1.5. Тензорные модели случайных полей
Рассмотрим случайное поле 
, заданное на (n+1)-мерной сетке 
, где 
– n-мерная
-сетка; 
. Индекс 
может интерпретироваться
как время, поэтому сечение 
поля X будем называть
-м кадром. Покажем,
что если поле X рассматривается как последовательность кадров x1, x2,…, каждый из которых задан на n-мерной сетке W, то можно обобщить
методы описания случайных последовательностей на случайные поля.
Пусть
последовательность кадров описывается стохастическим разностным уравнением
, i =
1,2,…, (1.38)
где
– порождающее стандартное гауссовское поле; 
– i-й кадр этого поля; 
– 
-матричная функция; 
– тензоры ранга 2n с двумя
групповыми индексами, формирующие возмущающую компоненту 
i-го кадра
из 
по правилу
умножения тензоров
,
изложенному в первой части Приложения. Транспонирование этого кадра заключается
в перестановке его групповых индексов: 
. Отметим, что верхний индекс i
означает номер кадра, т. е. в нашей интерпретации – время, поэтому i
не считается немым индексом и суммирование по нему не производится.
Модель (1.38) позволяет описывать весьма широкий класс
марковских последовательностей случайных кадров. В частности, линейная модель
, (1.39)
где
тензоры 
и
не зависят от
, описывает
гауссовскую последовательность.
Для этого поля КФ есть ковариационная
пространственная матрица, определяемая естественным образом:
, 
, (1.40)
где
, а символ «
» обозначает внешнее
произведение матриц. Таким образом, 
и 
являются симметричными 
-матрицами. Для полного
определения случайного поля с помощью уравнения состояния (1.38) необходимо
задать закон распределения начального кадра x0. Часто это распределение является гауссовским со
средним 
и
ковариационной матрицей 
. Совместную ПРВ первых кадров представим
следующим образом:
. (1.41)
Из (1.38) следует, что в гауссовском случае
, (1.42)
где
; 
; 
.
Подставляя (1.42) в (1.41), получим следующее
выражение для совместной ПРВ:
, (1.43)
где
j1(x0) = m0. Из совместных ПРВ
(1.43), вообще говоря, можно найти среднее значение mi
и КФ 
, но
выполнить практически необходимые для этого вычисления сложно. Удобнее воспользоваться
известными приближенными рекуррентными соотношениями для векторных марковских
последовательностей, обобщив их на рассматриваемые тензорные модели.
Для этого используем разложение функции 
в тензорный ряд Тейлора
(см. Приложение), предполагая достаточную гладкость и ограничиваясь линейными
членами:
. (1.44)
Подставляя (1.44) в (1.38) и усредняя, находим
приближенное рекуррентное соотношение
(1.45)
для
средних значений. Подставляя (1.44) и (1.45) в (1.40) и учитывая независимость xi и xi,
получаем
. (1.46)
Разложим 
в тензорный ряд Тейлора с точностью до
линейных членов:
.
Подставляя это разложение в
(1.46), получим приближенное рекуррентное соотношение для КФ:
. (1.47)
В случае линейной модели (1.39) рекуррентные
соотношения (1.45) и (1.47) будут точными:
mi = 0,
. (1.48)
Особый интерес представляет модель (1.39) с
постоянными тензорами 
и
, для которой
, (1.49)
где
(k) означает
возведение в k–ю степень. Если корни характеристического уравнения 
по модулю меньше
единицы, то P(k) ® 0 при k ® ¥, и из (1.49) находим, что 
при k
® ¥.
Записывая (1.39) в виде 
и производя выкладки, аналогичные
(1.20)–(1.27), получаем тензорный спектр стационарного поля
и
выражение для КФ
. (1.50)
Из (1.50) достаточно найти 
, остальные значения получаются
из уравнения (1.49), которое в стационарном случае принимает форму 
. Для нахождения Vx можно вместо интегральной формулы (1.50) использовать
предел (1.48) при i ® ¥.
. (1.51)
Уравнение
(1.51) представляет собой неособенную систему линейных уравнений относительно
компонент тензора Vx.
Аналогичным образом могут быть обобщены
авторегрессионые скалярные и векторные модели, порождающие марковские
последовательности более высоких порядков. Это дает возможность описания
последовательностей многомерных кадров, в которых каждый кадр зависит от m непосредственно
предшествующих ему кадров.
