Полезно дать еще одну классификацию поставленных задач. Эта классификация основана на одной очень важной особенности самого процесса решения задачи. Речь идет о
30
средствах, необходимых и достаточных для решения той или иной задачи по физике. По этому признаку поставленmые задачи можно разделить на элементарные, стамдартные и нестандартные задачи. Мы приведем не очень строгие определения этих задач (хотя можно было бы дать и более корректные их определения).

Элементарной назовем поставленную задачу, для решения которой необходимо и достаточно воспроизвести и применить лишь один соответствующий физический закон.

Стандартную определим как поставленную задачу, для решения которой необходимо и достаточно привлечь лишь систему кобычных» знаний и кстандартныхз методов и приемов.

В распространенных сборниках задач по физике, как правило, приводят стандартные задачи.

Приведем примеры элементарной, стандартной и нестандартной задач.
Пример 9.1 По проводику, выполненному в виде окружности радиуса $R=0,5 \mathrm{~m}$, идет постоянньй ток $I=1$ А. Oпределить индукцию магнитного поля этого тока в центре окружности. Среда — вакуум.
Решение й Оно очевидно. Для того чтобы получить его, достаточно записать закон Био — Савара — Лапласа в интегральной форме для кругового тока:
\[
B=\mu_{\mathrm{o}} \mu \frac{l}{2 R} ; B=4 \pi \cdot 10^{-1} \mathrm{~T} \text {. }
\]

Таким образом, для решения этой задачи необходимо и достаточно привлечь конкретный закон, причем метод применения этого закона заключается именно в его записи. Следовательно, данная задача — элементарная. Иногда элементарные задачи называют тренировонньми или подстановочными. Задачи подобного рода действительно оправдывают свои многочисленные названия. Они могут быть названы и тренировочшіми (при решении таких задач тренируется память), и подстановочными (после написания соответствующего закона для получения числового ответа в эту формулу достаточно подстаєить данные значения величин и произвести арифметический расчет), и элементарными. Мы оставим за ними последнее название. Учитывая, что элементарные задачи могут быть решены и без общего подхода (хотя некоторые его элементы также используют при решении и таких задач), мы не будем рассматривать их в данной книге.

Пример 9.2 На наклокную плоскость, составляющую угол а с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска массами $m_{1}$ и $m_{2}$ (рис. 9.1). Определить силу взаимодействия между брусками в процессе деижения, если коэффициенты трекия между наклонкод плоскостью и ятими брусками соотөстстөенно равны $f_{1}$ и $f_{2}$, причем $f_{1}>f_{2}$.
Р е ше и и е́. Эту сравнительно несложную задачу уже нельзя решить, просто записав єсоответствующий физический закон (например, второй закон Ньютона: $\mathbf{F}=$ ma), хотя бы потому, что необходимо знать не только закон, но и метод его применения.
Применим метод анализа физической ситуации. После записи условий задачи, построения чертежа и анализа данных и искомых величин переходим к основной части физического анализа. В физическую систему включим тела $m_{1}$ и $m_{2}$. Остальные тела будут внешними. Тела системы можно принять за материальные точки. В системе происходит движение этих тел вследствие их взаимодействия как с внешними телами (Земля и наклонная плоскость), так и между собой. Необходимо определить один из параметров этого взаимодействия: одну из внутренних сил. Эта задача связана с основной задачей динамики материальной точки. Применим к каждому телу второй закон Ныютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с наклонной плоскостыю, а оси координат выберем так, как показано на рис. 9.1. Легко видеть, что на каждое из тел $m_{1}$ и $m_{2}$ действуют четыре силы: сила тяжести $m g$, сила реакции опоры $\mathrm{N}$, сила трения $\mathbf{F}_{\mathrm{тp}}$ и искомая сила взаимодсїствия между ними $\mathbf{F}$. Проецируя эти силы на оси координат, получаем замкнутую систему из двух уравнений с двумя нензвестными:
\[
\begin{array}{l}
m_{1} g \sin \alpha-f_{1} m_{1} g \cos \alpha+F=m_{1} a, \\
m_{2} g \sin \alpha-f_{2} m_{2} g \cos \alpha-F=m_{2} a .
\end{array}
\]

Решая полученную систему, находим ответ в общем виде:
\[
F=\frac{m_{1} m_{2}\left(f_{1}-f_{2}\right) \cos \alpha}{m_{1}+m_{2}} .
\]
32
Мы видели, что для решения этой задачи необходимо и достаточно было применить лишь второй закон Ньютона, стандартный метод анализа физической ситуации задачи и метод применения физического закона. Следовательно, решенная задача — стандартная.

Нестандартная — это также поставленная задача, но применение в процессе ее решения только собычных законов и методов не приводит к цели: система уравнений получается незамкнутой. Остается неучтенным какое-то єнечтоз (что и делает задачу нестандартной), некоторая сизюминказ, о которой нужно как-то догадаться. Безусловно, о том, как догадаться, как ее отыскать, никаких общих и универсальных практических советов, по-видимому, здесь дать нельзя.
Пример 9.3 Две материальнье точки массами $m_{1}$ и $m_{2}$ (причем $m_{1}>m_{2}$ ) связамы невесомой и нерастяэимод китью, как показано на рис. 9.2. Блоки невесомь. Найти силу натяжения нити в процессе движения тел.
Решение и Применим методанализа физической ситуации. После записи условий, чертежа и анализа данных и искомых величин перейдем ко второй части физического анализа. В физическую систему включим тела $m_{1}$ и $m_{2}$ и нить. Тела $m_{1}$ и $m_{2}$ можно принять за материальные точки, а нить по условию невесома, перастяжима и не может быть принята за материальную точку. В результате взаимодействия тел системы как между собой, так и с внешними телами (в частности, с Землей) происходит прямолинейное движение тел $m_{i}$ и $m_{2}$ с ускорениями соответственно $a_{1}$ и $a_{2}$. Необходимо определить один из динамических параметров — силу натяжения нити. Эта задача связана с основной задачей динамики материальной точки. Применим второй закон Ньютона к телам $m_{1}$ и $m_{2}$ :
\[
\begin{array}{l}
m_{1} g-T=m_{1} a_{1}, \\
2 T-m_{2} g=m_{2} a_{2} .
\end{array}
\]

где $T$ — сила натяжения нити.
Получена зємкнутая система из двух уравнений с тремя неизвестными $\left(a_{1}, a_{2}, T\right)$. Конкретные законы динамики исчерпаны. Применим конкретные законы кинематики:
\[
s_{1}=a_{1} t^{2} / 2, \quad s_{3}=a_{2} t^{2} / 2 .
\]

Получена незамкнутая система из четырех уравнений с шестыю неизвестными $\left(a_{1}, a_{2}, T, s_{1}, s_{2}, f\right)$. Исчерпаны и конкретные законы кинематики, а задача еще физически не решена. Осталось учесть какое-то єнечтоз из условий задачи. Мы знаем, что о6 этом нужно как-то догадаться. Проанализируем дополнительно условия задачи. Почему ускорения $a_{1}$ и $a_{2}$ различны? Условия движения этих тел различны. В чем? На них действуют различные силы (это динамика). А еще в чем? В кинематике. Конкретно в чем? Различны $s_{1}$, и $s_{2}$. Почему? Потому что различны $a_{1}$ и $a_{2}$. Круг замкнулся. Логика ни к чему пока не привела. И вдруг как молния догадка: так ведь $s_{1}=2 s_{2}$ ! Почему? Но это же простоl Догадка на самом деле верная, и это соотношение можно обосновать. Далее решение задачи уже деиствительно очевидно.

В заключение этого параграфа остановимся еще на частном случае нестандартных задач, которые мы назовем орисинальньци (или олимпиадными). Оригинальной назовем нестандартную задачу, при решении которой роль єнечтоз, догадки является главной, определяющей по сравнению с обычными знаниями и методами. Значение последних при решении оригинальных задач относительно невелико. Из определений оригинальной и собственно нестандартной задач видно, что грань между ними весьма условна. Иногда в оригинальных задачах неопределенное єнечтоз, кизюминка вырастают до рткрытия спешиальных, нестандартных методов решения задач. Заметим, что оригинальная задача часто допускает и стандартное решение, но оно настолько трудоемко, связано подчас с большими преобразованиями и вы числениями, от выполнения которых целесообразно отка заться и искать другое, оригинальное решение.
Пример 9.4 Из деух портов $A$ и В, растояние мезды которыми равно $l$, одновременно вьсодят два катера одик из которых пльвет со скоростью $\mathbf{v}_{1}$, а другод скоростью $\mathbf{v}_{\mathbf{3}}$ (рис. 9.3). Напраєлекие дөижения переое катера составляет угол $\alpha$, а второео — угол $\beta$ с ликиет AB. Каким будет наименьшее расстоякие мезду ка терами? Применим метод анализа физической ситуации. В дальней шем метод анализа физической ситуащии задачи будем сою ращенно называть методом анализа. В физическую систем, включим оба катера, которые можно принять за материаль
ные точки. Они движутся равномерно и прямолинейно относительно инерщиальной системы отсчета, связанной с Землей. Это движение рассматривается формально. Необходимо определить один из параметров этого явления — минимальное расстояние между телами. Эта задача связана с основной задачей кинематики. Начало координат выберем в точке $A$. Так как законы движения тел известны:
\[
\begin{array}{r}
\mathbf{r}_{1}=v_{1} \cos \alpha \cdot t \cdot \mathbf{i}+ \\
\quad+v_{1} \sin \alpha \cdot t \cdot \mathbf{j}, \\
\mathbf{r}_{2}=\left(l-v_{2} \cos \beta \cdot t\right) \mathbf{i}+ \\
\quad+v_{2} \sin \beta \cdot t \cdot \mathbf{j},
\end{array}
\]

то из них определим расстояние между катерами в любой момент времени:
\[
r=\sqrt{\left[l-\left(v_{2} \cos \beta+v_{1} \cos \alpha\right) t\right]^{2}+\left[\left(v_{2} \sin \beta-v_{1} \sin \alpha\right) t\right]^{2}} .
\]

Остается найти минимум этого выражения. Вот здесь-то нас ожидают нелегкие вычисления, которые, однако, придется проделать до конца. Для упрощения этих вычнслений (нам необходимо найти производную $r^{\prime}$ и, приравняв ее нулю, определить значение $t_{\min }$, после подстановки которого в (9.1) можно получить искомое $r_{\mathrm{min}}$ ) возведем $r$ в квадрат:
\[
r^{2}=\left[l-\left(v_{2} \cos \beta+v_{1} \cos \alpha\right) t\right]^{2}+\left[\left(v_{2} \sin \beta-v_{1} \sin \alpha\right) t\right]^{2} .
\]

Найдем производные от обеих частей последнего выражения:
\[
\begin{array}{l}
2 r r^{\prime}=2\left\{-\left[l-\left(v_{2} \cos \beta+v_{1} \cos \alpha\right) t\right]\left(v_{i} \cos \beta+v_{1} \cos \alpha\right)+\right. \\
\left.+\left(v_{2} \sin \beta-v_{1} \sin \alpha\right)^{2} t\right\} .
\end{array}
\]

Исключим тривиальный случай, когда $r=0$ (9то означает, что катера могут столкнуться). Тогда, приравнивая $r \cdot$ нулю, находим тот момент времени $t_{\text {min }}$, в который расстояние между катерами минимально:
\[
t_{\text {min }}=\frac{l\left(v_{2} \cos \beta+v_{1} \cos \alpha\right)}{\varepsilon_{2}^{2}+\theta_{1}^{2}+2 v_{1} v_{2} \cos (\alpha+\beta)} .
\]

Подставив это выражение $t_{\min }$ в (9.1) после очень долгих вычислений (советуем читателям в этом убедиться самостоятельно) получаем окончательно
\[
r_{\min }=\frac{l\left(v_{2} \sin \beta-v_{i} \sin \alpha\right)}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2 v_{1} v_{2} \cos (\alpha+\beta)}} .
\]

Дадим теперь оригинальное решение. Свяжем инерциальную систему отсчета не с Землей, а с первым катером (1). Почему? Чем эта система лучше системы, связанной

с Землей? Может быть, она лучше, может быть, хуже. Мы заранее этого не знаем. Попробуем все же выбрать именно такую систему отсчета. Теперь второй катер относительно этой системы отсчета движется с относительной скоростью
\[
\mathbf{v}=\mathbf{v}_{\mathbf{2}}-\mathbf{v}_{1}
\]

и траектория его является прямой линией $B C$ (рис. 9.4). Очевидно, что минимальное расстояние между катерами есть длина перпендикулярд $A C$, опущенного из точки $A$ на прямую $B C$ :
\[
|A C|=l \sin \varphi,
\]

где $\varphi$ — угол между направлением $B A$ и вектором v. Осталось найти $\sin \varphi$. Проецируя v (см. (9.2)) на ось $O Y$, получаем
\[
v \sin \varphi=v_{2} \sin \beta-v_{1} \sin \alpha .
\]

По теореме косинусов,
\[
v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2 v_{1} v_{2} \cos (\alpha+\beta)} .
\]

Таким образом,
\[
\sin \varphi=\frac{v_{2} \sin \beta-v_{1} \sin \alpha}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2 v_{1} v_{2} \cos (\alpha+\beta)}} .
\]

Следовательно, окончательно
\[
r_{\min }=|A C|=\frac{l\left(v_{2} \sin \beta-v_{1} \sin \alpha\right)}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2 v_{1} v_{2} \cos (\alpha+\beta)}},
\]

что совпадает с выражением, полученным путем длительны вычислений стандартным методом.