12.2. Квадратичный детектор

Двухполупериодным квадратичным детектором мы назовем совокупность, состоящую из квадрирующего устройства с характеристикой

где а — масштабная константа, и следующего за ним низкочастотного или усредняющего фильтра.

Фиг. 12.1. Квадратичный детектор. I — квадрирующее устройство; II — фильтр низких частот.

Фиг. 12.2. Двухполупериодная квадратичная характеристика.

Такой детектор схематически изображен на фиг. 12.1; двухполупериодная квадратичная характеристика показана на фиг. 12.2. С аналитической точки зрения квадратичный детектор является простейшим из нелинейных устройств, которые мы будем изучать. Наш интерес к этому детектору, однако, объясняется не только простотой его анализа, но также и его практической важностью. Статистические свойства отклика детектора проще всего определить, найдя сначала статистические свойства отклика на выходе квадрирующего устройства и затем на выходе фильтра низких частот. В настоящем параграфе мы рассмотрим сначала случай произвольного воздействия на входе, а затем случай воздействия с гауссовской статистикой; работа детектора при подаче на вход его суммы синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского шума будет рассмотрена в следующем параграфе.

Плотность распределения вероятностей отклика двухполупериодного квадрирующего устройства была выведена в § 3.6 и, согласно равенствам (3.45) и (3.46), имеет вид

Если плотность распределения вероятностей воздействия — четная функция, то последнее выражение принимает вид

Вопрос о нахождении плотности распределения вероятностей отклика фильтра низких частот был рассмотрен в § 9.5. Однако при произвольной характеристике фильтра выражение для плотности распределения вероятностей в общем виде оказывается столь громоздким, что вычисление средних значений наталкивается на большие трудности. Вычисление корреляционной функции, требующее привлечения двумерных распределений, еще более трудно. Поэтому полезно ограничиться частным случаем узкополосного гауссовского шума на входе и идеализированного низкочастотного фильтра; в этом случае вычисления упрощаются настолько, что удается полечить более отчетливые результаты. Такой специальный случай рассматривается в следующем параграфе.

Момент порядка отклика квадрирующего устройства равен

Корреляционная функция отклика квадрирующего устройства имеет вид

если воздействие стационарно, то она становится функцией от Эти простые результаты — почти все, что можно получить без более точного задания статистических свойств воздействия.

Гауссовское воздействие.

Предположим теперь, что подаваемое на детектор воздействие является выборочной функцией действительного гауссовского вероятностного процесса с равным нулю средним значением. В этом случае

Тогда, согласно равенству (12.10), плотность распределения вероятностей отклика квадрирующего устройства равна

т. е. является плотностью распределения

Если воздействие на детектор является узкополосным гауссовским процессом, то, согласно (8.73), мы можем написать

где средняя частота спектральной плотности воздействия, — его огибающая и — фаза. Тогда отклик квадрирующего устройства имеет вид

Первое слагаемое этого выражения имеет спектральную плотность с равной нулю средней частотой, а второе — спектральную плотность со средней частотой Если ширина спектра воздействия мала по сравнению с его средней частотой, то эти две спектральные плотности не перекрываются. Пропуская через идеальный фильтр низких частот (т. е. физически не осуществимый фильтр, пропускающий без искажений низкочастотную часть сигнала и полностью подавляющий его высокочастотную часть), получаем на выходе фильтра

Будучи огибающей узкополосного гауссовского вероятностного процесса, согласно (8.85), имеет распределение Рэлея, так что

Следовательно, плотность распределения вероятностей на выходе фильтра имеет вид

т. е. является плотностью экспоненциального распределения. На фиг. 12.3 показаны плотности распределений нормированных воздействия на детектор отклика квадрирующего устройства и отклика фильтра

Моменты порядка для отклика квадрирующего устройства можно найти, подставляя в равенство (12.11) полученные ранее выражения [см. равенство (8.11)] для четных моментов гауссовской

случайной величины. При этом получаем

В частности,

и, следовательно,

Фиг. 12.3 Плотность распределения вероятностей для двухполупериодного квадратичного детектора.

Если воздействие на детектор является узкополосным гауссовским вероятностным процессом, а на выходе установлен идеальный фильтр низких частот, то, согласно (12.19), момент порядка на выходе фильтра равен

и, следовательно,

и

Мы видим из равенств (12.21) и (12.23), что средние значения откликов квадрирующего устройства и фильтра низких частот равны умноженной на а дисперсии воздействия, а дисперсия отклика идеального фильтра низких частот равна половине дисперсии отклика квадрирующего устройства.

Корреляционная функция на выходе двухполупериодного квадрирующего устройства при подаче на вход его гауссовского воздействия, согласно (12.12) и (8.121), равна

Если при всех t, т. е. если процесс на входе стационарен, то последнее выражение приводится к виду

Спектральная плотность на выходе квадрирующего устройства задается преобразованием Фурье от и так как, согласно равенству (П. 1.16), преобразование Фурье от постоянной является импульсной функцией, то спектральная плотность имеет вид

Далее,

и, следовательно,

Итак, спектральная плотность отклика складывается из двух частей: импульсной части

соответствующей среднему значению отклика, и части

соответствующей случайным изменениям отклика.

Чтобы лучше почувствовать полученные результаты, рассмотрим пример воздействия с какой-нибудь простой по форме спектральной плотностью.

Фиг. 12.4. Спектральные плотности для двухполупериодного квадратичного детектора при подаче на вход его узкополосного гауссовского шума: а - на входе; б — на выходе квадрирующего устройства; в — на выходе фильтра низких частот.

Пусть, например, спектральная плотность воздействия постоянна и равна А в узкой полосе частот ширины В со средней частотой причем :

График такой спектральной плотности изображен на фиг. 12.4, о, В этом случае

Импульсная часть спектральной плотности на выходе квадрирующего устройства равна, следовательно,

она изображена на фиг. 12.4, б. Согласно (12.21), математическое ожидание и дисперсия отклика квадрирующего устройства равны

Математическое ожидание и дисперсия отклика идеального фильтра низких частот, согласно (12.23), равны

Спектральная плотность флуктуирующей части отклика на выходе квадрирующего устройства можно найти, как показывает выражение (12.266), вычислив свертку спектральной плотности воздействия с нею самой. Таким образом, мы имеем

График этой функции также изображен на фиг. 12.4, б. Итак, спектральная плотность отклика квадрирующего устройства отлична от нуля лишь в узких полосах частот, средние частоты которых равны нулю и удвоенным средним частотам спектральной плотности воздействия. Идеальный фильтр низких частот пропускает ту часть процесса, спектральная плотность которой расположена около нулевой частоты, и не пропускает ту его часть, которая характеризуется спектральной плотностью, расположенной около . Следовательно,

где

и

Графики этих спектральных плотностей изображены на фиг. 12.4, в. Из полученных результатов мы видим, что полосы частот откликов квадрирующего устройства и фильтра низких частот совпадают с удвоенными полосами частот воздействия на входе детектора. Нетрудно видеть, что полученные результаты полностью согласуются с результатами, относящимися к элементарному случаю синусоидальных воздействий.