Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
4.1. Линейные скалярные и векторные фильтры Калмана
Рассмотрим сначала относительно простую задачу
фильтрации скалярной марковской последовательности, заданной авторегрессионной
линейной моделью
, (4.1)
ее наблюдения имеют вид
(4.2)
где
– скалярные
известные величины;
– стандартная гауссовская возмущающая
последовательность;
– независимые гауссовские величины с нулевым средним и
дисперсиями
(шум
наблюдений). На основе наблюдений
требуется найти наилучшую оценку
элемента
.
Рекуррентное
решение этой задачи дается известным фильтром Калмана [3, 31]:
(4.3)
где
.
Характерно,
что коэффициенты фильтра
вычисляются
рекуррентно и могут быть найдены заранее, так как не зависят от наблюдений. В
случае однородности моделей (когда их параметры постоянны) коэффициент
сходится к предельному
значению P. Это предельное значение, т. е. стационарный вариант фильтра
можно использовать с самого начала фильтрации, что ухудшит качество фильтрации
только на начальном ее этапе.
Описанный
фильтр легко обобщается на векторные модели сообщения (4.1) и наблюдений
(4.2), когда
- векторы, а
-
матрицы. В этом случае изменения в уравнениях (4.3) связаны только с переходом
к матричным операциям:
(4.4)
где
. (4.5)
Эти
уравнения уже можно использовать для фильтрации отдельных плоских И,
представляя их как последовательность вектор-строк (или вектор-столбцов),
описываемую авторегрессионной векторной моделью.
Отметим,
что при нелинейных моделях сообщения и наблюдений путем их линеаризации возможно
получение фильтров, аналогичных (4.3) и (4.4), но они уже не будут строго
оптимальными, как в линейном случае.