Ранее мы решали задачи на определенную (известную) тему. Сначала излагалась краткая теория этой темы, затем рассматривалась основная задача, использовались определенные методы ее решения, предлагались какие-то другие методические приемы и указания к решению задач из этой темы и т. д. Заметим, что и решение таких задач мы проводили на основе общего подхода, изложенного в разд. I. Таким путем мы продвигались от одной темы к другой, постепенно накапливая опыт в решении задач. Пройти такой путь необходимо, но ограничиться только этим будет недостаточно. В жизни, на практике чаще приходится решать задачи не на определенную (известную) тему, а задачи любые, произвольного содержания.

Вся теория, методика и єтехнология решения задач по физике, которая была изложена выше, ориентирована в особенности на решение произвольных задач, т. е. задач на произвольную, до начала решения не известную тему. Прнменим эту методику к решению таких задач.
Пример 37.1 При изотермическом расширении одново моля кислорода, имевшего температуру $T=300 \mathrm{~K}$, газ поглотил теплоту $Q=2$ кДж. Во сколько раз уєеличился объем газа?
Р еше ни и. Задача поставлена не совсем корректио: пе дано первоначальное давление газа. В зависимости от его значения газ можно считать или идеальным, или реальным. Поэтому здесь возможны два решения: первое — для физической системы, состоящей из идеального газа, второе — для реального.

Пусть физическая система — идеальный газ. В этой системе осуществляется изотермический процесс, в результате которого поглощается количество теплоты $Q$ и совершается
работа
\[
A=R T \ln \left(V_{2} / V_{1}\right) .
\]

Необходимо определить отношение некоторых макропараметров системы (отношение объемов $V, / V_{1}$ ). Это основная задача термодинамики. Поэтому используем термодинамический метод.
Применяя первое начало термодинамики, находим
\[
Q=R T \ln \left(V_{2} / V_{1}\right) \text {. }
\]

Здесь учтено, что изменение внутренней энергии идеального газа $\Delta U=0$. Отсюда
\[
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\mathrm{e}^{Q /(R T)}, V_{2} / V_{1} \approx 2,23 .
\]

Предположим, что физическая система — реальный газ, который подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса
\[
\left(p+\frac{a}{V^{2}}\right)(V-b)=R T,
\]

где $a$ и $b$ — постоянные Ван-дер-Ваальса.
Внутренняя энергия одного моля реального газа
\[
U=c_{v} T-a / V
\]

зависит не только от температуры $T$, но и от объема $V$. По первому началу термодинамики,
\[
Q=a \frac{V_{2}-V_{1}}{V_{1} V_{2}}+R T \ln \frac{V_{2}-b}{V_{1}-b} .
\]

Так как $b=0,032 \mathrm{~m}^{3} /$ кмоль (для кислорода), то последнее уравнение можно приближенно переписать в виде
\[
Q=a \frac{x-1}{V_{2}}+R T \ln x,
\]

где $x=V, / V_{1}$. Для решения этого трансцендентного уравнения необходимо задать конечный объем системы $V$;
Пример 37.2 Частица деижется в положительном направлении оси OX так, что ее скорость изменяется по закону $v=a \sqrt{x}$, аде $a$ — положительная постоянная. Имел в виду, что в момент $t=0$ она находилась в точке $x=0$, майти: а) зависимость от өремени скорости и ускорения частицы; б) среднюю скорость частицу за время, в течение которово она пройдет путь от $x=0$ до $x$.

Решеи ие. Физическая система состоит из одного тела (частищы), которое можно принять за материальную точку. Тело движется прямолинейно (одномерный случай) вдоль оси $O X$, причем это движение рассматривгется формально. Задана связь некоторых параметров движения (скорости $v$ и координаты $x$ ). Необходимо определить некоторые другие параметры движения (скорость, ускорение, среднюю скорость). Это обратная задача кинематики.

Найдем закон движения тела. Так как $v_{x}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}$, то уравнение связи $v_{x}=a \sqrt{\bar{x}}$ можно записать в виде
\[
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=a \sqrt{\bar{x}} .
\]

Разделяя переменные, интегрируя и учитывая начальные условия, получаем закон движения
\[
x=a^{2} t^{2} / 4 \text {. }
\]

Отсюда находим закон изменения скорости от времени:
\[
v_{x}=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\frac{a^{2} t}{2} \text {, }
\]

закон изменения ускорения:
\[
a_{x}=\frac{d v_{x}}{d t}=\frac{a^{2}}{2}
\]

и среднюю скорость:
\[
\left\langle v_{x}\right\rangle=\frac{1}{t} \int_{\gamma}^{t} v_{x} \mathrm{~d} t=\frac{1}{t} \int_{0}^{t} \frac{a^{2} t}{2} \mathrm{~d} t=\frac{a^{2} t}{4} .
\]

Подставляя значение времени движения $t=2 \sqrt{\bar{x}} / a$, найденное из уравнения (37.1), в формулу (37.2), окончательно получаем среднюю скорость:
\[
\left\langle v_{x}\right\rangle=\frac{a}{2} \sqrt{x} .
\]

Из анализа решения видно, что задача может быть усложнена, если вместо уравнения связи $v_{x}=a \sqrt{\bar{x}}$ использовать соотношение вида $v_{x}=f(x)$, где функция $f(x)$ должна удовлетворять некоторым условиям.
Пример 37.3 В дличной вертикальной цилиядрической трубке, закрытой с мижнего конца, может ходить без треншя пориень, масса М которого велика по сравнению с массой газа, заклоченного внутри трубки.
В положении равновесия расстояние между поринем и дном трубки раєно $l_{0}$ (рис. 37.1). Определить период мальх колебаний, которые эозникнут при отк.онении пориял из положения равновесия, в предположении, что атмосферное давление ро. Рассмотреть предельнвй случай, когда $p_{0}=0$.
Реше и и е. В физическую систему включим три тела: поршень (твердое тело массой $M$ ), идеальный газ под поршнем внутри трубки и воздух над поршнем (идеальный газ). Как будут вести себя тела системы после того, как поршень сместится вниз на расстояние $\boldsymbol{x}$ от положения равновесия (рис. 37.1)? Состомние газа над поршием не изменится (его давление $p_{0}$ и температура $T$, останутся постоянными). Состояние газа под поршнем изменится (температура $T$, останется постоянной, обзем уменьшится на $\Delta V=x S$, а давление возрастет на $\Delta p$ ). Следовательно, на поршень будет действовать дополнительная сила $F=\Delta p S$, направленная вверх.
Под действием этой силы поршень пойдет вверх. В положении равновесия дополнительная сила $F$ обратится в нуль. Но так как скорость поршня в этом положении отлична от нуля, то он, пройдя положение равновесия, сместится вверх на расстояние $x$ (трения нет). Давление газа под поршнем уменьшится на $\Delta p$. Под действием силы $\Delta p S$, теперь уже направленной вниз, поршень начнет двигаться также вниз. Таким образом, поршень будет совершать колебания около положения равновесия.
Используем динамический метод. Найдем сначала дополнительную силу $F=\Delta p S$, действующую на поршень. По закону Бойля — Мариотта для изотермического процесса в газе под поршнем получаем
\[
p_{1} l_{0} S=\left(p_{1}+\Delta p\right)\left(S l_{0}-S x\right),
\]

где $p_{1}=\left(M g+p_{6} S\right) / S-$ давление газа под поршнем в состоянии равновесия. Считая, что $x \ll l_{0}$, из (37.3) находим изменение давления газа:
\[
\Delta p=p_{1} x / l_{0} .
\]

Следовательно, дополнительная сила
\[
F=-\frac{M_{g}+p_{0} S}{l_{0}} \boldsymbol{x}
\]

пропорциональна смещению $\boldsymbol{x}$ поршня от положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Под действием этой силы поршень совершает гармонические колебания. По второму закону Ныотона находим дифференциальное уравнение этих колебаний:
\[
M \ddot{x}+\frac{M_{g}+p_{0} S}{l_{0}} x=0 .
\]

Сравнивая это уравнение с общим дифференциальным уравнением свободных незатухающих колебаний, находим период колебаний поршня:
\[
T_{0}=2 \pi \sqrt{\frac{M l_{0}}{M_{g}+P_{0} S}} .
\]

Отсюда $T_{0}=2 \pi \sqrt{I_{0} / g}$ в предельном случае $p_{0}=0$. Это период колебаний математического маятника.
Пример 37.4 Пуля, пробив доску толциноа $h$, изменила свою скорость от $v_{0}$ до $v_{1}$. Найти время дөижения пули — доске, считая силу сопротиөления пропорциональнод квадрату скорости.
Р е ш е н и е. Материальная точка (пуля) движется под действием известной силы. Известны начальные условия $\left(\mathbf{v}_{0}=\left\{\mathrm{v}_{0}, 0,0\right\}, \mathbf{r}_{0}=\{0,0,0\}\right.$ при $\left.t=0\right)$. Необходимо определить один из параметров движения (время $t$ ). Это основная задача динамики материальной точки.

Используем динамический метод. По второму закону Ньютона,
\[
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=-\alpha v^{2},
\]

где $m$ — масса пули, $\alpha$ — коэффициент пропорциональности. Заметим, что эти параметры ( $m$ и $\alpha$ ) неизвестны. Интегрируя уравнение (37.4) и учитывая начальное условие, находим закон изменения скорости:
\[
v=\frac{v_{0}}{1+\alpha v_{0} t / m}
\]

Полагая в этом уравнении $v=v_{1}$, получаем искомое время:
\[
t_{1}=\frac{m\left(1-v_{1} / v_{0}\right)}{\alpha v_{1}} .
\]

Для определения неизвестного отношения $m / \alpha$ найдем закон движения пули, решая обратную задачу кинематики:
\[
x=\frac{m}{\alpha} \ln \left(1+\frac{\alpha v_{0}}{m} t\right),
\]

или
\[
h=\frac{m}{\alpha} \ln \left(1+\frac{\alpha t_{0}}{m} t\right) .
\]

Выразив отношение $m / \alpha$ из уравнения (37.5)
\[
\frac{m}{a}=\frac{v_{1} t_{1}}{\left(1-\frac{v_{1}}{v_{0}}\right)}
\]

и подставив его в формулу (37.6), окончательно находим искомое время:
\[
t_{1}=\frac{h\left(v_{0}-v_{1}\right)}{v_{0} v_{1} \ln \left(v_{0} / v_{1}\right)} .
\]

Пример 37.5 Две квадратнье пластины со стороной $a=300$ мм, закрепленные на расстоянии $d=2,00$ мм друг от друга, образуют пиокий конденсатор, подключенньй к источнику постоянного напряжения $\Delta \varphi=250$ В. Расположсеннье вертикально пластинь пегружают в сосуд с керосином со скоростью в $=5,00 \mathrm{мm} / \mathrm{c}$. Найти силу тока $I$, текуцего при ятом по подводяцим проводам. Решения и е. Физическая система состоит из плоского конденсатора, подсоединенного к источнику ‘постоянного напряжения. До погружения в керосин на одной из обкладок конденсатора сосредоточен заряд
\[
Q=C \Delta \varphi
\]

где $C=\varepsilon_{0} a^{2} / d$ — емкость конденсатора.
При погружении пластин в керосин в подводящих проводах течет электрический ток. Почему? Керосин — диэлектрик (дизлектрическая постоянная $\boldsymbol{e}=2$ ). Когда он появляется в конденсаторе, электрическое поле в последнем изменяется. Это приводит к перераспределению зарядов на обкладках конденсатора, в подводящих проводах возникает ток. Увеличение заряда на пластинах при неизменном напряжении ( $\Delta \varphi=$ const) обусловлено возрастанием емкости $C$ конденсатора.

Найдем емкость конденсатора в произвольный момент времени $t$. К этому моменту времени пластины погрузятся в керосин на глубину $h=v t$. Конденсатор в этот момент можно представить как батарею из двух плоских конденсаторов, соединенных параллельно: одни — с диэлектриком между обкладками, другой — без диэлектрика. Емкость этой системы
\[
C=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon v t a}{d}+\frac{\varepsilon_{0}(a-v f) a}{d}=\frac{\varepsilon_{0} a}{d}[(\varepsilon-1) v t+a] .
\]

Заряд $Q$ на обкладке изменяется от времени $t$ по закону
\[
Q=\frac{\varepsilon_{4} a \Delta \varphi}{d}[(\varepsilon-1) v t+a] .
\]

Отсюда определяем искомый ток:
\[
I=\frac{d Q}{d t}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{c}} a \Delta \varphi}{d}(\varepsilon-1) v .
\]

Подстановка числовых значений дает $I=1,7 \cdot 10^{-*}$ A. Пример 37.6 На горизонтальной плоскости лежит катуика ниток. С каким ускорением а деижется ось катуики, если за нитку тянуть с силод F (рис. 37.2)? Каким образом надо тянуть за нитку для того, чтобы катуника деигалась в сторону натянутоа нитки? Катуика движется по поверкности стола без скольжения. Найти силу трения мекду катуикой и столом.
Решение. Физическая система состоит из одного тела — катушки, которую можно принять за твердое тело. Известны силы (их можно определить), дећствующие на катушку. Необходимо найти ускорение тела. Это основная задача динамики твердого тела.
На катушку деคิствуют следующие силы: данная сила натяжения иити $\mathbf{F}$, сила тяжести $m g$, сила трения $F_{\mathrm{rp}}$ и реакция опоры N. Инершиальную систему отсчета свяжем с Землей, оси координат направим, как показано на рис. 37.2. По теореме о движении центра масс,
\[
m a=F \cos \alpha-F_{\mathrm{rp}}, \quad 0=N+F \sin \alpha-m g .
\]

Из уравнения движения твердого тела относительно оси, проходящей через центр масс, находим
\[
J \beta=F_{\mathrm{r}
u} R-F r
\]

где $\beta=a t R$ — угловое ускорение катушки, а $J$ — ее момент инерции относительно этой же оси. Решая полученную систему уравнений, находим искомое уөкорение:
\[
a=\frac{R F(R \cos \alpha-r)}{J+m R^{2}}
\]

и сиау трения:
\[
F_{\mathrm{Tp}}=F \cos \alpha-m a \text {. }
\]

Из уравнения (37.7) следует, что условие $a>0$ выполняется при $\cos \alpha>r / R$. Для решения задачи должны быть заданы масса $m$ и момент инершии $J$ катушки.
Пример 37.7 Плосковопуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой (рис. 37.3). Радиус кривизкы выпуклой поверхности линзы R, длина өолны света $\lambda$. НаАти ширику $\Delta r$ кольуа Ньютона в зависимости от его радиуса в области, где $\Delta r \ll r$.
Реше и и е. В физическую систему можно включить следующие тела: стеклянную пластинку, линзу и тонкий воздушинй клин между ними (рис. 37.3). В результате отражения волны от верхней и нижней граней воздушного клина происходит явление интерференции света и образуются кольа Ньютона. Необходимо определить ширину кольца $\Delta r$ (или найти расстояние между центрами соседних темных и светлых колец). Это основная задача в явлении интерференции волн.

Сначала необходимо определить оптическую разность хода, а затем использовать условие максимума и минимума. Оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней граней воздушного клина,
\[
\delta=2 d+\lambda / 2 \text {, }
\]

где $d$-толщина воздушного клина. Из геометрических соображений
\[
d \cdot 2 R=r^{2} \text {. }
\]

В этом уравнении $r_{k}$ — paдиус $k$-го темного или светлого кольда. Подставляя значение $d$ из (37.9) в уравнение (37.8) и используя условия максимума (27.1) и минимума (27.2), находим радиусы $k$-го темного
\[
r_{k \tau}=\sqrt{k \lambda R}
\]

и светлого
\[
r_{k c}=\sqrt{\left(k \lambda-\frac{\lambda}{2}\right) R}
\]

колец. Из этих уравнений получаем
\[
r_{k}^{2}-r_{k c}^{2}=\left(r_{k r}-r_{k c}\right)\left(r_{k r}+r_{k c}\right)=R \lambda / 2 .
\]

Полагая $r_{k r}+r_{k c} \approx 2 r$, находим ширину кольца:
\[
\Delta r=r_{k r}-r_{k c} \simeq \frac{R \lambda}{4 r} .
\]

Пример 37.8 Эбонитовьй шар радиуса $R=50$ мм зарsжен с помощью трения равномерно распределенным поеерхностным зарядом плотности $\sigma=10,0$ мкКл/м². Шар приводится во вращение вокруг своеї оси со скоростью $v=$ $=600$ об/мин. Найти магнитную икдукцию B, өозникающую в центре шара.
Решение. Поверхностиые электрические заряды, движущиеся по окружностям, создают кольшевые токи, вокруг каждого из которых образуется магнитное поле. Необходимо определить суммарную индукцию этих полей в центре шара. Это основная задача в теории магнитного поля.

Воспользуемся принципом суперпозиции и методом ди (см. § 6). В силу симметрии выберем сферическую систему координат, начало которой поместим в центр шара. Плоскостями, перпендикулярными оси вращения, разделим поверхность шара на столь узкие сферические слои, чтобы магнитное поле тока, создаваемого электрическим зарядом
252
этого слоя, можно было рассчитывать по закону Био Савара — Лапласа (23.3). Рассмотрим бесконечно малый элемент одного такого слоя (на рис. 37.4 этот элемент заштрихован). Его площадь $\mathrm{d} S=R^{2} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi$, а электрический заряд $\mathrm{d} Q=\sigma \mathrm{d} S=\sigma R^{2} \sin \theta \mathrm{d} \theta \mathrm{d} \varphi$. Так как $\mathrm{d} \varphi=\omega \mathrm{d} t$, то кольцевой ток, обусловленный движением зарядов этого слоя,
\[
I=\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} t}=\sigma \omega R^{2} \sin \theta \mathrm{d} \theta .
\]

Известно (этот результат можно получить), что кольцевой ток I радиуса $r$ создает магнитное поле, индукция $B$ которого в точке, расположенной на оси этого тока на расстоянии $d$ от его плоскости, вычисляется по формуле
\[
B=\mu_{0} \mu \frac{l r^{2}}{2\left(r^{2}+d^{2}\right)^{2 / 2}} .
\]

Таким образом, кольцевой ток (37.10) создает магнитное поле, индукция которого в центра шара
\[
\mathrm{d} B=\mu_{0} \mu \frac{\omega_{0} R \sin ^{3} \theta \mathrm{d} \theta}{2} .
\]

Иитегрируя (37.11) по $\theta$ в пределах от 0 до $\pi$, находим
\[
B=\int_{0}^{\pi} \mu_{0} \mu \frac{\sigma_{\omega} R \sin ^{2} \theta d \theta}{2}=\frac{2 \mu_{0} \mu \sigma \omega R}{3} .
\]

Учитывая, что $\omega=2 \pi v$, окончательно определим искомую индукцию:
\[
B=4 \pi \mu_{0} \mu \sigma
u R / 3 .
\]

Подставив числовые значения, получим $B \approx 2,6 \cdot 10^{-1}$ Тл.