3.2. Существенная и
несущественная априорная неопределенность
Пример 1. Пусть в примере С4 п.2.7 a=1 известно, но 
неизвестно; p(
=0)=p(=1)=0,5; g(0,0)=g(1,1)=0
и g(0,1)=g(1,0)=1, т. е. за неверное решение дается единичный штраф.
Тогда при конкретном значении оптимальное решающее правило (основанное
на ОП) имело бы вид
(3.1)
Подставляя в это правило найденные в
примере С4 плотности, получаем 
0 или 
(если «³», то 
=1; если «<», то =0).
Оказалось, что, независимо от значения , решающее правило одно
и то же. Поэтому это правило следует признать оптимальным в условиях данного
примера. Априорная неопределенность (неизвестность ) оказалась несущественной в
смысле влияния на структуру решающего правила.
Таким образом, могут встречаться
ситуации, когда имеющаяся априорная неопределенность никак не сказывается на
решающем правиле – оно остается тем же самым, что и при полном описании. Такая
априорная неопределенность называется несущественной.
Однако при этом может оказаться, что
средний риск, характеризующий возможные потери при использовании этого правила,
остается неопределенным. В рассмотренном примере 1 очевидно, что при = 0 ошибочных решений
не будет и средний риск равен нулю. Но этот риск будет возрастать с ростом (покажите, что он
стремится к 0.5 при ® ¥).
Пример 2. Пусть теперь в примере 1 еще и 
не известны. Тогда при известных
и оптимальным решающим
правилом было бы снова (как и в примере 1)
,
которое, хотя и не зависит от , но существенно зависит от
формы сигнала 
.
Мы фактически не знаем, что надо искать, поэтому и не можем найти, используя
традиционный подход к синтезу решающего правила. Постараемся найти какое-нибудь
подходящее правило обнаружения. Преобразуем имеющееся нереализуемое правило к
виду
, т. е. 
.
Значение 
, хотя и неизвестно, но от наблюдений не
зависит, обозначим его через 
. Получаем , т. е. правило заключается в сравнении
взвешенной суммы 
с
порогом . При
этом весовыми коэффициентами наблюдений 
должны быть неизвестные значения 
сигнала. Где бы их
взять? Если сигнал в наблюдениях присутствует, то с некоторым приближением 
(по крайней мере, при
относительно небольшой дисперсии шума 
). Отсюда следует правило
.
Осталось только подобрать подходящий порог (такая задача рассматривается
в п.5.4). Отметим, что задачу этого примера можно трактовать как задачу
различения гипотез 
(все
) и 
(не все 
).
Таким образом, априорная неопределенность
может быть и существенной, т. е. влиять на структуру решающего
правила.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть
имеющаяся априорная неопределенность позволяет только задать класс 
пар распределений 
). Найдем апостериорный
риск
(3.2)
для каждой такой пары 
. Минимум (3.2) по 
есть оптимальное решение для
фиксированного .
Если этот минимум достигается для 
, одинакового при всех 
, то априорная
неопределенность несущественна. Само правило с таким свойством называется равномерно
наилучшим для заданного класса .
Существование
таких правил является редким случаем. Чаще встречаются приближенно равномерные
наилучшие правила.
