_{0} \frac{\sin [(\pi / \lambda) a \sin \varphi]}{(\pi / \lambda) a \sin \varphi}
\]

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то из уравнения (28.6) получаем закон для распределения интенсивности света на экране в случае
дифракции на одной щели:
\[
I_{\varphi 1}=I_{0} \frac{\sin ^{2}[(\pi / \lambda) a \sin \varphi]}{[(\pi / \lambda) a \sin \varphi]^{2}} .
\]

Легко видеть, что из уравнений (28.6) и (28.7) получается условие минимума (28.1).

Дифракционная решетка состоит из $N$ параллельных щелей шириной $a$, разделенных непрозрачными промежутками шириной $b$ (рис. 28.2). Величину $(a+b)$ называют периодом дифракционной решетки.

Для количественного расчета дифракционной картины, получаемой с помощью дифракционной решетки, воспользуемся методом зон Френеля. Разделим Фронт плоской монохроматической волны, падающей нормально на дифракционную решетку (рис. 28.2), в каждой щели на зоны Френеля параллельными плоскостями так же, как и в случае дифракции на одной щели. Расстояние между соседними плоскостями равно $\lambda / 2$. Если в каждой щели укладывается четное число зон, то в данном направлении (в точке $A$ ) образуется минимум. Если в каждой щели укладывается нечетное число зон, то в каждой щели остается одна непогашенная зона. Пусть эти зоны располагаются у левых краев щелей (точки B, C, D). Разность хода между соседними источниками (непогашенными зонами) постоянна:
\[
\delta=|B E|=|C F|=\ldots=(a+b) \sin \varphi .
\]

Данной разности хода $\delta$ соответствует постоянная разность фаз
\[
\Delta \varphi=\frac{2 \pi \delta}{\lambda}=\frac{2 \pi(a+b) \sin \varphi}{\lambda} .
\]

Следовательно, задача о расчете дифракционной картины дифракционной решетки свелась к задаче о расчете интерференционной картины от многих когерентных источников с постоянной разностью фаз (28.9). Последняя задача была решена в § 27 методом векторных диаграмм. Учитывая формулы (27.14) и (28.9), получаем закон распределения интенсивности света в дифракционном спектре дифракционной решетки:
\[
I_{\varphi N}=I_{\varphi 1} \frac{\sin ^{2}\left[\frac{N \pi(a+b) \sin \varphi}{\lambda}\right]}{\sin ^{2}\left[\frac{\pi(a+b) \sin \varphi}{\lambda}\right]},
\]

где $I_{\varphi 1}$ – интенсивность, создаваемая одной щелью (см. формулу (28.7)).

Из уравнения (28.10) можно получить условие елавньх максимумов
$(a+b) \sin \varphi=k \lambda$.
Пример 28.2 Нащель ширияоа $a=10^{-1}$ мм падает кормалько к поскости щели поская монохроматическая волка с дликой волкь $\lambda_{0}=5 \cdot 10^{-7}$ М. Oпределить угловое положение переого максимума дифракционкой картикв. Среда – вакуум.
Решение. Угловое положение первого максимума можно определить из условия максимума (28.2). Отсюда
\[
\varphi=\arcsin \frac{3 \lambda}{2 a}, \varphi \approx 4^{\circ} 18^{\prime} .
\]

Более точно угловое положение максимумов находят о помощью формулы (28.7). Найдем экстремум функции $I_{91}$, взяв первую производную этой функции по ф и приравняв ее нулю:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d / \varphi 1}{d \varphi}=I_{0} \times \\
\times\left[\frac{2 \sin \left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right) \cos \left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right) \frac{\pi}{\lambda} a \cos \varphi\left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right)^{2}-}{\left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right)^{4}} \rightarrow\right. \\
\left.\rightarrow \frac{-2\left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right) \frac{\pi}{\lambda} a \cos \varphi \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right)}{\left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right)^{2}}\right]=0 .
\end{array}
\]

Отсюда получим трансцендентное уравнение для определения экстремальных значений $甲$
$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi\right)=\frac{\pi}{\lambda} a \sin \varphi$.
которое после введения обозначения
$(a / \lambda) \sin \varphi=m$

принимает вид
$\operatorname{tg} \pi m=\pi m$.
Корнями трансцендентного уравнения (28.14) являются следующие числа:
\[
m_{1}=1,43, m_{2}=2,46, m_{3}=3,47, \ldots \text {. }
\]

Учитывая (28.15), из уравнения (28.13) определяем угловое положение первого дифракционного максимума:
\[
\varphi=\arcsin \frac{1,43 \lambda}{a}, \varphi \approx 4^{\circ} 6^{\prime} .
\]

Из формул (28.16) и (28.12) видно, что более точное решение (28.16) значительно отличается от приближенного (28.12). Нетрудно оценить ошибку приближенного решения:
\[
\varepsilon=\frac{\Delta \varphi}{\langle\varphi\rangle} 100 \%, \text { т. е. } \varepsilon=\frac{12^{\prime} \cdot 100 \%}{252^{\prime}} \approx 5 \% .
\]

Необходимо заметить, что формула (28.7) не только дает возможность найти точное угловое положение максимумов дифракционной картины от одной щели, но и определить интенсивность этих максимумов.
Пример 28.3 Определить максимальньй порядок диф. ракционяого спектра, полученноео от дифракционной решетки с периодом $(a+b)=0,005$ мм при нормальном падении на нее плоскод монохроматическо волны с длиной волны $\lambda_{0}=6 \cdot 10^{-1}$ м (в вакууме). спектра определяется из условия максимума (28.11). Значение $\sin \varphi$ не может по модулю превышать единищы; следовательно,
\[
a+b=k_{\max } \lambda_{6} .
\]

Отсюда
\[
k_{\max }=(a+b) / \lambda_{6}, \quad k_{\max } \approx 8 .
\]

Однако такое решение является неточным. Оно получено в предположении, что в формуле (28.10) интенсивность освещенности $I_{91}$, создаваемая одной щелью, постоянна и не зависит от угла ч. Из уравнения (28.7) видно, что $I_{\varphi 1}$ зависит от угла чи может (при определенных углах 甲) принимать значение, равное нулю. Найденное решение определяет лишь максимально возможный порядок спектра. Но не все главные максимумы (28.11) реализуютея: те из них, положение которых совпадает с минимумом дифракционной картины от одной щели (28.1), исчезают; осуществляются только те главные максимумы, которые попадают в центральный максимум дифракционной картины от одной щели. Следовательно, максимальный порядок осуществляемых главных максимумов определяется из соотношения (28.1) и (28.11).

Из уравнения (28.1) при $k=1$ определяем угловую полуширину центрального максимума дифракционной картины от одной щели:
$a \sin \varphi_{\min }=\lambda$.
Из уравнения (28.11) находим максимальный порядок реализуемых главных максимумов:
$(a+b) \sin \varphi_{\min }=k_{\max } \lambda$.
Учитывая условие (28.17), получаем
$k_{\max }=(a+b) / a$.
Для окончательного решения задачи необходимо задать ширину щели $a$. Для $a_{1}=10^{-3}$ мм и $a_{2}=b=2,5 \cdot 10^{-9}$ мм с помощью последнего соотношения получаем
\[
k_{\max }^{\prime}=5, \quad k_{\max }^{\prime}=2 .
\]

Заметим, что в последнем решении мы пренебрегаем реализуемыми главными максимумами, попадающими в области максимумов, следующих за центральным максимумом дифракционной картины от одной щели. Можно показать, что интенсивность этих последующих максимумов мала.
Пример 28.4 Интенсиеность центральноео максимума при дифракции на одной щели равна $I_{0}$. Определить отношение интенсияностей последующих трех максимумо к иятенсивности центрального максимума $I_{0}$.
Решение из условия максимума (28.13) для дифракции на одной щели
$(a / \lambda) \sin \varphi=m$,
где $m=1,43 ; 2,46 ; 3,47 ; \ldots$ (см. (28.15)), и формулы (28.7) находим искомые соотношения:
\[
\begin{aligned}
& \left(\frac{I_{91}}{T_{0}}\right)^{\prime}=\left[\frac{\sin \left(\pi m_{1}\right)}{\pi m_{1}}\right]^{2},\left(\frac{I_{91}}{T_{0}}\right)^{\prime}=\left[\frac{\sin \left(\pi m_{2}\right)}{\pi m_{2}}\right]^{2},\left(\frac{I_{91}}{T_{0}}\right)^{\prime \prime}= \\
= & {\left[\frac{\sin \left(\pi m_{3}\right)}{\pi m_{3}}\right]^{2} . }
\end{aligned}
\]

После подстановки числовых значений получаем:
\[
\left(I_{81} / I_{6}\right)^{\prime} \approx 0,047 ; \quad\left(I_{\varphi 2} / I_{0}\right)^{\prime \prime} \approx 0,017 ; \quad\left(I_{41} / I_{0}\right)^{\prime \prime \prime} \approx 0,008 .
\]