1.7.1. Авторегрессионные модели векторных случайных полей

Рассмотрим линейную авторегрессионную модель векторного СП вида

,                                         (1.60)

где  и  – квадратные матрицы;  – порождающее стандартное СП, состоящее из независимых векторов с независимыми компонентами; D – множество индексов. Если сетка W ограничена (хотя бы частично), то нужно еще задать начальные условия, позволяющие воспользоваться уравнением (1.60). При подходящих начальных условиях (или на неограниченной сетке) порождаемое поле однородно, т. е. его КФ  зависит только от взаимного расположения узлов  и : . Поэтому будем использовать обозначение

.                                           (1.61)

Отметим, что

.                                          (1.62)

Можно показать, что КФ порожденного поля может быть найдена из выражения, аналогичного случаю скалярных СП:

,          (1.63)

где i – мнимая единица; ; ; ;  – единичная полиокружность (прямое произведение n единичных окружностей); E – единичная матрица. Таким образом, правая часть (1.63) есть n-кратный интеграл по n комплексным переменным z1,…,zn, причем интегрирование каждого элемента подынтегральной матрицы (являющейся функцией n комплексных переменных) проводится независимо от остальных элементов. Так что в (1.63) после вычисления подынтегральной матрицы нужно вычислить много интегралов, что представляет собой громоздкую операцию.

Авторегрессионные модели с матрицами вида H(a,b)

Анализ модели (1.60) значительно упрощается, если в ней используются матрицы вида H(a,b), рассмотренные в разделе «Функции от матриц» Приложения. Рассмотрим векторную авторегрессионную модель (1.60) частного вида

,                        (1.64)

т. е.  Aj=H(aj,bj) и B=H(a,b). Вид матричных коэффициентов в (1.64) означает, что k-я компонента  вектора  формируется следующим образом. Соответствующая k-я компонента  имеет вес , а все остальные компоненты вектора  имеют веса . С аналогичными весами a + b и b входят компоненты возмущающего вектора . Такая модель соответствует реалистичному предположению о том, что на  k-ю компоненту вектора  как-то влияет k-я компонента вектора , а все остальные компоненты вектора  влияют на  одинаково. Аналогична и роль возмущений.

Вычислим подынтегральное выражение в (1.63) для нахождения КФ порождаемого поля, используя свойства матриц H(a,b) и их компонент H1 и H2 (формулы (32)-(41) Приложения):

;

где . Подставляя эти выражения в (1.63) и учитывая, что , , , получаем:

      (1.65)

где интегралы берутся только от скалярных (комплексных) функций. Эти интегралы после их вычисления являются скалярными величинами, поэтому (1.65) можно представить в виде

 ,                                         (1.66)

где  

,                       .                  (1.67)

Из (1.66) следует, что КФ  есть матрица вида , в которой  и  удовлетворяют системе  ,  откуда , , т. е.  или непосредственно из (1.66)

  .                 (1.68)

То, что  является матрицей вида H(a,b), следует и из вида модели (1.64).

Рассмотрим теперь представление  и  выражениями (1.67). Каждое из этих выражений является скалярным вариантом выражения (1.63). Функция  получается, если в (1.63) взять E=1, , а  получается при E=1, . К таким выражениям мы пришли бы, если бы в (1.60) взяли соответствующие скалярные значения  и B, т.е. если бы рассмотрели не векторные, а скалярные авторегрессионные модели СП

,                        (1.69)

,                                         (1.70)

порождающие два скалярных СП  и . Эти СП имеют КФ  и  соответственно.

Пример. Пусть m=n=2, т.е. рассмотрим плоское СП с двумерными векторами . Это может быть, например, поле смещений между двумя плоскими И. Пусть порождающая модель имеет вид

,                        (1.71)

где . В этом случае модели скалярных СП Y1 и Y2 в (1.69) и (1.70) принимают вид

                                       (1.72)

                                         .                                       (1.73)

Авторегрессионные модели типа Хабиби

Векторным аналогом скалярной КФ   модели (1.11) является КФ

 ,                         (1.74)

где A1 и A2 – перестановочные между собой матрицы, все собственные числа которых меньше единицы; V=Vx(0,0);  i+ = max(0,i),  i- = max(0,-i). Матрицы A1 и A2 являются своего рода матричными коэффициентами корреляции на единичном расстоянии по соответствующим осям координат.

Векторное СП с КФ (1.74) может быть задано на квадранте с помощью авторегрессионных уравнений типа модели Хабиби:

            (1.75)

где матрицы W, U1, U2 и U должны удовлетворять условиям , , , ,  для получения КФ (1.74). Модель (1.75) легко обобщается на многомерный случай с КФ, аналогичной (1.74).