6.3. Совмещение двух кадров
гауссовского случайного поля
Пусть поле 
гауссовское, стационарное, имеет нулевое
среднее и КФ
, (6.10)
где
– коэффициент
корреляции поля на
расстоянии 
по
времени и на расстоянии 
по 
-й пространственной оси. В модели наблюдений
(6.7) шумы 
также
будем предполагать гауссовскими с нулевым средним и постоянной дисперсией 
.
Пусть имеются наблюдения 
кадра 
в узлах прямоугольной сетки 
с единичным шагом и
наблюдения 
кадра
в узлах
некоторой сетки 
.
Требуется оценить параметры 
МКГТ кадров и , т. е. найти оценку 
параметров преобразования 
системы
координат в .
Если для удобства взять 
=1 и выбрать оси сетки 
, совпадающими с осями
координат, в которых задана КФ (6.10), то гауссовская совместная ПРВ кадра 
и его наблюдений может
быть легко найдена из (6.7) и (6.10). При заданном векторе параметров положение сетки 
относительно становится
определенным, поэтому возможно и нахождение совместной условной ПРВ наблюдений 
при заданном :
, (6.11)
где
– ковариационная
матрица наблюдений 
;
– количество
элементов в .
Таким образом, оценка по МП максимизирует (6.11) при заданных
значениях наблюдений .
Отметим, что нахождение максимума выражения (6.11) представляет собой
трудоемкую вычислительную задачу и практически нереализуемо в системах
реального времени.
В целях упрощения рассмотрим сначала оценку,
получающуюся максимизацией только экспоненты в (6.11):
. (6.12)
Функционал
является расстоянием
Махаланобиса выборки от
начала координат при ковариационной матрице . Таким образом, оценка (6.12)
минимизирует расстояние Махаланобиса наблюдаемых от начала координат.
Рассмотрим это расстояние поподробнее. Из (5.15)
следует, что имеет место представление
, (6.13)
где
– оптимальный
(в данном случае линейный) прогноз наблюдений в точку; 
– ошибки
этого прогноза, т. е. остатки компенсации в точку; 
– диагональная матрица из
дисперсий ошибок .
Если наблюдения 
и
использовать
дважды (
и 
), то из (5.15) можно
получить представление
(6.14)
где
– прогноз
наблюдений по
, т. е.
прогноз в область; 
–
ошибки этого прогноза; 
– ковариации ошибок ; 
– прогноз по ; 
– ковариации ошибок 
этого прогноза.
Оценку ММП можно несколько видоизменить, представив
условную ПРВ в виде произведения
. (6.15)
Поскольку 
от 
не зависит, достаточно максимизировать
условную ПРВ
,
(6.16)
где
и те же, что и в (6.14).
Отсюда можно также получить упрощенную оценку, минимизируя функционал
, (6.17)
являющийся
расстоянием Махаланобиса между наблюдениями и их прогнозами по наблюдениям .
Экспериментальные исследования показывают плохое
качество оценок по расстоянию Махаланобиса. Это объясняется тем, что в (6.13),
(6.14) и (6.17) перемножаются остатки компенсации и матрицы, обратные к или к 
. При этом остатки
компенсации могут уменьшаться по только до некоторого предела, поэтому
минимизация указанных выражений может осуществляться, в основном, за счет
увеличения элементов матрицы или . Этого не происходит при использовании
оценки ММП, так как ПРВ (6.11) обратно пропорциональна корню из детерминанта
ковариационной матрицы .
Гораздо лучшие оценки МКГТ можно получить, минимизируя
остатки компенсации ,
или . Удобнее всего
минимизировать 
,
так как при этом определяется оптимальная компенсация очередного кадра по предыдущему кадру , что часто бывает основной
задачей совмещения. Применяя этот подход, можно получить оценки
, (6.18)
, (6.19)
а
также ряд других оценок, зависящих от используемой метрики. Дальнейшее
разнообразие оценок достигается применением различных прогнозов 
: можно использовать
оптимальный прогноз, а также различные интерполяции наблюдений , изначально заданных
только на сетке .
Отметим, что компенсационные оценки (6.18)
и (6.19) оценивают, вообще говоря, не сами параметры МКГТ, а только оптимизируют
выбранную компенсацию в смысле некоторой метрики. Поэтому и совмещение кадров 
и 
при оцененных таким образом
параметрах является
псевдосовмещением в смысле наилучшей компенсации выбранного типа.
Однако при хорошем выборе функции прогноза часто обеспечивается и достаточно
эффективное совмещение.
