11.7. Максимизация отношения сигнал/шум; согласованный фильтр

В предыдущих параграфах настоящей главы мы имели дело с линейными фильтрами, предназначенными для восстановления формы сигнала, замаскированного шумом. При некоторых обстоятельствах, например при обычном детектировании радиолокационных сигналов, форма функции времени, описывающей исходный сигнал, особого значения не имеет; важно лишь наличие или отсутствие сигнала. В такой ситуации заманчивым является построение фильтра, обеспечивающего наибольшее отношение сигнал/шум, хотя бы при этом и происходило искажение формы сигнала на выходе по сравнению с сигналом на входе. Следует заметить, что в понятиях сигнала и шума на выходе линейного фильтра нет никакой двусмысленности. Если означает линейную операцию, выполняемую фильтром, и воздействие на него есть

то отклик фильтра имеет вид

и вполне естественно определить как сигнал на выходе как шум на выходе

Особый интерес представляет случай, когда сигнал является известной функцией времени; здесь мы будем рассматривать только этот случай. Требуется найти линейный фильтр, обрабатывающий воздействие

где — шум, являющийся выборочной функцией стационарного в широком смысле вероятностного процесса, таким образом, чтобы

отношение сигнал/шум на выходе

в некоторый заданный момент времени было максимальным. Мы будем считать, что фильтр обрабатывает лишь воздействие, поданное на него в течение конечного интервала времени Т. Тогда

Пусть максимальное отношение сигнал/шум на выходе равно Тогда для любого линейного фильтра мы имеем

где знак равенства достигается только для выхода оптимального фильтра. При умножении импульсного отклика фильтра на постоянную отношение сигнал/шум не меняется; поэтому мы можем считать коэффициент усиления фильтра нормированным, т. е. положить Выведем теперь условие, которому должна удовлетворять весовая функция оптимального фильтра. Пусть — некоторая действительная функция, обладающая тем свойством, что

Тогда для любого числа

Для удобства введем для выражения применительно к фильтру, имеющему весовую функцию обозначение Тогда из соотношения (11.80) и сделанного после него замечания, а также из нормированности коэффициента усиления фильтра следует, что

и из соотношений (11.80) и (11.82) вытекает, что

Вычитая (11.83) из (11.84), получаем, что для любого и любой функции удовлетворяющей условию (11.81),

Разлагая это выражение и сокращая соответствующие слагаемые, находим

Это неравенство выполняется при всех значениях , только если второй интеграл обращается в нуль:

В свою очередь, равенство (11.86) выполняется для всех удовлетворяющих условию (11.81), только если

где а — некоторая постоянная. То, что это так, можно показать, предположив, что

где не кратно и, далее, положив

Легко проверить, что определенная таким образом функция удовлетворяет соотношению (11.81), а условие (11.86) выполнено быть не может.

Итак, равенство (11.87) является условием, которому должен удовлетворять фильтр с импульсным откликом обеспечивающий на выходе максимум отношения сигнал/шум. Величина а на отношение сигнал/шум не влияет и связана только с нормировкой. Подставляя значение из (11.87) обратно в (11.78а),

легко убедиться, что

Читатель может проверить непосредственно, что равенство (11.87) является не только необходимым, но и достаточным условием для того, чтобы было оптимальным. Эта проверка проводится аналогично тому, как это было сделано в начале § 11.2.

Интересным предельным случаем равенства (11.87) является тот, когда шум белый, так что где N — мощность шума. Тогда, полагая приводим равенство (11.87) к виду

откуда

Таким образом, в этом частном случае оптимальная весовая функция имеет форму сигнала, распространяющегося в обратную сторону, начиная с фиксированного момента времени Фильтр, обладающий такой характеристикой, называется согласованным фильтром.

Пример 11.7.1. Пусть сигнал представляет собой последовательность прямоугольных импульсов, изображенную на фиг 11.3, а шум имеет спектральную плотность

Тогда

и интегральное уравнение для задающей фильтр, обеспечивающий максимальное отношение сигнал/шум, при принимает вид Т

Решение этого уравнения (без импульсных функций при имеет вид

если выполняются условия

Если начало отсчета времени выбрано так, как показано на фиг то эти условия выполняются Тогда весовая функция оптимального фильтра имеет вид

Пример 11 7.2. Пусть шум обладает той же спектральной плотностью, что и в предыдущем параграфе, а сигнал имеет вид

Пусть, далее,

Фиг. 11.3 Последовательность прямоугольных импульсов.

Тогда при условия (11.90) выполняются и решение опять-таки определяется равенством (11.89), принимающим в этом случае вид