Тем самым 
можно рассматривать как функцию от у с областью определения [с, d] и областью изменения 
Функцию 
назовем обратной по отношению к функции y = f(x) (можно эти две функции назвать взаимно обратными).
При схематическом изображении взаимно обратные функции 
представятся стрелками, как показано на рис. 20. При этом, одчако, существенно, чтобы данному у могло отвечать лишь одно значение 
такое, что y = f (х), тогда мы и пишем: 
Записи 
имеют здесь равнозначный смысл: 
в том и только в том случае, если 
Рис. 19.
Рис. 20.
Поэтому пары чисел 
определяемые любым из двух соотношений 
будут одними и теми же. Это означает, что графики функций 
совпадают. Первая из этих функций имеет своим аргументом переменную 
изменяющуюся на сегменте 
, вторая — переменную у с областью изменения аргумента [с, d]. Следует заметить, что во втором случае мы значения аргумента изображаем на оси ординат, а значения функции — на оси абсцисс. Такое изображение является непривычным и потому менее удобным. Представим себе, что произойдет, если теперь и для обратной функции 
мы станем значения аргумента обозначать через 
и изображать на оси Ох, а значения функции будем обозначать через у и изображать на оси ординат (напомним, что мы условились обозначать для разных функций разными буквами законы соответствия, символизируемые здесь буквами 
зависимые же и независимые переменные для разных функций допустимо обозначать одинаково). При таком изменении обозначений запись обратной по отношению к 
функции будет уже иметь вид 
Теперь график функции 
будет получаться из графика 
с помощью преобразования зеркальной симметрии относительно биссектрисы первого — третьего координатных углов (рис. 21). В самом деле, пусть точка 
лежит на графике данной функции; тогда точка 
с переставленными координатами должна лежать на графике обратной функции.
Но такие две точки расположены симметрично относительно указанной биссектрисы 
, а отсюда и следует наше утверждение: графики двух взаимно обратных функций расположены симметрично относительно биссектрисы I—III координатных углов.
Пример. Найти функцию, обратную по отношению к функции 
.
Рис. 21.
Рис. 22.
Решение. Из равенства, определяющего данную функцию, выразим х через у:
В последнем равенстве поменяем местами х и у и получим выражение для функции
обратной по отношению к данной функции.
Внесем некоторые уточнения в понятие обратной функции. Мы начали рассматривать вопрос об обратной функции на примере функции, заданной графиком на рис. 19. Эта функция монотонна всюду в области определения. Именно этим обусловлен тот факт, что каждой точке 
из сегмента 
функция 
ставит в соответствие только одну точку 
из сегмента 
Но для функции, не являющейся монотонной, это может не выполняться. В самом деле, на рис. 22 на сегменте 
показан график немонотонной функции 
. По этой причине имеются значения у, которым соответствует не единственная точка сегмента 
так, точке 
отвечают три точки 
такие, что 
. В силу этого функция 
рассматриваемая на сегменте 
не имеет обратной функции, если, конечно, не обобщать понятие функции, вводя «многозначные функции». Если наряду с функцией 
определенной на сегменте 
рассматривать функцию, определенную только на интервале монотонности функции f(х) (например, [а, с], [с, d] или 
и совпадающую с 
на этом интервале, то у этой новой функции уже будет существовать обратная функция.
С этим вопросом мы встретимся в п. 41 при изучении функции 
и в пп. 130-133 при изучении обратных тригонометрических функций.
областью определения которой служит, например, сегмент [а, b] (рис. 19), а областью изменения — сегмент 
Функция y = f(x) ставит каждой точке сегмента 
в соответствие некоторую точку сегмента 
Для изображенной на рис. 19 функции (благодаря тому, что она монотонна) можно установить и обратное соответствие: каждому значению 
из сегмента 
соответствует единственное значение 
из сегмента 
такое, что 