2.3. Байесовы решающие правила

Если известны распределения и , т. е. если имеется статистическое описание параметров  и наблюдений , то, в принципе, задача нахождения оптимального решающего правила легко решается (остаются только некоторые вычислительные проблемы). Само оптимальное решающее правило в этих условиях называется байесовым. Выведем это правило в общем случае.

Оптимальное решающее правило  должно минимизировать средний риск (2.8). В силу неотрицательности ПРВ  минимальное значение интеграла в (2.8) достигается, если при любом минимален интеграл

.

Этот интеграл в силу неотрицательности  минимален, когда распределение  целиком сосредоточено в точке  минимума апостериорного риска , т. е. при

.

Следовательно, байесово правило является нерандомизированным и при каждом наблюдении  оптимальным является решение, минимизирующее апостериорный риск. Этого и следовало ожидать, так как апостериорный риск – это риск при известном наблюдении.

Таким образом, задача построения оптимального решающего правила сводится к относительно простой задаче минимизации функции  на множестве альтернатив  при заданном наблюдении .

Байесово решение  определяется из соотношения

,                         (2.13)

что (с учетом независимости знаменателя в (2.6) и (2.7) от ) эквивалентно соотношению

.      (2.14) Получаемый при этом минимальный средний риск

                    (2.15)

называется байесовым, его обеспечивает само байесово решение.