При исследовании электромагнитных колебаний в физическую систему обычно включают электромагнитное поле и тела (имеющие второстепенное значение), в которых оно локализовано (проводники, катушки индуктивности, конденсаторы и т. д.).
Основная задача в теории электромагнитных колебаний заключается в нахождении закона изменения во времени какой-либо электрической или магнитной физической величины. Далее, используя уравнения, связывающие эту величину с другими, определяют значения и этих величин.
Пример 26.1 Oпределить индукцию магнитноео поля внутри катуики идеальноео контура Томсона в момент ре $Q_{1}=10^{-5} \mathrm{Kл}$, а сила тока $I_{1}=0$. Индуктиєность катуиики $L=10^{-3} \Gamma \mathrm{\Gamma}$, число витков ка 1 м дликв катуики $n=10^{3} \mathrm{~m}^{-1}$, емкость конденсатора $\mathrm{C}=10^{-} ! \Phi$. Среда өакуум.
Решения и Физическая система состоит из проводников, образующих катушку индуктивности, конденсатора и изменяющегося во времени электромагнитного поля. Необходимо определить один из параметров (индукцию) этого поля в определенный момент времени. Это основная задача в теории электромагнитных колебанић.
Найдем закон изменения какои-либо электрической или магнитной величины. В контуре происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания. Қак известно, дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид
\[
\bar{Q}+\omega_{\Delta}^{2} Q=0,
\]

решением которого является уравнение гармонических колебаний
\[
Q=Q_{0} \sin \left(\omega_{0} t+\alpha_{0}\right) .
\]

Заметим, что уравнения, аналогичные (26.1) и (26.2), можно было бы записать и для других величин (силы тока, напряжения и т. д.). В уравнении (26.2) неизвестиы три параметра: угловая частота $\omega_{0}$, амплитуда $Q_{0}$ и начальная фаза $\alpha_{0}$. Угловую частоту $\omega_{0}$ находим из уравнения
\[
\omega_{0}^{2}=1 /(L C) \text {, }
\]

а амплитуду $Q_{0}$ и начальную фазу $\alpha_{0}$ — из начальных условий $\left(Q=Q_{1}\right.$ при $t=0$, а $\left.I_{1}=-\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} t}=0\right)$ :
\[
Q_{1}=Q_{0} \sin \alpha_{0}, 0=-Q_{0} \omega_{0} \cos \alpha_{0} \text {. }
\]

Отсіода $\alpha_{0}=\pi / 2, Q_{0}=Q_{i}$. Таким образом, уравнение гармонических электромагнитных колебаний в контуре имеет вид
\[
Q=Q_{1} \sin \left(\frac{1}{\sqrt{L C}} t+\frac{\pi}{2}\right) .
\]

Итак, мы нашли закон изменения со временем какой-либо электрической или магнитной физической величины (в данном случае электрического заряда Q).

Далее можно рассчитать силу тока в контуре в любой момент времени:
\[
I=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}=-\frac{\mathrm{Q}_{\mathrm{i}}}{\sqrt{L C}} \cos \left(\frac{\mathrm{i}}{\sqrt{L C}} t+\frac{\pi}{2}\right), I \approx 5 \cdot 10^{-1} A,
\]

а также индукцию магнитного поля:
\[
B=\mu_{0} \mu r I=-\frac{\mu_{0} \mu Q_{1}}{\sqrt{L C}} \cos \left(\frac{1}{\sqrt{L C}} t+\frac{\pi}{2}\right), B \approx 6,3 \cdot 10^{-\bullet \mathrm{T}} \pi .
\]

Иепользуя затем уравнения, связывающие полученные величины с другими, можно определить любую физическую величину, характеризующую исследуемое явление. Например, разность потенциалов на обкладках конденсатора
\[
\Delta \varphi=\frac{Q_{1}}{C} \sin \left(\frac{1}{\sqrt{L C}} t+\frac{\pi}{2}\right) .
\]

напряженность электрического поля в конденсаторе (считая его плоским с площадыю одной пластины $S$ )
\[
E=\frac{\sigma}{e_{0}}=\frac{Q_{0}}{e_{0} S}=\frac{Q_{1}}{e_{0} S} \sin \left(\frac{1}{\sqrt{L C}} t+\frac{\pi}{2}\right),
\]

плотность энергии электрического поля внутри конденсатоpa
\[
w=\frac{\varepsilon_{0} e E^{3}}{2}=\frac{e Q_{1}^{\prime}}{2 S^{2} \varepsilon_{0}} \sin ^{\prime}\left(\frac{1}{\sqrt{L C C}} t+\frac{\pi}{2}\right),
\]

плотность энергии магнитного поля внутри катушки

и т. д., и т. п. Легко видеть, что если отвлечься от конкретных числовых значений в условиях этого примера, то нами практически получено решение обобщенной задачи на свободные незатухающие электромагнитные колебания в контуре Томсона.
174
Пример 26.2 Омическое сопротивление контура Томсона $R=10^{\circ}$ Ом, индуктивность $L=10^{-3} \Gamma_{\text {н }}$, емкость $C=10^{-1} \Phi$. Oпределить силу тока в контуре в момент времени $t=5 \cdot 10^{-1} \mathrm{c}$, если при $t=0$ зарлд на конденсаторе $Q_{01}=10^{-!}$Кл, а мачальная сила тока равна кулю.
Решение. В контуре совершаются электромагиитные колебания. Для решения основной задачи теории электромагнитных колебаний необходимо определить все параметры ( $\oplus, \delta, Q_{0}$ и $\alpha_{\bullet}$ ) уравнения затухающих колебаний:
\[
Q=Q_{0} e^{-\theta t} \sin \left(\omega t+\alpha_{0}\right) \text {. }
\]

Кояффициент затухания $\delta$ и угловую частоту Ф находят из условий задачи:
\[
\delta=\frac{R}{2 L}, \omega=\sqrt{\frac{T}{L C}-\delta^{\circ}} .
\]

Отсюда $\delta=5 \cdot 10^{3} \mathrm{paz} / \mathrm{c}, \omega \approx 8,7 \cdot 10^{3} \mathrm{paz} / \mathrm{c}$.
Начальную фазу $\alpha_{0}$ и $Q_{0}$ определяют из начальных условий. Учитывая, что при $t=0$ заряд на конденсаторе $Q=$ $=Q_{01}$, получаем первое уравнение для определения $\alpha_{0}$ и Q.:
\[
Q_{01} t=Q_{0} \sin \alpha_{0} .
\]

Из условия, что в начальный момент времени сила тока
\[
I=-\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} t}=-Q_{0}\left[-\delta \mathrm{e}^{-\Delta t} \sin \left(\omega t+\alpha_{0}\right)+\omega \mathrm{e}^{-\Delta t} \cos \left(\omega t+\alpha_{0}\right)\right]
\]

равна нулю, находим второе уравнение:
\[
-\delta \sin \alpha_{0}+\omega \cos \alpha_{0}=0 .
\]

Решая систему уравнений (26.6) и (26.8), определяем $\alpha_{0}$ и Q.:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{0}=\operatorname{arctg} \omega / 8, \alpha_{0} \approx \pi / 3 ; \\
Q_{0}=2 Q_{01} / \sqrt{3} .
\end{array}
\]

Итак, закон изменения заряда $Q$ со временем (уравнение (26.5)) определеи полностыо:
\[
Q=\frac{2 Q_{01}}{\sqrt{3}} \mathrm{e}^{-\frac{R}{2 L} t} \sin \left(\sqrt{\frac{1}{L C}-\left(\frac{R}{2 L}\right)^{2}} \cdot t+\frac{\pi}{3}\right) .
\]

Далее можно определить любую физическую величину, характеризующую это конкретное физическое явление (затухающие электромагнитные колебания). Искомая сила тока находится из уравнения (26.7):
\[
I=Q_{0}\left[\delta \sin \left(\omega t+\alpha_{0}\right)-\omega \cos \left(\omega t+\alpha_{0}\right)\right] \mathrm{e}^{-\theta t}, I \approx 4,6 \cdot 10^{-1} \mathrm{~A} .
\]

Так же как и в задачах на свободные электромагнитные колебания, при решении задач на установившиеся вынужденные электромагнитные колебания сначала определяют закон изменения какой-либо электрической или магнитной величины, а затем, используя соотношения между различными физическими величинами, находят законы изменения других искомых величин.

Часто при решении задач на вынужденные ялектромагнитные колебания используют метод яекторых диаграмм. В этом методе гармоническое колебание $\Delta \varphi=\Delta \varphi_{0} \sin (\Omega t+\alpha)$ представляот в виде вектора $\Delta \varphi$ : его длина равна амплитуде $\Delta \varphi_{0}$, а угол, который этот вектор составляет с некоторой горизонтальной осью (осью токов I или осью напряжений $\Delta \varphi)$, в начальный момент времени равен начальной фазе $\alpha$ (рис. 26.1). Вектор $\Delta \varphi$ вращается с угловой скоростью $\Omega$ против часовой стрелки. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода векторных диаграмм.
Пример 26.3 Электрическая чепь состоит из э. д. с. изменлоцейся по гармокическому закоку, и омического сопротивления $R$, емкости $C$, икдуктивности $L$, соедикенньх последовательно (рис. 26.2). Определить закок изменекия капряжекия ма участке ARCLD как функцию времени $t$. (рис. 26.3). Пусть закон изменения силы тока задан в виде
\[
I=I_{0} \sin \Omega t \text {, }
\]

где $\Omega$ — угловая частота изменения внешней э. д. с. На правим ось токов горизонтально. Тогда колебания напряжения на сопротивлении $R$ изображают вектором $\Delta \varphi_{0 R}$. направленным по оси токов, колебания напряжения на индуктивности — вектором $\Delta \boldsymbol{\digamma}_{\circ}$, направленным перпен-
дикулярно оси токов, и колебания напряжения на емкости — вектором $\Delta \varphi_{\circ с}$, также направленным перпендикулярно оси токов, но в другую сторону. Модули этих векторов составляют соответственно
\[
\Delta \varphi_{0 R}=I_{0} R ; \quad \Delta \varphi_{0 L}=I_{0} \Omega L \text { и } \Delta \varphi_{0 C}=I_{\Delta} /(\Omega C) .
\]

Результирующее напряжение изображают вектором тивности и емкости
\[
\Delta \varphi_{0_{p}}=I_{0}\left(\Omega L-\frac{1}{\Omega C}\right)
\]

называют реактивнод составляющеӑ напряжения. Таким образом, результирующее напряжение изменяется по закону
\[
\Delta \varphi=\Delta \varphi_{0} \sin (\Omega t+\alpha) .
\]

где амплитуда
\[
\Delta \varphi_{0}=I_{0} \sqrt{R^{2}+\left(\Omega L-\frac{1}{\Omega C}\right)^{\prime}}
\]

и начальная фаза
\[
\alpha=\operatorname{arctg} \frac{\Omega L-1 /(\Omega C)}{R}
\]

определяются из векторного треугольника $O A B$ (рис. 26.3).
Проведем анализ соотношения (26.11). Существенно отметить, что в это уравнение входят только амплитуды напряжения $\Delta \varphi_{0}$ и тока $I_{6}$, но не их мгновенные значения $\Delta \varphi$ и I. Из (26.11) видно, что амплитуда тока $I_{0}$ зависит от частоты $\Omega$ внешней 9. д. с. При возрастании $\Omega$ от нуля до значения
\[
\Omega_{p}=\omega_{0}-1 / \sqrt{L C}
\]

амплитуда тока $I_{0}$ возрастает, ибо убывает полное сопротивление
\[
Z=\sqrt{R^{2}+\left(\Omega L-\frac{1}{\Omega C}\right)^{2}} .
\]

При значении частоты $\Omega=$ $=\Omega_{\mathrm{p}}$ амплитуда тока достигает максимального значения. При этом реактивная составляющая напряжения обращается в нуль и контур ведет себя как чисто активное сопротивление. Это явление называют $p e$ зонамсом капрексекии. Из (26.12) видно, что при резонансе напряжений разность фаз $\alpha$ межау колебаниями тока и напряжения обращается в нуль. При дальнейшем увеличении $\boldsymbol{\Omega}\left(\Omega>\omega_{0}\right)$ амплитуда тока $I_{0}$ убывает, асимптотически приближаясь к нулю.
Пример 26.4 Сопротиелекие $R=10$ Ом и катуика с индуктивностью $L=0,1$ Ги соединены последовательно. Какую емкость меобходимо өключить последовательно в чепь, чтобы уменьшить сдеиг фазы мезду э. д. с. и силой тока ка $\Delta \alpha=27^{\circ}$ ? Частота изменения гармонической э. д. с. $v=50 \mathrm{\Gamma u}$.
Решение. Используя метод векторных диаграмм (рис. 26.4), получаем
\[
\operatorname{tg} \alpha_{1}=\frac{l_{0} \Omega}{T_{0} R}=\frac{\Omega L}{R} .
\]

Отсюда $\alpha_{1}=\operatorname{arctg}(\Omega L / R), \quad \alpha_{1} \approx 72^{\circ}$. Следовательно, $\alpha_{2}=$ $=\alpha_{1}-\Delta \alpha$, т. е. $\alpha_{1}=45^{\circ}$. По формуле (26.12) находим
\[
\operatorname{tg} \alpha_{1}=\frac{\Omega L-1 /(\Omega C)}{R} \text {. }
\]

Отсюда определяем неизвестную емкость (учитывая, что $\Omega=2 \pi v$ ):
\[
C=\frac{1}{2 \pi v(2 \pi v L-R)}, C \approx 1,5 \cdot 10^{2} \text { мк } \Phi .
\]

Пример 26.5 Участок чепи состоит ия конденсатора емкостью $C=200$ мкФ и сопротивения $R=10^{2}$ Ом, соединенных паралельно. Определить полное сопротиеление участка. Частота изменения гармоническоа э. д. с. составлятет $v=50 \mathrm{\Gamma u}$.
Решение в в методе векторных диаграмм горизонтальной осью для расчета параллельных соединений является ось напряжений (рис. 26.5). Тогда ток в омическом сопротивлении $I_{* R}$ совпадает по фазе с напряжением, а ток через конденсатор опережает напряжение по фазе на угол $\alpha_{c}=90^{\circ}$. Амплитуда общего тока $I_{0}$ определяется из $\triangle O A B 1$
\[
I_{0}=\sqrt{\left(\Delta \varphi_{0} \Omega C\right)^{2}+\left(\frac{\Delta \varphi_{e}}{R}\right)^{3}}=\frac{\Delta \varphi_{e}}{R\left[1+(2 \pi v C R)^{2}\right]^{-1 / 2}} .
\]

Отсюда полное сопротивление участка
\[
Z=\frac{R}{\sqrt{1+(2 \pi v C R)^{2}}}, Z \approx 15,6 \text { Oм. }
\]