Главная > Основы теории обработки изображений
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ПРИЛОЖЕНИЕ

При изучении многомерных СП, т. е. случайных функций многих переменных, приходится оперировать с многомерными массивами данных. Удобным математическим аппаратом для такого анализа являются многомерные матрицы и тензоры [16, 21], элементы теории которых изложены в первой части этого приложения в удобной для применения форме.

При решении различных задач обработки изображений и в других приложениях нередко требуется возводить в большие степени и обращать различные матрицы. Во второй части приложения приведены сведения из изящной теории матричных функций [7], применение которых позволяет выполнить эти операции с небольшими вычислительными затратами.

 

1. МНОГОМЕРНЫЕ МАТРИЦЫ И ТЕНЗОРЫ

 

Рассмотрим способы задания линейных преобразований скаляров, векторов и многомерных массивов. Напомним, что преобразование y=y(x) линейного пространства элементов x в линейное пространство элементов y называется линейным, если y(cx) = cy(x) и  y(x+x1) = y(x) + y(x1) для любого скаляра  c  и любых  x  и  x1.

Любое линейное преобразование скалярных величин x в скалярные величины y может быть представлено в форме y = a1x, где a1 – скаляр. Это соотношение запишем в виде  y1 = a1x1.

Для задания преобразования векторов в векторы необходимо задать зависимость каждой из компонент вектора  от компонент вектора . В случае линейности преобразования эта зависимость имеет вид

                        (П.1)

Здесь aij – постоянные коэффициенты, которые представим в виде матрицы A. В матричных обозначениях (П.1) может быть записано как

.                                                 (П.2)

Рассмотрим теперь преобразование -матриц X = {xij} в  -матрицы  Y = {yij}.  Для линейности преобразования нужно, чтобы компоненты матрицы  Y  линейно зависели от компонент X:

,

где  aijkl  – постоянные коэффициенты.

Обобщая эти частные случаи, можно сделать вывод, что любое линейное преобразование m-мерных массивов  в n–мерные массивы  может быть задано равенством

,                       (П.3)

где – постоянные для данного преобразования коэффициенты. Обозначая совокупность этих коэффициентов через A, можно, по аналогии с (П.2), представить (П.3) в краткой форме Y=AX при очевидных соглашениях о смысле этой записи. Итак, для задания линейного преобразования массива размерности m в массив размерности n необходимо задать массив коэффициентов размерности m+n.

Матрицей размерности n называется совокупность действительных или комплексных чисел . При этом n называется размерностью матрицы  A,  а   – ее размерами. При n=1 и M1=1 получаем скаляр; при n=1 и M1=m – вектор; при n=2 – обычную (двумерную) -матрицу , которую представляют в виде таблицы чисел (рис. П.1).

                    

Рис. П.1.

  Трехмерную матрицу можно представить как трехмерную таблицу чисел, а графически изобразить "послойно", обозначая направления изменения соответствующих индексов. Например, на рис. П.2 изображена трехмерная матрица размеров . В трехмерном пространстве две таблицы, разделенные на рисунке пунктиром, находились бы одна за другой.

Рис. П.2.

 

На рис. П.3 изображена четырехмерная матрица размеров . Подобным образом можно изобразить графически матрицу любой размерности.

Если в  n-мерной матрице  A фиксировать какие-нибудь m ее индексов, а остальные оставить изменяющимися, то получится (n-m)-мерная матрица, называемая сечением матрицы A. Например, матрица справа от пунктира на рис. П.2 является (i3=2)-сечением, а вторая строка слева от пунктира  –  (i1=2, i3=1)-сечением матрицы  A.

Рис. П.3.

 

Умножение матрицы на число и сумма (разность) матриц одинаковых размеров определяются так же, как и для двумерных матриц.

Умножение многомерных матриц аналогично умножению двумерных матриц, но более разнообразно и выполняется с применением правил тензорного исчисления зацепления, свертывания или сокращения индексов: если некоторый индекс встречается в выражении дважды, то выражение должно быть по этому индексу просуммировано. Например,

.

Индексы, по которым производится суммирование, называются немыми. Индексы, не являющиеся немыми, называются свободными. После выполнения суммирования по немому индексу i данный индекс в результирующем выражении исчезает, поэтому немой индекс может быть заменен любым другим, не встречающимся в выражении, например, aijxj=aikxk. Свободные же индексы в результирующем выражении сохраняются.

Применяя описанное правило, можно получать различные произведения одних и тех же матриц, варьируя совокупность немых индексов. Например, для матриц A и B, изображенных на рис. П.1 и рис. П.2, можно образовать произведения:

,   (П.4)

    ,                   (П.5)

       (П.6)

и  т. д.

При использовании формулы (П.4) умножение трехмерной матрицы A на четырехмерную B приводит к семимерной матрице F, получающейся умножением каждого элемента матрицы A на каждый элемент матрицы B. Такое произведение называется прямым или внешним, все индексы в нем свободные, обозначается оно  .

В (П.5) произведением тех же матриц является пятимерная матрица G, так как третий индекс матрицы A и третий индекс матрицы B обозначены одним символом k, т. е. являются немыми и после суммирования исчезают. Например, элемент g42121 = a42kb12k1 = a421b1211 + a422b1221.

В (П.6) результатом умножения является трехмерная матрица, так как немых индексов уже два  –  k и l. Например, элемент

.

Произведения, в которых имеются немые индексы, называются (в отличие от внешних произведений) внутренними и могут быть выполнены в два этапа: сначала выполняется прямое произведение, а затем свертываются нужные пары индексов, т. е. заменяются одним. Как и при умножении двумерных матриц, необходимо соответствие размеров. Например, для выполнимости (П.6) необходимо, чтобы размеры  и  матриц A и B удовлетворяли условиям:  и . Свертывание по каждому индексу уменьшает размерность прямого произведения на два. Следовательно, при умножении двух матриц размерностей m и n можно получить матрицы размерностей  m+n, m+n-2, …, |m-n|. Если m=n, то результатом умножения может быть даже скаляр, как, например, в произведении {aij}{bji}.

В этих обозначениях обычное умножение двумерных матриц записывается в виде {aik}{bkj}, умножение матрицы на вектор – {aij}{xj}, скалярное произведение векторов – {xi}{yi}. При этом отпадает необходимость в символе операции транспонирования:  записывается как {aij}{xi}.

Если в многомерной матрице переставить местами индексы, то получится, вообще говоря, другая матрица, называемая изомерой матрицы A. Количество изомер равно n! Например, если в -матрице  (рис. П.1) переставить местами i2 и i3, то получится -матрица, показанная на рис. П.4.  Такие операции являются обобщением операции транспонирования двумерных матриц. Если все изомеры совпадают между собой, то матрица A называется симметричной.

Естественным образом определяется произведение трех и более матриц, например, . При этом операции сложения матриц, умножения их на число и перемножения обладают, как и в случае двумерных матриц, свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, кроме коммутативности умножения матриц, которое выполняется только с точностью до изомеры.

 

Рис. П.4.

 

Иногда удобно группировать индексы многомерных матриц, например, обозначить матрицу  как , где  и . При этом групповой индекс во всех операциях над матрицами выступает как единое целое, и индексы, входящие в  и , не могут быть переставлены. Матрица  имеет только две изомеры:  и , а не (m+n)! , и при m=n может оказаться симметричной, даже если  не симметрична.

Как уже отмечалось, каждое линейное преобразование m-мерных массивов  в n-мерные массивы  может быть записано в виде

 ,                                         (П.7)

где  и . И наоборот, каждая m+n-мерная матрица определяет некоторое линейное преобразование   по формуле (П.7). Если, кроме этого,  Z=BY – линейное преобразование  , то суперпозиция этих двух преобразований  Z=B(AX)=(BA)X  имеет матрицу .

Если базис, т. е. систему координат линейного пространства, сменить, то это приведет и к изменению матрицы данного преобразования, т. е. каждому линейному преобразованию будет соответствовать совокупность многомерных матриц. В тензорном анализе n-мерная матрица называется тензором ранга n, если выполнены некоторые условия, связанные с изменением элементов этой матрицы при замене системы координат. Например, выражение «тензор линейного преобразования» означает матрицу этого преобразования в соответствующей системе координат.

В рамках задач данного пособия не требуется преобразований различных координат, поэтому упомянутые условия выполнены и справедлива тензорная терминология. Например, если  –  СП и , то будем называть  тензором преобразования СП  в СП . Здесь же отметим, что применительно к СП удобнее записывать индексы компонент тензоров только снизу, используя верхний индекс как временной.

Особое значение имеют многомерные тензоры четной размерности 2n вида , где групповые индексы  и  имеют одинаковые размеры . Такие тензоры называются квадратными. Они задают линейные преобразования массивов  в массивы  тех же размеров. Это сближает многомерные квадратные матрицы с квадратными двумерными.

Единичной матрицей называется квадратная матрица , где  – символ Кронекера. Она задает тождественное преобразование EX=X. Матрицей, обратной к квадратной матрице , называется матрица  такая, что  и .

Обратную матрицу можно вычислить следующим образом. Пронумеруем все значения группового индекса   числами  от 1 до  и составим двумерную матрицу , где , которая называется разверткой матрицы A и определяется с точностью до одновременной перестановки строк и столбцов.  Детерминантом матрицы A будем называть детерминант ее развертки: . Очевидно, что детерминант не зависит от способа развертки. Если , то матрица A называется неособенной, а ее развертка имеет обратную матрицу . Применяя к  процедуру, обратную развертке, получим искомую обратную матрицу .

Рассмотрим теперь операции дифференцирования тензоров, составленных из функций.

Если имеется скалярная функция  a(x) одного скалярного переменного x, то ее производная  определяется обычным способом. Если  – векторная функция скалярного аргумента x, то ее производная по x определяется как , т. е. следует взять производную по x от каждой из компонент вектора . Производная тензора , зависящего от одного скалярного переменного x, определяется аналогично: , т. е. тензор дифференцируется поэлементно.

Пусть  – скалярная функция векторного аргумента . Ее можно рассматривать и как функцию n скалярных переменных : . Она имеет n частных производных , из которых можно составить вектор , называемый производной функции  по векторной переменной . В общем случае скалярной функции  тензорного аргумента  ее производная определяется равенством  и является тензором той же размерности, что и X.

Пусть  – векторная функция векторного аргумента  . Производной функции  по вектору  называется матрица

,         

составленная из частных производных всех компонент векторной функции  по всем компонентам ее аргумента, что можно записать в сокращенном виде, как

 .                                       (П.8)

По аналогии с (П.8), производная тензора  ранга n по тензору  ранга m определяется как

                                  (П.9)

и является тензором ранга n+m. Очевидно, что  dX/dX = E – единичный тензор.

Рассмотрим тензор  и дадим его аргументу  приращение , т. е. дадим каждому аргументу  приращение ; тогда тензор  получит приращение , состоящее из приращений  его составляющих. Линейная часть приращения , т. е. дифференциал, определяется равенством . Отсюда следует, что тензор  , составленный из дифференциалов его составляющих, может быть записан в следующей форме:

      .

Если  – зависимый тензор, то ,  т. е. , поэтому

.                                            (П.10)

Формулы дифференцирования сложных тензорных функций аналогичны их скалярным вариантам:  поэтому первый дифференциал имеет инвариантную форму (П.10) независимо от того, является  зависимым или независимым переменным.

Производные и дифференциалы высших порядков определяются как .

Столь же легко обобщается дифференцирование скалярных функций k переменных на аналогичные тензорные:

  .           (П.11)

При этом полный дифференциал определяется выражением

 .                           (П.12)

Это определение можно распространить и на составные тензоры. Пусть , где  – тензоры, тогда  X  называется составным тензором. Составной тензор, вообще говоря, не является тензором в обычном смысле. Действительно, пусть  – тензор размеров  и  – тензор размеров , тогда  тензором в обычном смысле не является, так как эту совокупность чисел нельзя представить в виде  потому, что в  Х  есть, например, элемент , но нет элемента . В составном тензоре значения одних индексов ограничиваются значениями других, а в несоставном каждый индекс принимает значения независимо от остальных. Совокупность  является тензором, если все составляющие  – тензоры одинаковых размеров. Пусть ,  – составные тензоры и , тогда , , что является обобщением формул (П.11) и (П.12).

Отметим следующие правила тензорного дифференцирования:

 ,     ,     ,

,   ,

где B – произвольный постоянный тензор и  – симметричный тензор.

Рассмотрим ряд Тейлора для скалярной функции двух скалярных переменных :

   который можно представить в виде

где тензор ; тензор приращений  и  – прямое n-кратное произведение . Полученное выражение – полная аналогия ряда Тейлора скалярной функции одной скалярной переменной. В несколько более общем случае скалярной функции любого тензорного аргумента имеем разложение

.                            (П.13)

Если задана система таких функций, составляющая тензорную функцию тензорного аргумента , то, записывая (П.13) для каждой из них и образуя тензоры из однотипных членов этих рядов, получаем тензорный ряд Тейлора

,                   (П.14)

по форме не отличающийся от ряда Тейлора скалярной функции одного скалярного аргумента.

 

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru