4.4. Адаптивные псевдоградиентные алгоритмы фильтрации изображений

Методы ПГ адаптации могут быть с успехом применены и к задачам фильтрации И. Основная возникающая при этом трудность состоит в ненаблюдаемости качества фильтрации, поскольку ненаблюдаема ее ошибка. Поэтому качество фильтрации приходится оценивать с помощью вспомогательного наблюдаемого функционала, от которого требуется только, чтобы его точка минимума по параметрам процедуры фильтрации совпадала с точкой минимума основного функционала качества. Продемонстрируем эту методику на примере фильтрации плоского изображения.

Пусть наблюдаемое изображение  представляет собой аддитивную смесь информативного сигнала , определяемого авторегрессионной моделью Хабиби

,       (4.13)

и белого гауссовского шума :

.                                       (4.14)

При этом параметры модели сообщения (4.13) и дисперсия шума в модели наблюдения (4.14) неизвестны и, возможно, варьируются по полю кадра. В последнем случае вариация предполагается достаточно плавной.

         Требуется по наблюдениям Z оценить информативное изображение Х. Применим для решения этой задачи так называемый адаптивный псевдоградиентный аппроксимированный фильтр Калмана, являющийся адаптивным вариантом аппроксимированного фильтра Калмана.

         Рассмотрим сначала неадаптивный фильтр, когда параметры моделей (4.13) и (4.14) известны и постоянны. Оценки Х находятся построчно.

         Первая строка  оценивается по первой строке наблюдений  с помощью уравнения фильтра Калмана в установившемся режиме:

,          .         (4.15)

Далее производится сглаживание обратным ходом:

.                                   (4.16)

Процедуры (4.15) и (4.16) отличаются от оптимальных постоянством коэффициентов, что приводит к ухудшению оценок в начале строки.

         Пусть уже получена оценка  строки с номером i-1. Следующая i-я строка представляется в виде

                     (4.17)

где  – (постоянный) параметр модели (4.14) – коэффициент корреляции между соседними строками. Оценка

                                      (4.18)

находится по наблюдениям

,                                     (4.19)

полученным вычитанием прогноза  строки  из  наблюдений  этой строки. Сглаженные оценки  формируются с помощью процедур, аналогичных (4.15) и (4.16).

         Описанный фильтр является приближенным, аппроксимированным вариантом векторного фильтра Калмана, когда изображение рассматривается как последовательность векторов (строк). Использование установившегося варианта приводит, помимо ухудшения оценок в начале строк, еще и к ухудшению оценок первых строк изображения.

         Рассмотрим теперь адаптивный вариант описанного выше алгоритма. Этот алгоритм включает в себя процедуры (4.15)-( 4.19) с переменными коэффициентами а, b, c, r и процедуру подстройки этих параметров непосредственно в процессе обработки.

Рассмотрим сначала процедуру (4.19). Она включает в себя формирование прогнозов  элементов  по уже полученным сглаженным оценкам  предыдущей строки. Прогнозы эти должны быть оптимальными в смысле минимума дисперсии ошибок прогноза . Наблюдения  отличаются от  некоррелированным с  аддитивным шумом , поэтому оптимальный прогноз  минимизирует не только дисперсию остатков , но и дисперсию остатков (4.19) прогноза наблюдений . Эти остатки наблюдаемы, что позволяет применить адаптивные псевдоградиентные методы подстройки коэффициента прогноза r.

         Построение адаптивного варианта процедуры (4.15) основано на том, что если вектор параметров  оптимален в смысле минимума средних квадратов ошибок оценок  , то он же оптимален и в смысле минимума средних квадратов ошибок прогнозов

,                                        (4.20)

и наоборот. Поэтому подстройка  может быть осуществлена по наблюдаемым . Остатки в (4.20) зависят от параметра b через :

 .                              (4.21)

         Для минимизации остатков (4.21) применяется алгоритм ПГ адаптации. Рассчитанные на очередном шаге коэффициенты  и   используются  для вычисления очередного прогноза и уточнения значения .

         Отметим, что в случае неоднородных изображений может быть скачок характеристик изображения при переходе к обработке очередной строки, так как конец предыдущей строки находится на большом расстоянии от начала очередной. Это обстоятельство требует резкого изменения параметров фильтра, что в алгоритме не предусмотрено. Сгладить это явление позволяет треугольная развертка изображения – смена направления обработки на противоположное при переходе к очередной строке. При такой развертке очередная обрабатываемая точка всегда находится рядом с предыдущей, поэтому резких скачков характеристик изображения (при сделанном предположении о их плавном изменении) не происходит.

На рис. 4.2 приведен пример применения описанного алгоритма. В верхней части рисунка находится неискаженное И девочки. Это И искажалось аддитивным белым шумом, в правой нижней части рисунка показана часть этого искаженного И. Часть отфильтрованного И показана в левой нижней части рисунка. Заметно значительное улучшение изображения после фильтрации. Однако можно заметить, что отфильтрованное изображение несколько хуже оригинала – оно как бы расфокусированное. В этом проявление неизбежных ошибок фильтрации. И многочисленные усилия исследователей направлены на улучшение качества фильтрации.

Рис. 4.2.