1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Для эффективного решения различных задач обработки И необходима их математическая постановка, которая прежде всего включает в себя математическое описание, т. е. модель И как объекта исследования. К настоящему времени разработан целый ряд таких моделей [1, 2, 3, 5, 6, 13, 14, 16, 19, 23-32], некоторые из них рассматриваются в этой главе.

1.1. Случайные поля

Наиболее распространенными в настоящее время являются информационные комплексы, включающие в себя пространственные системы датчиков и цифровую вычислительную технику. Поэтому мы будем в основном рассматривать МИ с дискретными пространственными и временными переменными. Не ограничивая общности, будем считать, что МИ заданы на многомерных прямоугольных сетках с единичным шагом. На рис. 1.1,а  и  1.1,б изображены двумерная и трехмерная сетки. В общем случае И задано в узлах n-мерной сетки .

В зависимости от физической природы значения И могут быть скалярными (например, яркость монохроматического изображения), векторными (поле скоростей, цветные изображения, поле смещений) и более сложнозначными (например, матричными). Если обозначить через  значение И в узле (пикселе) , то И есть совокупность этих значений на сетке: .

 Если  данные представляют собой временную последовательность И, то иногда удобно считать эту последовательность одним И, увеличив размерность сетки на единицу. Например, последовательность из плоских И (рис. 1.1,а) можно рассматривать как одно трехмерное И (рис. 2.1,б).

Рис. 1.1.

Если требуется временную переменную выделить особо, то будем ее записывать сверху: . Это И задано на прямом произведении  сеток  и I, где I – множество значений временного индекса. Сечение , т.е. совокупность отсчетов И при фиксированном значении временного индекса i, называется i-м кадром И. Каждый кадр задан на сетке . Например, на рис. 1.1,б изображено три двухмерных кадра.

Таким образом, МИ можно рассматривать как некоторую функцию, определенную на многомерной сетке. Значение элементов И невозможно точно предсказать заранее (иначе система наблюдения была бы не нужна), поэтому естественно рассматривать эти значения как случайные величины (СВ), применяя аппарат теории вероятностей и математической статистики. Итак, приходим к основной модели МИ – системе СВ, заданных на многомерной сетке. Такие системы называются дискретными случайными полями (СП) или случайными функциями нескольких переменных.

Для описания СП, как и любой другой системы СВ, можно задать сов-местную функцию распределения вероятностей (ФР) его элементов  или совместную плотность распределения вероятностей (ПРВ) . Однако И обычно состоит из очень большого количества элементов (тысячи и миллионы), поэтому ФР (или ПРВ) при таком количестве переменных становится необозримой и требуются другие, менее громоздкие методы описания СП.