4.2. Тензорный фильтр Калмана
Произведем
обобщение фильтра, рассмотренного в предыдущем пункте, на фильтрацию И,
заданных в виде последовательности кадров
с помощью линейной или нелинейной тензорной модели (см. п.1.5), т. е. в виде стохастического
разностного уравнения
, t= 1,2,…,
(4.6)
где
– сетка, на
которой определены кадры; 
– t–й кадр; 
– порождающее стандартное гауссовское поле; 
– 
-матричная функция; 
– тензоры ранга 2n
с двумя групповыми индексами. Наблюдения имеют вид
,
(4.7)
где 
- тензоры ранга 2n с двумя
групповыми индексами; 
– белое СП помех
наблюдений.
На основе наблюдений 
требуется
найти наилучшую оценку очередного кадра 
информационного СП. Для поиска
такой оценки применен критерий максимума среднего выигрыша и метод
инвариантного погружения [3]. Получается следующий рекуррентный фильтр:
(4.8)
где
; 
; 
. (4.9)
При
этом 
– оптимальный
прогноз СП; 
– ковариационная матрица ошибок прогноза; 
–
ковариационная матрица ошибок фильтрации.
Отметим,
что уравнения (4.8) по своей форме полностью совпадают с векторным вариантом
(4.4). Отличие состоит в разной размерности массивов и тензоров. Уравнения
(4.9) отличаются от (4.5) тем, что в (4.9) используется линеаризация модели
(4.6) – производная функции 
по 
. В линейном случае, когда 
,
эта производная равна тензору 
и уравнения (4.9) принимают вид (4.5).
Алгоритм
(4.8)-(4.9) позволяет находить экстраполированные оценки СП 
и
ковариационные матрицы ошибок экстраполяции 
рекуррентно
по мере поступления наблюдений очередных кадров СП. Для случая гауссовских СП,
определяемых линейными стохастическими уравнениями при
, 
,
процедура
фильтрации-экстраполяции дает строго оптимальное решение задачи.
Пример
1. Рассмотрим m-мерное поле
X с множительной ковариацией 
,
где 
– коэффициент корреляции по времени; 
– коэффициент
по k-й пространственной оси; 
–
дисперсия поля. Тогда при s =
t получаем внутрикадровые ковариации 
, а
при s = t–1 – межкадровые ковариации 
,
где 
; 
– корреляционный тензор k-й строки.
В
этом случае 
и уравнения (4.8) принимают вид
где 
– отношение сигнал/шум, а
тензоры 
и 
нормированы дисперсией шума и представляют относительные ковариации
ошибок экстраполированных и текущих оценок, выраженных в дисперсиях шума.
Рассмотрим
для иллюстрации поле с 
-сеткой 
, т. е. случай, когда кадры 
состоят
из шести точек:
.
При
этом матрицы корреляций первой строки и второй строки имеют вид
.
Следовательно,
.
Заметим,
что матрицы ковариаций ошибок и имеют такую же форму.
Элементами
тензоров являются ковариации ошибок фильтрации 
,
зависящие в данном случае только от четырех параметров: коэффициентов
корреляции 
и отношения
сигнал/шум 
. При 
и 
величины 
довольно быстро сходятся к предельным 
.
Поэтому часто можно сразу же применять предельные значения, что ухудшит
результаты фильтрации только на первых шагах, но значительно сократит объем
необходимых вычислений (или объем запоминающего устройства, если коэффициенты 
вычисляются
предварительно).
Отметим также, что дисперсии ошибок 
оценивания
центрального момента сетки размера 
быстро сходятся к предельному значению с ростом m.
Поэтому можно при незначительной потере в точности использовать сетки
небольшого размера. При этом изображение разбивается на небольшие перекрывающиеся
участки, и оценка формируется для средней части каждого участка независимо от
оценок в остальных участках.
Весьма
важно, что уравнения тензорной фильтрации (4.8) могут быть легко обобщены на
случай почти произвольного взаимодействия
,
информационного
СП и помех. Кроме того, на основе модифицированного метода инвариантного
погружения и рассмотренных моделей можно синтезировать рекуррентные процедуры
для проверки многоальтернативных гипотез вида
,
где 
– различные, вообще говоря, нелинейные тензорные функции, описывающие
взаимодействие различных негауссовских СП 
и
помех. Это позволяет, например, одновременно с покадровой фильтрацией
осуществлять обнаружение и классификацию объектов, возникающих на последовательности
наблюдаемых И [3].
Отметим
также, что тензорный фильтр применим и для обработки отдельных И. Например,
плоское И можно представить как последовательность его строк (или столбцов),
описываемую тензорной (в данном случае – векторной) моделью. После этого остается применить
алгоритм (4.8).
