5.2. Обнаружение при гауссовской аппроксимации априорных или апостериорных распределений помех

Предположим, что априорное распределение  помех может быть аппроксимировано гауссовским распределением. Не снижая общности, можно считать, что средние значения – нулевые. Пусть сигнал аддитивен, т. е. ОП имеет вид (5.6). При этом

,     (5.8)

где  – условное математическое ожидание (прогноз)  при известных ;  – ошибки этого прогноза;  – ковариационная матрица ошибок прогноза.

Отметим, что равенство (5.8) может применяться и при негауссовских помехах. Достаточно, чтобы нормализовались апостериорные распределения , что имеет место при высокоточном прогнозе, например, при достаточно высокой корреляции наблюдений.

Подставляя (5.8) в (5.6), логарифмируя, опуская постоянный коэффициент и не зависящие от  слагаемые, получаем решающее правило

,               (5.9)

где  – новый порог, соответствующий статистике l(Z), равносильной статистике L(Z).

Отметим, что вычитание прогноза  из  можно рассматривать как компенсацию помех в области G при известных значениях помех  вне этой области, а разности  – как остатки этой компенсации. Назовем этот тип прогноза прогнозом в область, так как он строится для всех наблюдений в G по всем наблюдениям вне этой области (рис. 5.2,а).

  Рис. 5.2.

Таким образом, алгоритм обнаружения (5.9) включает в себя компенсацию помех в  G  путем вычитания из наблюдений  их прогноза по наблюдениям . После компенсации осуществляется весовое суммирование остатков с весами  и, наконец, сравнение полученной статистики с порогом.

Отметим, что статистика l(Z) в (5.9) не очень удобна для практического применения. Положение сигнала обычно неизвестно, поэтому l(Z) приходится вычислять для всевозможных положений области G. При этом прогноз в каждую точку области G выполняется индивидуально, по своей формуле. Все это приводит к большому объему вычислений.

Получим другие формы записи статистики l(Z). Формула (2.28) верна для любой области G, в том числе, и для всей сетки . Тогда  и , поэтому . Для того, чтобы вернуться к обнаружению сигнала, проявляющегося только в G, возьмем сигнал SG, который вне G равен нулю, а в G – нашему сигналу. В этом случае получим ту же статистику l(Z), но в форме

,                                          (5.10)

где VY   – ковариационная матрица поля помех Y.

Статистика (5.10), представленная в форме

,                                (5.11)

соответствует процедуре декорреляции  наблюдений с последующим суммированием с весами . Действительно, найдем ковариации элементов :

,

т. е. СВ, составляющие , не коррелированы между собой.

В форме (5.10) преобразование выполняется один раз, а смена области G отражается только на области весового суммирования. В форме (5.11) преобразование  выполняется однократно, но смена G приводит к пересчету всех весов. В обеих этих формах выполнение преобразований очень громоздко даже для относительно небольших И. Кроме того, необходимо обращение очень большой матрицы VY.

Рассмотрим преобразование  и представим его в другой форме. Для этого разобьем вектор Y на два вектора  и  и запишем VY в блочном виде:

,

где  – матрица ковариаций компонент векторов  и . Применяя форму Фробениуса [7] обращения блочных матриц, получаем

,          (5.12)

где  . Первые  k  компонент вектора (5.12), соответствующие области G1, запишутся в виде

.                                               (5.13)

При этом

 –                                 (5.14)

оптимальный прогноз  по заданным значениям ; T – матрица ковариаций ошибок  этого прогноза. Если взять =(y1), т. е. вектор из единственного элемента y1, то (5.13) примет вид

,

где  – оптимальный линейный прогноз элемента y1, построенный при известных значениях всех остальных элементов из Y;  – дисперсия ошибки  этого прогноза.

Поскольку первой компонентой y1 при векторном представлении Y может быть любой элемент, получаем равенство

,                                 (5.15)

где Y* – совокупность прогнозов элементов Y, каждый из которых построен по значениям всех остальных элементов; LY – диагональная матрица дисперсий ошибок  этих прогнозов. Будем называть этот тип прогноза прогнозом в точку  (рис. 5.2,б).

         Таким образом, получаем еще одну форму статистики:

,                              (5.16)

основанную на прогнозе в точку. При этом прогноз  наблюдения  по остальным наблюдениям из Z строится при предположении об отсутствии сигнала, т. е. теми же действиями, которые выполняются над Y  в  (5.15).

         Как и в (5.10),   вычисляется один раз, зависимость от положения сигнала сказывается на области весового суммирования, а форма сигнала влияет на весовые коэффициенты.

Несмотря на равенство статистик (5.9) и (5.16), между ними есть принципиальное различие. В (5.9) прогноз и компенсация выполняются по наблюдениям , которые сигнала не содержат, поэтому при наличии сигнала в G он будет искажен только ошибками прогноза. Если эти ошибки малы, то остатки компенсации  будут близки к  SG  (визуально можно увидеть сигнал с небольшими искажениями).  В (5.16) при построении прогноза в точку используются все остальные наблюдения, в том числе и содержащие сигнал. Поэтому в остатках  этой компенсации каждый отсчет сигнала будет искажен не только ошибками прогноза мешающего И, но и остальными отсчетами сигнала. Даже при малых ошибках прогноза визуально будет наблюдаться очень искаженный сигнал.

Из приведенных форм статистики наиболее предпочтительной является (5.16) в силу следующих обстоятельств. Поскольку матрица LY  диагональная, в (5.16) требуется только нормирование остатков компенсации их собственными дисперсиями. Построение прогноза  в точку выполняется более унифицированно: этот прогноз не зависит от формы области G. Поэтому после выполнения преобразования  уже несложно осуществить обнаружение сигналов любых форм и размеров. Значительно облегчается синтез квазиоптимальных алгоритмов, в которых при компенсации используется прогноз только части наблюдений. Дисперсии ошибок прогнозов в точку для однородных И приблизительно равны между собой (по крайней мере, на некотором удалении от границ И), поэтому (5.16) может быть аппроксимировано выражением 

                                          (5.17)

или даже заменено статистикой

                                            (5.18)

с заменой порога  на .