Этот метод используют при решении сложных задач, а также при решении непоставленных и нестандартных задач. Еrо широко применяют на этапе анализа решения физической задачи. На этом этапе метод упрощения и усложнения позволяет развернуть любую задачу в єблок все более сложных или более простых задач. Типичным в этом отношении является пример 11.2 (см. §11).
Составными частями метода упрощения и усложнения являются два взаимосвязанных и противоположных процесса: процесс упрощения (идеализация, оценка и отбрасывание второстепенных явлений, пренебрежение несущественными деталями и т. д.) и процесс усложнения (учет и рас-
смотрение ранее отброшенных объектов, явлений, деталей, усложнение физической системы, связей и т. д.). Материальную основу этих процессов составляет метод оценки.
Этот метод часто используют при анализе любой физической ситуации, производя оценку физических єеличик или оценку физических явлений.
Оценка физической величины заключается, во-первых, в арифметическом (числовом) расчете порядка самой величины (оценка порядка) и, во-вторых, в сравнении однородных величин по их порядкам (сравнение по порядку).
При арифметическом расчете порядка величины, зависящей от других величин, чнсловое значение каждой из этих величин представляют в стандартном виде (произведение первой значащей цифры на десять в соответствующей степени). Затем оценивают порядок каждого слагаемого (если рассчитываемое выражение есть алгебраическая сумма). Выделяют слагаемые с наивысшим порядком. Слагаемые, порядок которых по крайней мере на два ниже слагаемых наивысшего порядка, отбрасывают. Точную значащую цифру оставшихся слагаемых определяют или с помощью логарифмической линейки, или на микрокалькуляторе.
Пример 7.1 Пусть в результате общего решения задачи получена следующая расчетная формула:
\[
\Delta m=\frac{V M\left(p_{1} T_{2}-p_{2} T_{1}\right)}{R T_{1} T_{2}},
\]
аде $V=9$ л-обвем газа, $\quad M=2 \cdot 10^{-3} \mathrm{kr} /$ моль – его молярная масса, $p_{1}=52 \cdot 10^{\circ}$ Па – переоначальное давление саза, $T_{1}=296 \mathrm{~K}$ – его мачальная температура, $p_{2}=$ $=5.10^{4}$ Па – конечное давление газа, $T_{2}=283 \mathrm{~K}$ – его конечная температура, $R=8,31$ Дж/(моль-К) – укиөерсальная газовая постоянная, $\Delta m-$ изменекие масоы саза. Оценить порлдок величины $\Delta \mathrm{m}$.
Решение Переводим данные величины в СИ, одновременно округляем их значения и представляем в стандартном виде. В результате получаем: $V \approx 10^{-1} \mathrm{M}^{3}, M=2 \cdot 10^{-3} \mathrm{Kr} /$ моль, $p_{1} \approx 5 \cdot 10^{\circ} \mathrm{\Pi a}, T_{1} \approx 3 \cdot 10^{2} \mathrm{~K}, p_{2}=5 \cdot 10^{4} \mathrm{\Pi a}, T_{2}=3 \cdot 10^{2} \mathrm{~K}$, $R \approx 8$ Дж/(моль-K). Из этих данных, во-первых, видно, что приближенные значения начальной и конечной температуры одинаковы и, следовательно, вместо первоначальной формулы получается более простое выражение
\[
\Delta m \approx \frac{V M\left(p_{1}-p_{2}\right)}{R T} .
\]
Во-вторых, конечное давление $p_{2}=5 \cdot 10^{4}$ Па по порядку величины значительно меньше начального давления $p_{1}=$. $=5 \cdot 10^{\circ}$ Па (на два порядка) и, следовательно, им можнопренебречь. В конечном итоге для оценки порядка величины $\Delta m$ получаем
\[
\Delta m \approx \frac{V M_{p_{1}}}{R T_{i}} \text {, откуда } \Delta m=\frac{10^{-2}, 2 \cdot 10^{-3} \cdot 5 \cdot 10^{n}}{8 \cdot 3 \cdot 10^{2}} \mathrm{Kr} \approx 4 \cdot 10^{-2} \mathrm{Kr} \text {. }
\]
Более точный, но и более длительный расчет дает для искомой величины значение $\Delta m=3,8 \cdot 10^{-1}$ кг.
Грубая, но быстрая оценка порядка искомой величины очень важна для последующего этапа анализа решения.
При сравнении физических величин (зависящих от других величин) сначала находят их отношение в общем виде, а затем производят числовой расчет порядка этого отношения.
Пример 7.2 Сраєнить силу тяготения $F_{\text {, }}$ деух протомов и силу их ялектрического отталкивания $F_{\text {, }}$.
$\mathrm{P}$ щ е и е. Найдем отношение этих сил:
\[
\frac{F_{\mathrm{r}}}{F_{0}}=\frac{G m^{2} \cdot 4 \pi e_{0} r^{2}}{r^{2} \cdot Q^{2}} \text {, }
\]
где $Q \approx 6,7 \cdot 10^{-n} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{kr}^{2}$ – гравитационная постояниая $m \approx 1,67 \times 10^{-n} \mathrm{Kr}$ – масса протона, $Q=1,6 \cdot 10^{-10} \mathrm{Kл}-$ заряд протона, $4 \pi \varepsilon_{0} \approx 1,1 \cdot 10^{-10} \Phi / \mathrm{M}$.
После арифметического расчета получаем
\[
F_{\tau} / F_{0} \approx 7 \cdot 10^{-n 7} \approx 10^{-n} \text {. }
\]
Таким образом, сила тяготения двух протонов на $3 q$ порядков меньше силы их электрического отталкивания (гравитационное взаимодействие фантастически мало по сравнению с электромагнитным взаимодействием).
Пример 7.3 Какое тело притягивает Луну сильнее: Земля или Солнце? ‘ния найдем отношение сил притяжения Земли $\left(F_{3}\right)$ и Солнщц́ $\left(F_{\mathrm{c}}\right)$ :
\[
\frac{F_{3}}{F_{\mathrm{c}}}=\frac{M_{3^{\prime}} \mathrm{C}}{M_{\mathrm{Cr}^{3}}^{3}},
\]
где $M_{3} \approx 6 \cdot 10^{\text {n }} \mathbf{~ к r}-$ масса Земли, $M_{\mathrm{C}} \approx 2 \cdot 10^{\text {n }} \mathbf{~ к r}-$ массі Солнца, $r_{c} \approx 1,5 \cdot 10^{\text {п }}$ м – среднее расстояние Луны (Земли) от Солиа, $r_{3}=4 \cdot 10^{n}$ м – среднее расстояние Луны оf Земли.
После расчета получаем
$F_{3} / F_{C} \approx 3 / 8$.
Следовательно, по порядку величины силы притяжения Луны к Земле и Солнцу одинаковы, но все-таки Солнце притягивает Луну примерно в два с половиной раза сильнее, чем Земля. В этом ничего парадоксального нет, если учесть, что под действием силы притяжения к Солнцу Луна движется вокруг Солнца, а под действием силы притяжения к Земле Луна движется вокруг Земли.
Оценка физического явления сводится, во-первых, к получению фундаментального закона, управляющего данным явлением, и, во-вторых, к числовому расчету порядка физической величины.
Часто задачи на оценку являются непоставленными.
Пример 7.4 Оценить давлекие в центре Земли.
Реше и и е. Постановка задачи. Введем некоторые упрощения. Будем считать Землю однородным шаром радиуса $R_{3}$. Поле тяготения однородного шара эквивалентно полю материальной точки такой же массы, расположенной в центре шара. Любое тело массой $m$, расположениое на поверхности Земли, притягивается к Земле с силой, равной $F_{\mathrm{\tau}}=$ $-G\left(\mathrm{mM}_{3} / R_{3}^{2}\right)$, и, следовательно, оно производит на Земло давление $p=F_{\tau} / S$, где $S-$ площадь опоры тела. Если множество таких тел располагаются на поверхности Земли тонким сферическим слоем, то давление такого сферического слоя массой $\mathrm{dm}$
\[
\mathrm{d} p=\frac{G M_{3} \mathrm{~d} m}{4 \pi R_{3}^{4}} .
\]
Сила тяготения тела к Земле зависит от расстояния до центра Земли. Следовательно, толщина сферического слоя должна быть мала по сравнению с этим расстоянием. Қаждый сферический слой производит давление на нижележащие слои. Теперь уже ясно, что для расчета давления в центре Земли необходимо применить метод ДИ (см. §6). Разделим Землю на тонкие сферические слои. Рассмотрим один такой слой толщины dr, расположенный на расстоянии $r$ от центра Земли $O$ (рис. 7.1). Он притягивается к части Земли, находящейся внутри него (внешняя часть Земли не действует на слой), с силой
\[
\mathrm{d} F_{\mathrm{T}}=\frac{0.4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r p \cdot 4 \pi r^{2} \rho}{3 r^{2}},
\]
где $\rho-$ средняя плотность Земли. Отсюда давление слоя
\[
\mathrm{d} p=\frac{\mathrm{d} F_{\mathrm{r}}}{4 \pi r^{2}}=\frac{4 \pi G p^{2} r \mathrm{~d} r}{3} .
\]
После интегрирования получаем, обозначив $R_{\mathbf{3}}$ – радиус Земли,
\[
p=\int_{r}^{R_{3}} \mathrm{~d} p=(2 \pi / 3) G \rho^{2}\left(R_{3}^{3}-r^{2}\right)
\]
– давление внутри Земли на расстоянии $r$ от центра Земли. При $r=0$ находим давление в центре Земли:
\[
p=2 / 3 \pi G \rho^{2} R_{3}^{3} \text {. }
\]
Оценим порядок этой величины (считая $\rho \approx 5,5 \cdot 10^{3} \mathrm{Kr} / \mathrm{m}^{2}$ ):
\[
p \approx 1,6 \cdot 10^{11} \text { Па } \approx 2 \cdot 10^{n} \text { Па. }
\]
Известно, что нормальное атмосферное давление равно приблизительно $10^{\circ}$ Па. Таким 06разом, давление в центре Земли на шесть порядков превышает нормальное атмосферное давление.
Часто, используя метод оденки, сравнивают между собой различные физические явления. При этом производят оценки фундаментальных физических величин, характеризующих эти явления.
Пример 7.5 Плоский контур площадью $S=1$ м² $^{2}$, сопротиелением $R=1$ Ом располозсен в однородном магнитном поле, индукция которого изменяется по закону $B=B_{0}-$ $-\alpha t^{2} /(2 S)$, дде $B_{0}=10 \mathrm{Tл}, \alpha=10^{-1} \mathrm{Tл} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{c}^{2}$. Плоскостьконтура перпендикуляяна өектору В. Oпределить силу токд в контуре в момент өремени $t=1$ с, если иядуктивность контура равна $L$ и при $t=0$ сила тока в контуре $I=0$ $\mathrm{P}$ ешения и е. В зависимости от значения индуктивности контура конкретные физические явления будут проте кать различным образом. Рассмотрим два предельных случая.
1. Индуктивность контура $L$ столь мала, что явление самоиндукции можно пренебречь. По сравнению с чем, каким другим явлением? В физическую систему включия контур и магнитное поле. Вследствие изменения магнит ного поля в контуре возникае язление электромагнитно 26
шндукции. Так как 9. д. с. индукции $\mathscr{E}_{2}=\alpha t$ зависит от времени, то возникающий индукционный ток также зависит от времени. Следовательно, в контуре возникает явление самоиндукции (характеризующееся 9. д. с. самоиндукции
Таким образом, рассматривается случай столь малых $L$, что можно пренебречь 9. д. с. самоиндукции $\mathscr{E}_{\text {с }}$ по сравнению с 9. д. с. индукции $\mathscr{E}_{n}$. Тогда по второму закону Кирхгофа для данного контура получаем
\[
\mathcal{E}_{n}=I R \text {. }
\]
Так как $\delta_{n}=\alpha t$, то
\[
I_{n}=\alpha t / R, I_{n}=10^{-1} \mathrm{~A} .
\]
2. Индуктивность контура столь велика, что явлением самоиндукции пренебречь нельзя. Это означает, что 9. д. с. самоиндукции $\delta$ с сравнима с 9. д. с. индукции. По второму закону Кирхгофа для данного контура находим
\[
\mathcal{\delta},-L \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{~d} t}=I R \text { или } a t-L \frac{\mathrm{d} l}{\mathrm{~d} t}=I R \text {. }
\]
Решением этого дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям ( $I=0$ при $t=0$ ), является следующая функция:
\[
I=\frac{\alpha t}{R}-\frac{\alpha L}{R^{2}}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{R}{L} t}\right) .
\]
Второй член в правой части последнего уравнения учитывает явление самоиндукции. Пусть индуктивность контура $L=1 \Gamma_{\text {н. }}$. Подставляя данные величины в (7.2), получаем $I=0,04 \mathrm{~A}$, что значительно отличается от полученного ранее значения. Таким образом, при больших значениях индуктивности контура в данном случае нельзя пренебрегать явлением самоиндукции.
Заметим, что последний вывод справедлив только для небольших промежутков времени. Из уравнения (7.2) видно, что роль явления самоиндукции будет уменьшаться с течением времени. Например, в момент времени $t=100$ с без учета явления самоиндукции $I=10 \mathrm{~A}$, а с учетом $I=9,9 \mathrm{~A}$, т. е. поправка на явление самоиндукции составляет всего $1 \%$. Таким образом, для моментов времени $\geqslant 1 \wp$ с явлением самоиндукщии можно пренебречь даже при таком большом значении индуктивности контура ( $L=1$ Гн).
