В статистическом методе в отличие от термодинами. ческого существенным является предположение о кзернистою̆ структуре \” макротел. В этом методе используют следующие (подтверждаемые многочисленными опытами) положения: все макротела состоят из микрообъектов; микрообъекты участвуют в хаотическом движении; микрообъекты взаимодей ствуют межау собой. В к.лассической статистической фиэике предполагают, что два одинаковых микрообъекта не тождественны. Поведение одной микрочастицы (материальной точки) рассматривают в шестимерном фазовом пространстве ( $\mu$-пространстве) координат ( $x, y, z$ ) и проекций вектора импульса ( $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ ) или вектора скорости $\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)$. Ее состояние определяется точкой в этом пространстве. Если микрочастица движется хаотически, то ее нахождение в элементе объема $\mathrm{d} \tau=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z}$ этого пространства является случайным событием, вероятность которого
\[
\mathrm{d} w=f\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right) \mathrm{d} \tau,
\]
где $f$ – функция распределения (плотность жроятности). Функция $f$ удовлетворяет условию нормировки
\[
\int f \mathrm{~d} \tau=1 \text {. }
\]
В (31.2) интегрирование производится по всему фазовому пространству. С помощьо функции $f$ можно определить среднее значение некоторой функции $\varphi\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)$ :
\[
\langle\varphi\rangle=\int f \varphi \mathrm{d} \tau .
\]
Распределение Максвела – Больцмана молекул в $\mu$ пространстве имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} w\left(x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)= \\
=\mathrm{e}^{-\left[\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2 m}+U(x, y, x)\right] /(k n)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z},
\end{array}
\]
где $U(x, y, z)$ – потенщиальная энергия молекулы.
Распределение Максвелла – Больцмана можно рассматривать как два независимых распределения в трехмерном пространстве импульсов (распределение Максвелиа)
\[
\mathrm{d} w\left(p_{x}, p_{y}, p_{x}\right)=A \mathrm{e}^{-\left(\rho_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{2}^{2}\right) /(2 m k T)} \mathrm{d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{x}
\]
и в трехмерном пространстве координат (распределение Больцмана)
\[
\mathrm{d} \boldsymbol{w}(x, y, z)=B \mathrm{e}^{-U(x, y, z) /(u T)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z,
\]
где $A$ и $B$ – постоянные, определяемые из условия нормировки (31.2). Учитывая условие нормировки (31.2), получаем распределение Максвелла:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} w\left(p_{x}, p_{y}, p_{z}\right)=(2 \pi m k T)^{* / 1} \mathrm{e}^{-\left(p_{A}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right) /(2 m k T)} \times \\
\times \mathrm{d} p_{x} \mathrm{~d} p_{y} \mathrm{~d} p_{z} .
\end{array}
\]
Из распределения Максвелла (31.7) можно получить: распределение по компонентам скоростей $\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)$
\[
\mathrm{d} w\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)=\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1 / 4} \mathrm{e}^{-\frac{m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{g}+v_{z}\right)}{2 \pi T}} \mathrm{~d} v_{x} \mathrm{~d} v_{y} \mathrm{~d} v_{z}
\]
распределение по модулю скорости $v$
\[
\mathrm{d} \boldsymbol{v}(v)=4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{4 / 2} v^{2} \mathrm{e}^{-\frac{m v^{*}}{2 \pi T}} \mathrm{~d} v,
\]
распределение по кинетической энергии $E_{*}$
\[
\mathrm{d} w\left(E_{\mathrm{z}}\right)=2 \pi\left(\frac{1}{\pi k T}\right)^{1 / 3} E_{\mathrm{s}} / \cdot \mathrm{e}^{-\frac{E_{\mathrm{z}}}{\pi T}} \mathrm{~d} E_{\mathrm{s}}
\]
и другие распределения.
В состоянии термодинамического равновесия макросостояние системы, состоящей из $N$ частиц, характеризуется сравнительно небольшим числом макропараметров (физических величин, которые можно определить путем измерения из эксперимента), имеющих определенное, не зависящее от времени значение. Вследствие хаотического движения частиц их положения и скорости непрерывно изменяются. Следовательно, изменяются микросостояния системы, в то время как макропараметры остаются постоянными. Таким образом, одному и тому же макросостоянию соответствует множество микросостояний. Поэтому любые макроскопические величины зависят от микроскопических параметров. В статистической физике принимается, что наблодаемые экспериментально физические величины (макропара-
метры) могут быть найдены как средние значения, вычисаенные по множеству допустимых микросостояний (см. 31.3). Вследствие этого одной из основных задач, решаемых статистическим методом, является нахождение средних значений различных физических величин и определение среднего числа частии $\mathrm{d} N$ (из данных $N$ ), обладающих некоторым свойством.
Пример 31.1 Азот находится под давлением $p=1$ атм при температуре $T=300 \mathrm{~K}$. Найти относительное число молекул азота, модуль скорости которых лезит в интереале скоростей от $\langle v\rangle \partial 0\langle v\rangle+\mathrm{d} v$, где $\mathrm{d} v=1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Внешние силь отсутстеуют.
Pеше и и е. При давлении $p=1$ атм и температуре $T=300 \mathrm{~K}$ азот можно считать идеальным газом. В отсутствие внешних сил молекулы идеального газа подчиняются закону распределения Максвелла. Конкретный вид этого закона определяется из условий задачи -необходимо использовать распределение Максвелла по модуло скорости (31.9):
\[
\mathrm{d} N=N 4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1 / v} v^{2} \mathrm{e}^{-m v^{*} /(2 \pi T)} \mathrm{d} v,
\]
где $\mathrm{d} N$ – число молекул из данных $N$, модуль скорости которых лежит в интервале от $v$ до $v+\mathrm{d} v, m$ – масса молекулы. Қак известно, выраженне (31.11) справелливо, если интервал скоростей dv столь мал, что изменением функции распределения
\[
f_{M}(v)=\frac{\mathrm{d} N}{N d v}=4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1 / 6} \mathrm{e}^{\left.-m v^{+} / 2 k T\right)} v^{2}
\]
на этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной. В нашем случае интервал $\mathrm{d} v=$
$=1 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ мал (по сравнению со значением средней скорости $\langle v\rangle=\sqrt{8 k T /(\mathrm{rm})} \approx 475 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ ). Кроме того, функция распределения $f_{M}(v)$ в области средней скорости $\langle v\rangle$ изменяется
весьма слабо (рис. 31.1). Поэтому выражение (31.11) практически решает задачу. Подставив в (31.11) значение средней скорости $\langle v\rangle=\sqrt{8 k T /(\pi m)}$, получаем решение задачи в общем виде:
\[
\frac{\mathrm{d} N}{N}=\frac{8 \sqrt{2}}{\pi}\left(\frac{m}{\pi k T}\right)^{1 / 5} \mathrm{e}^{-4 / \pi} \mathrm{d} v .
\]
Произведя вычисления, получим
\[
\mathrm{d} N / N=1,9 \cdot 10^{-3}=0,19 \% .
\]
При числовом расчете использовались табличные значения функиии $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$.
Пример 31.2 Наїти относительное число молекул, модуль скорости которьх больше модуля средмей скорости.
Р еше е и е. В данном случае интервал скоростей dv равен бесконечности (от средней скорости $\langle
u\rangle$ до $\infty$ ) и непосредственно использовать формулу (31.11) нельзя. Но, интегрируя уравнение (31.11) в указанных выше пределах, получаем искомое относительное число молекул:
\[
\frac{N_{1}}{N}=\int_{i=1}^{\infty} 4 \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1 / 4} \mathrm{e}^{-\frac{m v^{*}}{2 k T}} v^{2} \mathrm{~d} v=\frac{4}{\sqrt{\pi}} \alpha^{* / 5} \int_{\langle=\rangle}^{\infty} \mathrm{e}-\alpha v^{*} v^{2} \mathrm{~d} v,
\]
где $\alpha=m /(2 k T)$ и $N_{1}-$ число молекул из данных $N$, модуль. скорости которых больше модуля средней скорости.
Представим последний интеграл из (34.13) в виде
Первый интеграл справа (по условию нормировки (31.2)) равен единице:
\[
\frac{4}{\sqrt{\pi}} \alpha^{*} / \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha v^{2}} v^{2} \mathrm{~d} v=1 .
\]
Для вычисления второго интеграла произведем в нем замену переменного, положив $t=\sqrt{\alpha v}$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
=\frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{1,13} t^{2} \mathrm{e}^{-f} \mathrm{~d} t \text {, } \\
\end{array}
\]
ибо $\sqrt{\alpha\langle v\rangle}=\sqrt{4 / \pi} \approx 1,13$.
Проинтегрировав (31.14) по частям, сведем последний интеграл к интегралу ошибок
\[
\Phi(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{z} \mathrm{e}^{-x^{t}} \mathrm{~d} x,
\]
для значений которого составлены специальные таблицы. Мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{4}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{1,13} t^{2} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\left[-\left.t \frac{\mathrm{e}^{-t}}{2}\right|_{0} ^{1,13}+\frac{1}{2} \int_{0}^{1,13} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t\right]= \\
=-0,39+\Phi(1 ; 13) .
\end{array}
\]
Из таблиц находим значение интеграла ошибок $\Phi(1,13)=0,89$. Следовательно, относительное число молекул, модуль скорости которых больше средней скорости, составляет
\[
N_{2} / N=0,50 \text {. }
\]
Таким образом, половина молекул имеет модуль скорости меньше средней скорости, а другая половина – больше средней скорости.
Пример 31.3 Oпределить число молекул водорода, пересекающих за 1 с площадку площадью 1 см $^{2}$, расположенную перпендикулярно оси (водород находится при нормальных условиях).
Решен и е. Дадим два решения этой задачи.
Первая модель. Учитывая, что в газе нет преимущественных направлений движения молекул, примем, что $1 / 3$ всех молекул движется по оси $O X, 1 / 3$ – по оси $O Y$ и $1 / 3$ по оси $O Z$. Следовательно, в положительном направлении оси $O X$ движется $1 / 6$ всех молекул. Далее предположим, что скорости всех молекул одинаковы и равны средней скорости $\langle v\rangle$. Тогда искомое число молекул составит
\[
n_{1}=1 / n_{0}\langle v\rangle \Delta S \Delta t,
\]
где $n_{9}$ – плотность молекул (их число в единичном объеме), $\Delta S=1 \mathrm{cм}^{2}-$ площадь площадки, $\Delta t=1 \mathrm{c}-$ промежуток времени.
Вторая модель. В первой модели предполагалось, что все молекулы движутся с одинаковой по модулю скоростыо, равной средней скорости. Однако молекулы распределены по компонентам скоростей по закону Максвелла, который для одномерного случая легко получить из распределения (31.8):
\[
\mathrm{d} n\left(v_{x}\right)=n_{0}\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1 / h} \mathrm{e}^{-m v^{2} /(2 k T)} \mathrm{d} v_{x^{*}}
\]
Следовательно, чнсло молекул, пересекающих площадку $\Delta S=1 \mathrm{~cm}^{2}$ за время $\Delta t=1 \mathrm{c}$, найдем из соотношения
\[
\begin{array}{l}
n_{2}=\Delta S \Delta t \int_{0}^{\infty} v_{x} \mathrm{~d} n\left(v_{x}\right)=\Delta S \Delta t \int_{0}^{\infty} n_{0}\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1 / t} \mathrm{e}^{-\frac{m v_{x}^{t}}{2 k T}} v_{x} \mathrm{~d} v_{x}= \\
=\frac{n_{0} V \overline{\alpha / \pi}}{2 \alpha} \Delta S \Delta t \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha v_{x}^{2}} \mathrm{~d}\left(\alpha v_{x}^{2}\right)=\Delta S \Delta t \frac{n_{0} V \overline{\alpha / \pi}}{2 \alpha} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t= \\
=\left.\Delta S \Delta t \frac{n_{0}}{2 \sqrt{\alpha \pi}}\left[-\mathrm{e}^{-t}\right]\right|_{0} ^{\infty}=\frac{n_{0} \Delta S \Delta t}{2 \sqrt{\alpha \pi}},
\end{array}
\]
где $\alpha=m /(2 k T)$. Учитывая, что $\langle v\rangle=\sqrt{8 k T /(\pi m)}$, получаем,
\[
n_{2}=1 / n_{0}\langle v\rangle \Delta S \Delta t \text {. }
\]
Таким образом, получены существенно различные выражения (31.15) и (31.17). Произведя количественный расчет (учитывая, что $n_{0}=p_{0}\left(k T_{0}\right)$, где $p_{0}$ и $T_{0}$ – нормальное давление и нормальная температура), получим
\[
n_{1} \approx 7,4 \cdot 10^{23}, n_{3} \approx 11,1 \cdot 10^{n 3} .
\]
Пример 31.4 В сосуде, обвемом $V=30$ л находиmся $m=100$ г кислорода под давлением $p=3 \cdot 10$ ! Па. Oпределить наиболее веролтное значение кинетической энергии молекул кислорода.
Реше и и е. Легко показать, что кислород в данных условиях можно считать идеальным газом. Вероятное зна чение кинетической энергии молекул, которой соответствуе максимум кривой распределения Максвелла (31.10) молекуа
по кинетическим энергиям (рис. 31.2), можно найти из соответствующей функции распределения:
\[
f_{M}\left(E_{*}\right)=2 \pi\left(\frac{1}{\pi k T}\right)^{1 / 4} E_{k}^{\prime} \cdot \mathrm{e}^{\left.-E_{*} / k T\right)} .
\]
Таким образом, предложенная задача сводится к задаче о нахождении экстремума функции (31.18). Определив
первую производную $f_{M}\left(E_{u}\right)$ и приравняв ее нулю, получим
Отсюда найдем вероятное значение кинетической энергии молекул:
\[
E_{\mathrm{x} .}=k T / 2 \text {. }
\]
Температуру определим из уравнения Менделеева Клапейрона
\[
T=p V M /(m R) .
\]
Используя (31.18) и (31.3), можно найти среднее значение кинетической энергии молекул (в поступательном движении):
\[
\left\langle E_{*}\right\rangle=1 / 2 k T \text {. }
\]
Таким образом, средняя кинетическая энергия молекул идеального газа в три раза больше вероятного значения кинетической энергии:
\[
\left\langle E_{*}\right\rangle / E_{* . s}=3 \text {. }
\]
Заметим, что различие между средней скоростью молекул идеального газа и их вероятной скоростью менее значительно:
\[
\frac{\langle v\rangle}{v_{s}}=\frac{\sqrt{8 k T /(\pi m)}}{\sqrt{2 k T / m}} \approx 1,13 .
\]
