2.4. Многоальтернативные решения
Рассмотрим важный частный случай решения,
заключающегося в выборе одной из 
альтернатив 
, т. е. 
. При этом 
, т. е. возможна одна из 
ситуаций 
. Этой схеме
соответствуют задачи проверки гипотез, обнаружения и различения сигналов,
распознавания образов и т. д. Пусть функция потерь не зависит от 
и
,
т.
е. функция потерь задана 
-матрицей потерь 
. Тогда
, (2.16)
где
– априорные
вероятности ситуаций; 
– ФП; 
– вероятность
наблюдения ; 
– условная вероятность
ситуации 
при
наблюдении ;
.
Из (2.16) следует, что при имеющемся наблюдении нужно выбрать такое
решение 
, при
котором минимальна линейная комбинация 
ФП 
с коэффициентами 
, т. е. нужно сравнить между собой 
линейных комбинаций 
.
Отметим, что коэффициенты 
этих линейных комбинаций
зависят от функции потерь 
и априорных вероятностей 
ситуаций, но от наблюдений
не зависят, т. е. концентрируют в себе априорную информацию. Значения же 
, входящие в 
, напротив, зависят от
наблюдений.
В хорошей информационной системе определяющую роль в
принятии решения должны играть именно наблюдения. Если это не так, то решение
будет приниматься в основном по априорной информации, а сама информационная
система окажется практически бесполезной. В этом заключается общая закономерность
систем обработки информации: чем более высокими качествами должна обладать
информационная система, тем меньшее значение имеют априорные данные о
характеристиках потерь и поведении параметров 
.
Для рассматриваемой задачи это означает, что основное
значение должен иметь разброс значений 
, а не разброс коэффициентов 
. А именно, существенно
большим должно быть значение 
, соответствующее действительно имеющей
место ситуации 
.
Другими словами, наблюдения в хорошей информационной системе должны достаточно
точно идентифицировать имеющуюся ситуацию. В этом случае априорные сведения
имеют очень малое влияние, поэтому их можно выбирать практически произвольно.
Но это все, конечно, только пожелания о качествах
системы обработки информации. В действительности приходится работать с той
системой, какая есть. В любом случае оптимальное решение соответствует
минимальной из линейных комбинаций .
Двухальтернативные решения
Рассмотрим частный случай двухальтернативных задач,
когда 
. Этому
случаю соответствует, например, задача обнаружения сигналов или других
объектов, в применении к которой и произведем все выкладки.
Итак, возможны две ситуации или гипотезы 
– нет сигнала и 
– есть сигнал. Решение
состоит в выборе одной из этих гипотез. Заданы априорные вероятности 
и 
и функция потерь 
. При этом 
и 
– потери при неверных решениях,
а 
и 
– потери при верных
решениях. Задана также ФП: 
– распределение вероятностей наблюдений
при отсутствии сигнала и 
– при его наличии.
Из (2.16) следует, что решение 
принимается при выполнении неравенства
, т. е. если
,
или
в эквивалентном виде
,
.
Естественно, что 
и 
(потери
при верном решении должны быть меньше, чем при ошибочном). Поэтому решающее
правило принимает вид
(2.17)
где
– (2.18)
пороговое значение (порог)
решающего правила.
Отношение 
называется отношением правдоподобия
(ОП). Оказывается, что ОП является достаточной статистикой
для рассматриваемой задачи, т. е. вся информация, содержащаяся в наблюдениях z,
сконцентрирована в единственном числе – значении ОП. Это значение нужно
сравнить с порогом 
,
который зависит от априорной вероятности появления сигнала 
(отметим, что 
) и от функции потерь 
, т. е. от критерия оптимальности
обнаружения. Если выбрать какой-то другой критерий оптимальности, то сменится
только значение порога , а правило обнаружения сохранит вид
(2.17).
Отметим, что в общем случае (не обязательно для
задачи обнаружения) правило (2.17) имеет вид
(2.19)
