Кроме кинематического и динамического методов решения задач в физике существует еще один, может быть более важный, метод применения законов сохранения. Этот метод является более универсальным, чем кинематический и динамический. Если применение динамико-кинематического метода ограничено рамками только классических физических систем, то метод законов сохранения используется и в классических, и в квантовых системах.

Необходимо все же отметить, что в классических физи ческих системах динамико-кинематический метод являетсл более общим, чем метод законов сохранения. В особенност это относится к механическим системам. В принципе, любая поставленная механическая задача может быть физическо решена с помощью динамико-кинематического метода. Этогд нельзя утверждать относительно метода законов сохране ния: далеко не все механические задачи решаются путе использования законов сохранения. Однако в более слож ных системах метод законов сохранения иногда быстре приводит к успеху, чем применение динамико-кинемати ческого метода.

Мы уже отмечали, что одного универсального способ (метода) решения задач по физике не существует. Огромно 66
значение здесь имеет лишь система методов. Поэтому нет смысла противопоставлять один метод другому: каждый метод обладает и сильными, и слабыми сторонами. Природа столь разнообразна в своих свойствах и проявлениях, что для раскрытия связей в физических явлениях необходимо разумное сочетание различных методов. Поэтому и при решении физических задач целесообразно использовать систему методов, в том числе динамико-кинематический и метод законов сохранения.
В основе рассматриваемого метода лежит совокупность законов сохранения. В физике их довольно много. В классических системах использются следующие четыре: закон сохранения импувса, закон сохранения энереии (в механических системах его частный случай – закон сохранения эмереии в механике), эакон сохранения момента импульса и закон сохранения электрическово заряда. Общим для всех этих законов является утверждение о сохранении какой-то физической величины при определенных условиях. Если обозначить эту неизменяющуюся физическую величину через $A$, а набор условий, при которых выполняется утверждение закона, через $B$, то законы сохранения можно сформулировать в обобщенной форме: если выполняется $B$, то $A=$ const; или в другом виде: есаи выполняется $B$, то $\Delta A=0$, где $\Delta A-$ изменение величины $A$.
В большинстве случаев законы сохранения применяют, если происходит процесс взаимодействия тел. В этом процессе необходимо различать три этапа: первый характеризуется состоянием тел до их взаимодействия, второй есть с а м п р о и е с с взаимодействия, и третий этап характеризуется состоянием тел по сл е их взаимодействия. Процесс взаимодействия тел несуществен для законов сохранения. Для них важно только, чтобы значение соответствующей физической величины не изменялось в результате этого процесса (ее значения в начале и в конце взаимодействия должны быть равны). Поэтому метод применения законов сохранения заключается в следующем:
1) выясняют, какие тела включаются в физическую систему;
2) проверяют, выполняются ли условия $B$;
3) выбирают инерциальную систему отсчета (относительно которой впоследствии будут определяться значения величины $A$ );
4) находят значение величины $A_{1}$ в начале взаимодействия тел;
5) определяют значение величины $A$, в конце взаимодействия;
6) записывают закон сохранения в виде $A_{1}=A_{2}$ или в форме $\Delta A=0\left(A_{2}-A_{1}=0\right)$;
7) если закон векторный, то обычно проецируют его на оси координат и получают три эквивалентных уравнения: $A_{1 x}=A_{2 x}, A_{1 y}=A_{2 y}, A_{1 z}=A_{2 z}$.

В этом параграфе рассмотрены только два закона: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в механике. Остальные законы мы обсудим несколько позже.
Пример 13.1 Абсолютно неупруеий удар. Деа тела массами $m_{1}=2$ кг и $m_{2}=3 \mathrm{Kr}$, двигавииеся со скоростями $\mathbf{v}_{1}=(3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j})$ и $\mathbf{v}_{2}=(-2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j})$ относительно некотород ИСО, сталкиваются абсолотно неупруго. Определить их скорость $\mathbf{v}$ после удара. Действием других тел пренебречь.
Решение. В физическую систему включим два тела: $m_{1}$ и $m_{2}$. Так как по условию влиянием внешних тел можно пренебречь, то выбранная система является замкнутой. Заметим, что законы движения тел (если использовать кинематический метод) найти нельзя, ибо не заданы начальные условия (при $t=0$ неизвестни координаты тел). Физическое явление заключается в абсолютно неупругом взаимодействии двух тел замкнутой системы. Даны массы и скорости тел до взаимодействия, требуется определить скорость тел после взаимодействия.

Применим закон сохранения импульса. Возможность применения этого закона проверена. ЙО выбрана в условиях задачи. Определяем импульс каждого тела до взаимодействия и находим их геометрическую сумму: $\mathbf{p}_{1}=m_{1} \mathbf{v}_{1}+$ $+m_{3} \mathbf{v}_{2}$. Далее находим импульс системы после взаимодействия (в результате абсолютно неупругого удара тела движутся с общей скоростыо v): $\mathbf{p}_{2}=\left(m_{1}+m_{2}\right) \mathbf{v}$. По закону сохранения импульса получаем
\[
m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{\mathbf{z}}=\left(m_{1}+m_{2}\right) \mathbf{v},
\]

отсюда
\[
\mathbf{v}=\frac{m_{i}}{m_{1}+m_{i}} \mathbf{v}_{i}+\frac{m_{i}}{m_{1}+m_{i}} \mathbf{v}_{\boldsymbol{i}} .
\]

Проецируя это векторное уравнение на оси координат, находим компоненты искомого вектора скорости:
\[
\begin{array}{l}
v_{x}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 x}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2 x}, \quad v_{x}=0 ; \\
v_{y}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 y}+\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2 y}, \quad v_{y}=\frac{17}{5} \mathrm{M} / \mathrm{c} .
\end{array}
\]
68
Таким образом, тела будут двигаться вдоль оси OY со скоростью $v_{y}=17 / 5 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.

Иногда выбранная физическая система в целом не является замкнутой, и, следовательно, закон сохранения импульса в этом случае применять нельзя. Однако она может быть замкнутой по какому-либо направлению (например, вдоль оси $O X$ ), т. е. алгебраическая сумма проекщий внешних сил на это направление равна нулю. Тогда (только для этого направления) можно записать закон сохранения импульса в скалярной форме:
\[
p_{1 x}=p_{2 x} \text {. }
\]

Пример 13.2 Тележка с песком массой $M=100$ кг деижется прямолинейно и равномерно по горизонтальнод плоскости го скоростью $v_{0}=3$ м/с. (рис. 13.1). Шар массой $m=20$ кг падает без начальной скорости с высоть $h=10$ м и попадает в телелку с песком. Oпределить скорость тел после их взаимодействия. Трение отсутстеует. Решение и в физическую систему включим тележку с песком (они рассматриваются как одно тело) и шар (рис. 13.1). Выбранная физическая система не замкнута (до взаимодействия на шар действовала сила тяготения Земли, и эта сила не уравновешивалась никакой другой внешней силой). Следовательно, в целом закон сохранения импульса для этой системы применять нельзя. Однако в направлении перемещения тележки на тела системы внешние силы не действуют и, следова. тельно, для этого направле-
ния закон сохранения импульса применять можно. Инерщиальную систему отсчета свяжем с Землей, оси координат направим, как показано на рис. 13.1. Составляющая вектора импульса $p_{1}$ системы в направлении оси $O X$ до взаимодействия $p_{1 x}=M v_{6} ;$ эта же составляющая после взаимодействия $p_{1 x}=(M+m) v$, где $v-$ искомая скорость. По закону сохранения импльса,
\[
M v_{0}=(M+m) v,
\]

откуда
\[
v=\frac{M t_{0}}{M+m} \text {, }
\]

Подстановка числовых значений дает $v=2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
Из уравнения (13.1) видно, что искомая скорость не зависит от высоты $h$ и, следовательно, в условиях данной задачи это лишняя физическая величина.

Можно было бы в физическую систему включить и третье тело-Землю. Тогда система из этих трех тел является замкнутой. Так как Земля считается телом системы и под действием силы тяготения шара должна двигаться ускоренно (относительно какой-либо ИСО), то, строго говоря, связывать с Землей инерциальную систему отсчета нельзя. Но легко показать, что скорость и ускорение Земли (в условиях данной и подобных задач, где массы тел малы по сравнению с массой Земли) в любой момент времени столь малы, что ими можно пренебречь, считая Землю за неподвижное тело.

Найдем, например, скорость Земли в момент взаимодействия с шаром (это максимальная скорость Земли в условиях данной задачи). Очень часто в физике выбирают инерциальную систему отсчета, связанную с центром масс системы или с дентром инерции системы. Эту систему в дальнейшем будем кратко обозначать символом СЦМ (система центра масс) или символом ЦИ (система центра инерции). Центром масс системы называют точку, радиус-вектор $\mathbf{r}_{\mathbf{f}}$ которой определяется из уравнения
\[
\mathrm{r}_{\mathrm{e}}=\frac{\boldsymbol{\Sigma} m_{\mathrm{t}} \mathrm{r}_{\mathrm{i}}}{\mathbf{\Sigma} m_{i}} .
\]

Можно показать, что центр масс системь деижется кал материальная точка, масса которой равна массе системек, а дейстеующая сила равна геометрическод сумме өсех өнеша них сил, дейстеующцх на систему (т еорема о дв в и жени и центра масс). Запишем уравнение движе ния центра масс:
\[
m \frac{d \mathbf{V}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{d} t}=\sum \mathbf{F}_{l},
\]

где $m=\Sigma m_{l}$ – масса системы, $\mathbf{v}_{\mathrm{e}}$ – вектор скорости центр масс, $\Sigma \mathbf{F}_{l}$ – геометрическая сумма внешних сил.

Если система замкнута, то $\Sigma F_{t}=0$ и $\mathbf{V}_{\mathrm{c}}=$ const, т. центр масс замкнутой системы движется равномерно и вр
70
молинейно. Следовательно, система отсчета, связанная с центром масс такой системы, является инерциальной. Так как в СЦМ начало координат совпадает с дентром масс, то $\mathbf{r}_{\mathrm{e}}=0$ и из (13.2) находим
\[
\Sigma m_{l} \mathbf{r}_{t}=0 \text {. }
\]

Продифференцировав уравнение (13.3) по времени $t$, получаем
\[
\Sigma m_{l} \mathbf{v}_{t}=0,
\]
т. е. импульс замкнутой системы относительно сЦМ равен нулю в любой момент времени. Применим этот

результат к расчету скорости Земли при ее взаимодействии с шаром (рис. 13.2). На этом рисунке начало координат СЦМ – точка $O$ – смещено вправо. Из уравнения (13.4) находим
\[
M v_{3}-m v_{m}=0,
\]

где $M$ – масса Земли, $v_{3}$ – ее скорость, $m$ – масса шара, $v_{a}$ – его скорость. Из уравнения (13.5) определяем скорость Земли:
\[
v_{3}=\frac{m}{M} v_{m}=\frac{m}{M} \sqrt{2 g h}, v_{3} \approx 5 \cdot 10^{-2} \mathrm{~m} / \mathrm{c} .
\]

Полученная скорость фантастически мала. Двигаясь с такой скоростыо, Земля переместится на расстояние, равное $1 \mathrm{cм}$, за время $t \approx 6 \cdot 10^{12}$ лет. В дальнейшем при исследовании движения тел, массь которых малы по сравнению с массой Земли, мы будем пренебрегать воздействием этих тел на Землю, считая ее неподвижной.

Закон сохранения энергии в механике связан с понятиями кинетической $E_{\text {а }}$ и потенциальной $E_{n}$ эмереий. Очень важным здесь является также и понятие работы $A$.

Как известно, сила $\mathbf{F}$ на элементарном перемещении dr совершает элементарную работу
\[
\mathrm{d} A=\mathbf{F d r} \text {. }
\]

Работа силы $\mathbf{F}$ на пути $l$ выражается интегралом
\[
A=\int_{i} \mathbf{F} \mathrm{dr},
\]

где интеграл берется вдоль кривой $l$.
Встречаются случаи, когда работу необходимо вычислять при прямолинейном движенин. Учитывая, что dr= $=\mathrm{d} x \cdot \mathbf{i}+\mathrm{d} y \cdot \mathrm{j}+\mathrm{d} z \cdot \mathrm{k}$, выражение (13.6) можно представить в виде
\[
\mathrm{d} A=\mathrm{Fid} x+\mathrm{Fj} \mathrm{d} y+\mathrm{Fkd} z=\mathrm{F} \mathrm{d} x \cos \alpha_{1}+F \mathrm{~d} y \cos \alpha_{2}+
\]
$+F \mathrm{~d} z \cos \alpha_{3}$, где $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ и $\alpha_{3}-$ углы, которые вектор силы $\mathbf{F}$ составляет соответственно с ортами $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$ осей $O X, O Y$ и $O Z$. При движении по прямой (например, вдоль оси OX) $\mathrm{d} A=F \mathrm{~d} x \cos \alpha$.

Работа силы на участке от $x_{1}$ до $x_{2}$ в этом случае определяется формулой
\[
A=\int_{i_{4}}^{x_{2}} F \cos \alpha \mathrm{d} x .
\]

Если сила постоянна, то вычисление ее работы не составляет обычно большого труда. При расчете работы переменной силы часто используют метод ДИ (см. §6). Ограничимся прямолинейным случаем и предположим, что $|\cos \alpha|=1$. Сила может зависеть от координаты $\boldsymbol{x}$ (в общем случае и от $y$, и от $z$ ), от компоненты скорости $v_{x}=v$ (в общем случае и от других компонент вектора скорости v) и от времени $t$. Рассмотрим случай зависимости силы $F(x)$ от координаты $x$. Элементарная работа
\[
\mathrm{d} A=F(x) \mathrm{d} x .
\]

Работа на участке $\left[x_{1}, x_{2}\right]$
\[
A=\int_{x_{4}}^{x_{2}} F(x) \mathrm{d} x .
\]

Пример 13.3 Сначала тело поднимают из шахты глубиной $h_{1}=R / 2$ (где $R$ – радиус Земли) на поеерхность Земли, а затем на высоту $h_{2}=h_{1}=R / 2$ от поерхности Земли. В каком случае работа больне?
Реше и и е. Легко видеть, что эта задача на оценку. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти отношение $A_{1} / A_{2}$, где $A_{1}$ – работа в первом случае, $A_{2}$ во втором. И в первом, и во втором случаях работа совершается против силы тяготения, но законы, описывающие действие этих сил, различны. В примере 12.1 было показано, что сила тяготения в первом случае
\[
F_{1}=\%, \pi G \rho m x,
\]

а во втором случае
\[
F_{3}=6 m M / x^{4} \text {. }
\]

Графики изменения 9тих сил показаны на рис. 13.3. Таким образом, силы переменны и для расчета работ $A_{1}$ и $A_{2}$ не-

обходимо применить метод дИ. Элементарные работы на участках $\mathrm{d} x$ составляют
\[
\mathrm{d} A_{1}=F_{1}(x) \mathrm{d} x \text { и } \mathrm{d} A_{2}=F_{2}(x) \mathrm{d} x .
\]

После интегрирования в соответствующих пределах получаем
\[
\begin{array}{l}
A_{1}=\int_{R / 2}^{R} \frac{4}{3} \pi G \rho m x \mathrm{~d} x=\frac{3}{8} \frac{O_{m} M}{R}, \\
A_{2}=\int_{R}^{1 / R} \frac{O m M}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{O_{M} M}{3 R} .
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
A_{1} / A_{2}=\% \text {, т. е. } A_{1}>A_{2} \text {. }
\]

Сила может зависеть от компоненты скорости $v_{x}=v$. При расчете работы в этом случае необходимо найти закон изменен ия скорости $v$ от времени $t$, т. е. решить основную задачу динамики, применяя второй закон Ньютона. Элементарная работа
$\mathrm{d} A=F(v) \mathrm{d} x=F(v) v \mathrm{~d} t$.
По второму закону Ныотона,
\[
m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=F(v)+\sum F_{l},
\]

где $\Sigma F_{t}$ – алгебраическая сумма проекций на направление движения остальных сил, действующих на данное тело. После решения уравнения (13.9) и учета начальных условий находим закон изменения скорости: $v=v(t)$. Далее подставляем найденный закон изменения скорости в (13.8) и после интегрирования получаем искому работу:
\[
A=\int_{i_{4}}^{t_{3}} F(t) v(t) \mathrm{d} t .
\]

Пример 13.4 Рассчитаем работу силы сопротивления воздуха, дейстеующей на парашютиста в примере 11.3 за переве 3 с и первьл $30 \mathrm{c}$.
Решение. Так как сила сопротивления зависит от скорости ( $\left.F_{\mathrm{c}}=-k v\right)$ и закон изменения скорости (11.19) найден, то по формуле (13.10) получаем искомую работу:
\[
\begin{array}{r}
A=\int_{0}^{t} k v(t) v(t) \mathrm{d} t=\frac{m^{2} g^{2}}{k} \int_{0}^{t}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}\right)^{2} \mathrm{~d} t= \\
=\frac{m^{2} g^{2}}{k}\left[t+\frac{2 m}{k}\left(\mathrm{e}^{-\frac{k}{m} t}-1\right)-\frac{m}{2 k}\left(\mathrm{e}^{-\frac{2 k}{m} t}-1\right)\right] .
\end{array}
\]

Подставляя в (13.11) значения времени $t_{1}=3$ с и $t_{2}=$ $=30 \mathrm{c}$, получаем
\[
A_{1} \approx 10^{4} \text { Дж, } A_{2} \approx 1,1 \cdot 10^{4} \text { Дж. }
\]

Найдем отношение этих работ:
\[
A_{2} / A_{1}=110 .
\]

Таким образом, во втором случае промежуток времени возрос в 10, а совершенная при этом работа – в 110 раз. Этот результат объясняется одновременным возрастанием и силы сопротивления, и скорости движения.

В заключение исследуем случай зависимости силы от времени: $F=F(t)$. Здесь также для нахождения закона изменения скорости $v$ от времени $t$ необходияо решать основ74
ную задачу динамики. Элементарная работа
\[
\mathrm{d} A=F(t) \mathrm{d} x=F(t) v(t) \mathrm{d} t .
\]

После нахождения закона изменения скорости искомая работа
\[
A=\int_{i_{s}}^{t_{4}} F(t) v(t) \mathrm{d} t .
\]

Пример 13.5 Определить работу тормозново дөигателя за переую секунду в примере 11.4.
Решение. Так как сила торможения зависит от времени ( $F=k t$ ), закон изменения скорости (11.27) найден, время торможения известно, то по формуле (13.12) получаем искомую работу:
\[
A=\int_{0}^{t} k t\left(v_{0}-\frac{k t^{2}}{2 m}\right) \mathrm{d} t=\frac{k v_{0} t^{2}}{2}-\frac{k^{2} t^{4}}{8 m}, A \approx 2,5 \cdot 10^{\circ} \text { Дж. }
\]

Иногда работу можно вычислить, используя теорему об изменении кинетической энергии физической системы, состоящей из материальных точек. Согласно этой теореме, работа всех сил, действующих на такую систему, равна изменению кинетической энергии этой системы:
\[
A=\Delta E_{\text {s }} \text {. }
\]

В примере 11.4 из трех сил, действующих на тело, две взаимно уравновешивают друг друга. Оставшаяся сила и есть сила торможения, работу которой необходимо вычислить. Следовательно, в формуле (13.14) A – это работа силы торможения, а $\Delta E_{\mathrm{x}}=m v^{2} / 2-m v^{2} / 2$. Применяя формулу (13.14) и учитывая закон изменения скорости (11.27), получаем
\[
A=\frac{m v_{0}^{2}}{2}-\frac{m}{2}\left(v_{0}-\frac{k t^{2}}{2 m}\right)^{2}=\frac{k v_{0} f^{2}}{2}-\frac{k^{2} t^{4}}{8 m}, A \approx 2,5 \cdot 10^{4} \text { Дж, }
\]
т. е. это тот же результат, что и полученный ранее (см. (13.13) методом Ди.

По закону сохранения 9 нерги в ме$\mathbf{x}$ а н и к е, полная механическая энереия замкнутод системьк, в которой дейстеуют только консереативнье силь, есть величина постоянная:
\[
E=E_{\mathrm{s}}+E_{\mathrm{a}}=\text { const, или } \Delta\left(E_{\mathrm{s}}+E_{\mathrm{n}}\right)=0 .
\]

Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия системы не сохранйется и ее изменение равно работе неконсервативных сил
\[
\Delta E=A_{a}
\]

где $A_{2}$ – работа диссипативных сил.
Пример 13.6 Определить, какую скорость имеет метеорит массой т на растоянии $r=1,5 \cdot 10^{11} \mathrm{м}$ от Солнца, если он деигался без начальной скорости из бесконечности к Солнцу (масоо М). Влиянием других тел пренебречь. Реше и и е. В физическую систему включим два тела: метеорит и Солнце. Метеорит можно принять за материальную точку. Солнце будем считать шаром радиуса $R=$ $=7 \cdot 10^{5}$ км. Физическое явление заклочается в движении метеорита к Солнцу под действием силы тяготения. Известно начальное состояние физической системы, необходимо определить один из параметров движения метеорита (скорость $v$ ) в конечном состоянии. Это основная задача динамики.

Ее можно было бы решать динамическим методом, применяя второй закон Ньютона. Но в данной задаче нет необходимости определять закон изменения скорости $v$ метеорита от времени $t$ (нужно определить, только значение скорости в конечном состоянии); иначе говоря, нет необходимости описывать весь процесс движения метеорита. Поэтому целесообразно применить закон сохранения энергии в механике.

Выбранная система тел замкнута (влиянием других тел пренебрегаем по условию). В системе действуют только консервативные силы тяготения. Инерциальную систему свяжем с Солнцем, принимая его за неподвижное тело (см. пример 13.2). Полная механическая энергия $E_{1}$ системы в начале взаимодействия тел равна нулю (кинетические энергии тел равны нулю; принимая начальное положение системы за нулевое положение, получаем, что и начальная потенциальная энергия равна нулю). Определим полиую механическую энергию системы $E_{2}$ в конце взаимодействия, когда метеорит находится на расстоянии $r=1,5 \cdot 10^{\mathrm{n}} \mathrm{M}$ от Солнца (рис. 13.4). Она слагается из кинетической энергии метеорита $E_{\mathrm{x}}=m v^{2} / 2$ и его потенциальной энергии. Последияя определяется работой силы тяготения при перемещении метеорита из конечного в начальное положение.

Так как сила тяготения зависит от расстояния $r$, т. е. является перемениой силой, то для расчета работы этой
76
силы применим метод ДИ. Разделим весь путь на столь малые участки, чтобы на каждом таком участке dr изменением силы тяготения можно было пренебречь, считая ее постоянной. Тогда элементарная работа на таком участке
\[
\mathrm{d} A=G \frac{m M}{r^{2}} \cos \alpha \mathrm{d} r=-G \frac{m M}{r^{2}} \mathrm{~d} r .
\]

Суммируя элементарные работы на всех участках, получаем общую работу $A$, которая и определяет значение взаимной потенциальной энергии $E_{n}$ системы:
\[
A=E_{n}=-\int_{r}^{\infty} G \frac{m M}{r^{2}} \mathrm{~d} r=-\left.G m M\left(-\frac{1}{r}\right)\right|_{r} ^{\infty}=-\frac{G m M}{r} .
\]

Таким -образом, полная механическая янергия системы в начальном положении $E_{1}=0$, в конечном $E_{2}=m v^{1} / 2$ – GmM/r. По закону сохранения энергии в механике,
\[
0=\frac{m v^{2}}{2}-\frac{G m M}{r} .
\]

Из последнего уравнения определяем искомую скорость:
\[
v=\sqrt{2 G M / r}, \quad v \approx 42,2 \mathrm{~km} / \mathrm{c} .
\]

Для расчета из таблиц были взяты значения гравитационной постоянной $G$ и массы Солнца $M$.
Пример 13.7 В стальной кубик массой $M=1$ кг, находиешийся в покое на горизонтальной поерхности, попадает стальной шарик массой $m=10 \mathrm{r}$, летееший еоризонтально со скоростью $v_{1}=10^{3} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, и упруго отражаетея обратно (рис. 13.5). Определить, какой путь после удара пройдет кубик до останоеки, если кояффициент трения между кубиком и горизонтальной поверхностью $k=0,2$.
Реше е и е. В физическую систему включим два тела: шарик и кубик, – которые можно принять за материальные точки. Земля – внешнее тело. Физическое явление состоит в абсолютно упругом взаимодействии шарика и кубика (взаимодећствие с внешним телом несущественно) и в их последующем движении. Начальное состояние физической системы (до взаимодействия) известно. Необходимо определить один из параметров движения кубика (его путь до остановки).
Так как силы, возникающие в процессе взаимодействия шарика и кубика, неизвестны, то описать этот процесс динамическим методом невозможно. Применим законы сохранения импульса и энергии в механике. Выбранная система в целом не замкнута, но в направлении движения шарика ее можно считать замкнутой. Инерциальную систему свяжем с Землей, а ось $O X$ направим, как показано на рис. 13.5. Импульс системы до взаимодействия $p_{1}=m v_{1}$. Импульс системы после взаимодействия $\mathrm{p}_{2}=m \mathbf{v}_{2}+M \mathrm{u}_{21}$, где $\mathbf{v}_{2}$ и $\mathrm{u}_{2}$ – векторы скорости шарика и кубика соответственно после взаимодействия. По закону сохранения импульса, $m \mathbf{v}_{1}=m \mathbf{v}_{\mathbf{2}}+M \mathbf{u}_{\mathbf{n}}$.

Проецируя это векторное уравнение на ось $O X$, получаем $m v_{1}=-m v_{2}+M u_{\mathrm{al}}$.
По закону сохранения энергии в механике , $m v_{1}^{A} / 2=m v_{2}^{4} / 2+M u_{2}^{2} / 2$.

Учитывая, что $m \ll M$, после решения системы уравнений находим
\[
v_{1} \approx v_{1} ; u_{11}=\frac{2 m v_{1}}{M+m} \approx \frac{2 m v_{1}}{M} .
\]

Рассмотрим дальнейшее движение кубика. Очевидна постановка новой задачи: кубик массой $M=1$ кг с начальнод скоростью и ив движется по горизонтальной поверхности делить путь, пройденньй кубиком до остановки.

В физическую систему включим два тела: кубик и Землю. Физическое явление заключается в замедленном движении кубика в результате его взаимодействия с Землей. Известно начальное положение системы. Необходимо определить один из параметров этого движения (путь до остановки). Это основная задача динамики. Так как силы вза78
имодействия кубика с Землей известны, то эту задачу можно решить и динамическим методом и методом законов сохранения. Применяя второи̂ закон Ньютона
\[
M a=f M g \text {. }
\]

находим ускорение. Решая обратную задачу кинематики, определяем путь $l_{1}$, пройденный кубиком до остановки:
\[
l_{1}=\frac{w_{2}^{2}}{2 / g}=\frac{2 m^{2} l_{i}^{2}}{\lg M^{2}}, l_{1} \approx 100 \mathrm{M} .
\]

Решим эту же задачу с помощью закона сохранения энергии в механике. Выбранная система замкнута, но применять этот закон в форме (13.15) нельзя (в системе действует неконсервативная сила трения $F_{\mathrm{tp}}=f \mathrm{Mg}$ ). Считая внутреннюю неконсервативную силу трения внешней, из уравнения (13.16) находим
\[
\frac{M u_{11}^{2}}{2}=f M g l_{1} .
\]

Отсюда получаем результат, совпадающий с (13.17) и полученный ранее динамическим методом:
\[
l_{1}=\frac{u_{1}^{2}}{2 / g}=\frac{2 m^{2} v_{1}^{2}}{f g M^{2}}, \quad l_{1} \simeq 100 \mathrm{M} .
\]

Решенную задачу можно было бы сформулировать в виде такой, например, проблемы (проблемной задачи): в результате какого взаимодействия шарика и кубика путь, пройденный кубиком до остановки, максимален?

Изменим несколько условия примера 13.7: будем считать кубик неупругим телом, остальнье условия сохраним прежкими; определить путь кубика до остановки.

Процесс взаимодействия (абсолютно неупругий удар) описывается законом сохранения импульса
\[
m v_{1}=(m+M) u_{n} .
\]

Отсюда определяем начальную скорость кубика (с учетом условия $m \ll M)$ :
\[
u_{\mathrm{a}} \approx m v_{1} / M \text {. }
\]

Решая динамическую задачу дальнейшего движения кубика (любым методом), находим его путь до остановки:
\[
l_{3}=\frac{u_{i_{2}}}{2 / g}=\frac{m^{2} v_{l}^{2}}{2 / g M^{2}}, \quad l_{2} \approx 25 \mathrm{M} .
\]

Из уравнений (13.17) и (13.18) видно, что в случае абсолютно упругого удара кубик до остановки проходит путь в четыре раза больший, чем при абсолютно неупругом взаимодействии.

Изменим еще немного условия прияера 13.7: пусть в результате взсимодействия шарик, пройдя через кубик, продолжает деижение в том же направлении со скоростью $v_{3}=500 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, остальнье условия те эе; определить путь кубика до остановки.
Применив закон сохранения импульса
\[
m v_{1}=m v_{3}+M u_{\mathrm{s}} \text {. }
\]

находим начальную скорость кубика;
\[
u_{\mathrm{n}}=m\left(v_{\mathrm{r}}-v_{\mathrm{n}}\right) / M \text {. }
\]

Путь кубика до остановки
\[
l_{3}=\frac{u_{2}^{2}}{2 / g}=\frac{m^{2}\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2}}{2 / g M^{2}}, \quad l_{3} \approx 6,25 \mathrm{~m} .
\]

Таким образом, в случае абсолютно упругого удара (при условии $m \ll M$ ), и скорость $u_{21}$, и путь $l_{1}$, пройденный кубиком до остановки, являются максимальными.

Можно исследовать зависимость начальной скорости и пути, пройденного кубиком до остановки, от отношения масс $\mathrm{m} / \mathrm{M}$. В частности, для любого соотношення масс $\mathrm{m} / \mathrm{M}$ (но при $m \ll M$ )
\[
u_{a 1} / u_{a z}=2
\]

и, следовательно,
\[
l_{1} / l_{2}=4 \text {. }
\]