2.1. Решения

Решение – это результат целенаправленной обработки имеющейся информации. Приведем несколько примеров. Решение может заключаться в выборе одного из действий в бизнесе, политике, лечении больного и т. д. Оценка параметра ­– тоже решение, состоящее в выборе какого-то числа из массы возможных значений. В задаче обнаружения выбирается одно из двух решений – есть объект или его нет. В задаче распознавания принимаются решения о принадлежности исследуемого объекта к одному из возможных классов.

Решение, таким образом, является очень общим понятием. Любая задача подразумевает принятие некоторого решения.

Отметим некоторые особенности, которые следует учитывать, принимая решения.

1. Решение направлено на достижение некоторой цели и приводит к некоторым последствиям, по которым должно оцениваться качество решения.

2. Решение выбирается из множества альтернатив (возможных решений), конечного или бесконечного. При построении математической теории множество альтернатив предполагается определенным. Это предположение не ограничивает общности теории, так как новые, нестандартные решения можно включить в множество уже имеющихся альтернатив.

3. Решение принимается по доступной к моменту его принятия информации, состоящей из двух принципиально различных частей. Первая ее часть обобщает весь прошлый опыт, т. е. априорна. Вторая часть – совокупность данных наблюдения – получается непосредственно в процессе выработки решений. Эта апостериорная совокупность данных является объектом обработки в процессе принятия решения. Например, это может быть наблюдаемым И, набором анализов, состоянием биржи и т. д.

В практических ситуациях соотношение объемов этих двух частей информации может меняться в широких пределах. В частности, одна из них может полностью отсутствовать.

4. Очень часто доступная информация и последствия от принятия решения имеют статистическую природу из-за ненаблюдаемости скрытых случайных факторов. Поэтому и процедура принятия решений должна иметь статистический характер. Именно такой случай рассматривается в теории статистических решений.

5. Решение часто заключается в принятии совокупности частичных решений, т. е. решение может быть векторным или даже многомерным. Например, в различных задачах обработки И результатом является совокупность частных решений, касающихся отдельных элементов наблюдаемого И.

6. Выбор решения из множества альтернатив не всегда однозначно определяется имеющейся информацией. Он может (а иногда и должен) допускать элементы случайности. Это так называемые рандомизированные решения. Такие решения используются, например, в теории игр. И в реальной жизни мы иногда принимаем  решение, бросая монетку.

Задачей является выбор такого решения, которое приводило бы к наиболее благоприятным последствиям. Соответствующие правила принятия решений называются оптимальными. Для  их нахождения разработан и постоянно совершенствуется мощный математический аппарат (теория игр; линейное, нелинейное и динамическое программирование; теория статистических решений и т. д.), позволяющий рассматривать очень многообразные задачи с общих математических позиций.

Таким образом, решения выбираются из множества альтернатив . Решение выбирается с использованием данных (наблюдений, измерений, выборки) , всевозможные значения которых составляют множество . При этом имеются некоторые скрытые, ненаблюдаемые параметры , описывающие реальную ситуацию и принимающие значения из множества  всех возможных ситуаций.

Множество альтернатив  может быть самым разнообразным (совокупность оценок параметров, управлений, и прочих акций). Математически же можно выделить три случая.

а) , т. е. пространство решений дискретно (конечно или счетно). Например,  в задачах обнаружения и распознавания объектов.

б) Пространство решений непрерывно (ограничено или бесконечно). Например, в задаче оценки параметров.

в) Пространство дискретно–непрерывно: , где все или некоторые из  непрерывны. Например, задача обнаружения объектов с оценкой их параметров (координат, скорости и т. д.).

Правила принятия решений могут быть нерандомизированными  и рандомизированными.

Нерандомизированные правила определяют для каждого наблюдения  вполне определенное решение . Такие правила имеют вид , т. е. являются функциями, преобразованиями .Совокупность различных преобразований  (любых или из некоторого ограниченного класса) образует множество  всех нерандомизированных решающих правил, из которого и нужно выбирать оптимальное правило.

Отметим, что  и  – разные множества. Например, в задаче обнаружения объекта , где  (нет объекта)  и   (есть объект), а множество  – это набор всевозможных правил , которые каждому возможному наблюдению ставят в соответствие определенное решение  или . Геометрически это можно представить в виде рис.2.1, на котором пространство  условно представлено прямоугольником. Пусть  – некоторое решающее правило, которое на одной части  наблюдений принимает значение , а на остальной части  – значение . Таким образом, геометрически есть набор всевозможных разбиений  на два подпространства  и .

Рис.2.1.

Рандомизированные правила определяются заданием на  условной вероятностной меры , т. е. при имеющемся наблюдении  решение  выбирается случайным образом с распределением вероятностей . Нерандомизированное правило  есть частный, вырожденный случай рандомизированного, когда мера  целиком сосредоточена в точке .