При рассмотрении магнитного поля в магнетиках кроме магнитной индукции В вводят еще две физические величнны! мамаениченность J (магнитный момент единичного объема) и мапрлженность магниткоео полs
\[
\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}}-\mathbf{J} .
\]

Для однородного и изотропного магнетика
\[
B=\mu_{0} \mu \mathrm{H} \text {. }
\]

Откосительная магнитная проницаемость ферромагнетика р яеняется меникейной функцией от $\mathrm{H}$. Поэтому при решении задач, в которых рассматривают ферромагнетики, используют графики зависимости $B$ or $H$. На рис. 24.1 приведены эти зависимости для железа, стали и чугуна. Для нахождения индукции В (основная задача в теории магнетиков) часто используют теорему о ширкуляции вектоpa $\mathbf{H}$
\[
\oint \mathbf{H d l}=\mathbf{\Sigma} I
\]

в сочетании с графиками рис.: 24.1, а также факт непрерывности нормальных составляющих вектора В на границе раздела двух различных магнетиков:
\[
B_{1 \mathrm{n}}=B_{\mathrm{m}} \text {. }
\]

Пример 24.1 Замкнутьй тороид с железньм сердечкиком имеет $N=400$ витков из тонкого провода, намотанкьх в одик слой. Средний диаметр тороида $d=25$ см. Определить напряженность и индукцию магнитного поля вкутри тороида, магнитную проницаемость н железа, а также намагниченность $J$ при значения силь тока в обмотке тороида $I_{1}=0,5$ А и $I_{2}=5 \mathrm{~A}$.
$\mathrm{P}$ е ше и и е. Применяя теорему о циркуляции вектор н (24.3) вдоль окружности с диаметром $d$ (средняя линия тороида; рис. 24.2)
\[
H \cdot r d=I N \text {, }
\]

находим напряженность магнитного поля внутри тороида
\[
H=I N /(r d) \text {. }
\]

Отсюда после расчета получаем
\[
H_{1}=255 \mathrm{~A} / \mathrm{M}, H_{2}=2550 \mathrm{~A} / \mathrm{M} \text {. }
\]
162
Далее, используя график на рис. 24.1 , определяем магнитные индукции:
\[
B_{1}=0,9 \text { Тл, } B_{\mathbf{i}}=1,45 \text { Тл. }
\]

Затем по (24.2) находим магнитные проницаемости ( $\mu=$ $\left.=B^{\prime}\left(\mu_{0} H\right)\right)$ :
\[
\mu_{1} \approx 2,8 \cdot 10^{\prime}, \mu_{3} \approx 4,5 \cdot 10^{\prime} \text {, }
\]
a по (24.1) – намагниченности $\left(J=B / \mu_{0}-H\right)$ :
\[
J_{1} \approx 7,1 \cdot 10^{\circ} \mathrm{A} / \mathrm{M}, J_{2} \approx 1,1 \cdot 10^{\circ} \mathrm{A} / \mathrm{m} \text {. }
\]

Анализ полученных данных позволяет установить, что силе тока I пропорциональна только напряженность магнитного поля внутри ферромагнетика (железа), тогда как все остальные величины (индукщия $B$, магнитная проницаемость $\mu$, намагииченость $J$ ) являются нелинейными функциями $H$, а следовательно, и нелинейными функциями силы тока $I$.
Пример 24.2 Обмотка тороида, имеющего стальноа сердечик с вакуумным зазором длиной $l_{0}=3$ мм, содержит $n=1000$ витков на метр длике. Средкий диаметр тороида $d=30$ см. При какод силе тока I в обмотке тороида индукция $B_{0}$ в зазоре равна 1 Тл (рис. 24.3)? $\mathrm{P}$ еше и и е. Применяя теорему о циркуляции вектора $H$ (24.3), находим
\[
H \pi d+H_{0} l_{0}=I \pi d n \text {, }
\]

где $\boldsymbol{H}$ – напряженность магнитного поля в сердечнике, $H_{0}$ – напряженность магнитного поля в зазоре. Так как относительная магнитная проницаемость вакуума $\boldsymbol{\mu}=1$, то по (24.2) определяем напряженность $H_{0}$ магнитного поля в зазоре:
\[
H_{0}=\frac{B_{0}}{\mu_{0}}, H_{0}=\frac{10^{9}}{4 \pi} \mathrm{A} / \mathrm{M} .
\]

Вследствие того что вакуумный зазор узкия, будем считать радиальную составляющую вектора магнитной индукции и в зазоре, и в сердечнике равной нулю. Тогда (учитывая (24.4)) индукция $B$ в сердечнике по модулю равна $B_{0}$. По графику рис. 24.1 определяем напряженность магнитного поля в сердечнике $H=7 \cdot 10^{2} \mathrm{~A} / \mathrm{m}$. Таким образом, из (24.5) находим
\[
I=\frac{H}{n}+\frac{B_{0} l_{0}}{\mu_{0} \pi d n}, I \approx 3,2 A .
\]

Пример 24.3 Изменим условия примера 24.2. Пусть сила тока в обмотке тороида $I=3,2$ А. Определить индукцию магнитного поля $B$, в зазоре. Остальнье условия прежние.
Р ешение и е. На первый взгляд мы сформулировали задачу, обратную задаче 24.2 , и ее решение получается из (24.5) и (24.6). Эта система уравнений содержит три неизвестных ( $H, H_{0}$ и $B_{0}$ ), однако хотя они и связаны графиком (рис. 24.1), но непосредственно этим графиком мы воспользоваться не можем. Тем не менее задача решается графически. Так как $B=B_{6}$, то из (24.7) определим связь $B, H$ и $I$ :
\[
B=\frac{I \pi d n \mu_{0}}{l_{0}}-\frac{\mu_{0} \pi d}{l_{0}} H .
\]

При данном $I$ (24.8) выражало бы линейную зависимость $B$ от $H$ для различных сердечников. Для данного сердечника (сталь) значения $B$ и $H$ из (24.8) должны удовлетворять графику для стали на рис. 24.1. Следовательно, искомые значения $B$ и $H$ есть параметры точки $M=\{B, H\}$ пересечения кривой рис. 24.1 и прямой, соответствующей (24.8) (рис. 24.4). На рис. 24.4 прямая (24.8) пересекает оси коор164
динат в точках $A=\left\{0, B_{1}\right\}$ и $C=\left\{H_{1}, 0\right\}$, где
\[
\begin{aligned}
B_{1}=\frac{l \pi d n \mu_{0}}{l_{0}}, \text { т. е. } B_{1} \approx 1,26 \mathrm{~T} \pi \\
H_{1}=3,2 \cdot 10^{3} \mathrm{~A} / \mathrm{M} .
\end{aligned}
\]

Легко видеть, что координаты точки $M$ составляют $B=B_{0}=$ $=1 \mathrm{Tл}$, а $H=700 \mathrm{~A} / \mathrm{M}$, что соответствует данным примера 24.2.