1.4. Анализ авторегрессионных моделей случайных полей

Установим связь КФ с параметрами скалярных и векторных авторегрессионных моделей СП. Для этого рассмотрим сначала гауссовскую скалярную модель (1.10), определяющую на бесконечной сетке  скалярное гауссовское поле , которое полностью характеризуется своей КФ .

       Введем оператор сдвига , где , тогда каждой функции   комплексных переменных, разложимой в конечную сумму или многомерный ряд Лорана  по этим переменным, можно поставить в соответствие оператор, определяемый равенством . Введенные операторы линейны и арифметическим операциями над функциями соответствуют те же операции над соответствующими им операторами. В частности, , поэтому  определяет оператор, обратный к оператору, определяемому функцией . Уравнение (1.10) теперь можно записать в виде

или

.                                  (1.19)

Применяя обратный оператор, получаем уравнение

,                                (1.20)

выражающее поле  через элементы возмущающего поля. Разлагая  в ряд , получаем представление поля  в виде взвешенных сумм элементов возмущающего поля:

.                                           (1.21)

Используя спектральное представление (1.21) и учитывая, что , находим КФ:

.

Заметим, что полученное выражение равно коэффициенту при  в разложении произведения  в ряд, следовательно,

.                 (1.22)

Функция  комплексных переменных  называется энергетическим спектром поля , коэффициенты его разложения в -мерный ряд Лорана равны соответствующим значениям КФ и могут быть найдены с помощью -кратного интеграла

,                                   (1.23)

где ;  и область интегрирования – единичная полиокружность (прямое произведение единичных окружностей) . Из (1.22) и (1.23) получаем окончательное выражение КФ:

.                  (1.24)

Интеграл в этом выражении может быть найден с помощью вычетов или численными методами.

Вычисления значительно упрощаются, если  факторизуется, т. е. представляется в виде произведения  функций одного переменного: . Тогда интеграл (1.24) превращается в произведение  однократных интегралов. Если возмущающее поле  состоит из коррелированных величин, то в правую часть (1.22) и в числитель интеграла (1.24) добавится энергетический спектр , так как из (1.21) следует соотношение

.                                     (1.25)

Перейдем теперь к рассмотрению векторного стационарного СП , порождаемого на бесконечной -мерной сетке векторной авторегрессионной моделью (1.16). Поле  имеет матричнозначные КФ  и энергетический спектр , являющийся суммой многомерного ряда с матричными коэффициентами. Как и в скалярном случае, с помощью оператора сдвига  получим представление поля в виде взвешенных сумм . Аналогично находится связь между энергетическими спектрами

и интегральное представление КФ:

,                        (1.26)

где ;  – единичная матрица; ;  – матричные коэффициенты разложения  в -мерный ряд. В формуле (1.26) каждый элемент подынтегральной матрицы интегрируется независимо от остальных ее элементов.

Если возмущающее поле состоит из независимых случайных векторов, то  и (1.26) принимает вид

.               (1.27)

После транспонирования получим

.

Будем предполагать, что матрица  неособенная при , тогда интегралы (1.27) существуют.

Трехточечная модель

Рассмотрим в качестве примера двумерную трехточечную авторегрессионную линейную гауссовскую модель

,                      (1.28)

порядок вычисления для которой показан на рис. 1.6,а. Заменим ее эквивалентной векторной моделью

В этом случае  и подынтегральное выражение в (1.27) легко вычисляется:

.

Здесь для простоты записей  и  заменены на  и .

Рис. 1.6.

Наибольший интерес представляет элемент  матрицы , т. е. КФ модели (1.28). Остальные элементы могут быть получены простым сдвигом. Учитывая симметричность, находим

.    (1.29)

Будем вычислять этот интеграл с помощью вычетов, учитывая, что только второй множитель знаменателя имеет корни внутри единичного поликруга . Разлагая дробь в (1.29) на простейшие дроби по переменным  и  двумя способами, получаем

   (1.30)

где

При этом . Кроме того,  при  и  при . Следовательно, только первые дроби в скобках (1.30) дают ненулевые вычеты при последовательном вычислении интегралов. Опуская несложные выкладки, приведем итоговое выражение для КФ случайного поля:

  ,                                (1.31)

где  – дисперсия поля. Таким образом, для получения поля с заданной дисперсией  следует взять . Если , то , , , что полностью совпадает с результатами, полученными для модели (1.11).

Если  и  имеют одинаковые знаки, т. е. , то интеграл (1.29) дает более сложные выражения. Например, при неотрицательных  и

В этом и аналогичных случаях удобнее вычислять значения  рекуррентно, исходя из уравнения КФ поля. Умножая общее линейное уравнение авторегрессии (1.10) на  и находя математические ожидания, получим уравнение

.                                  (1.32)

Математическое ожидание  равно коэффициенту при  в разложении  по , т. е. в представлении (1.10) в виде взвешенных сумм. В частности, , если  предшествует  для данной развертки, так как в этом случае  и  независимы.

Связь соседних значений, схематически представленная на рис. 1.6,а, приводит к тому, что возмущения  оказывают влияние на элементы поля  в направлениях, изображенных на рис. 1.6,б. Именно поэтому  лишь при одновременном выполнении неравенств  и . Учитывая это замечание и вид (1.31) КФ, получаем:

,

что вместе с граничными условиями

позволяет последовательно вычислить необходимые значения КФ.

Как уже отмечалось, в случае  изокорреляционными линиями поля являются ромбы (рис 1.7,а,б). Если , то в области  эти линии по-прежнему прямые, как это следует из (1.31). В области  линии выпуклы при  (рис. 1.7,в) и вогнуты при  (рис. 1.7,г).

Таким образом, даже незначительное обобщение модели (1.11) (отказ от частного вида )  позволяет получать СП с более широким классом КФ.

Рис. 1.7.

На рис. 1.8,а –1.8,г приведены примеры имитированных И, порождаемых моделью (1.28) с  и остальными параметрами, соответствующими рис. 1.7,а – 1.7,г. Реализация на рис. 1.8,а напоминает клетчатую ткань. Эта особенность реализаций является проявлением анизотропии КФ. Действительно,  КФ  медленнее убывает вдоль координатных осей, чем по диагональ-

а

б

в

г

Рис. 1.8.

ным направлениям, поэтому И сильнее коррелировано вдоль осей и для реализаций характерно наличие продольных и поперечных полос. Для И на рис. 1.8,б характерны протяженные горизонтальные полосы, что объясняется большей корреляцией в горизонтальном направлении, чем в вертикальном (рис. 1.7,б). В случае, когда сечение КФ имеет вид рис. 1.7,в, сечения КФ уже довольно округлы, поэтому и на И (рис. 1.8,в) анизотропия выражена слабее. С уменьшением коэффициента  сечения КФ становятся более вытянутыми из левого верхнего в правый нижний угол, поэтому на реализациях проявляются области, протяженные в этом направлении. Для рис. 1.8,г характерна значительная коррелированность по направлению из левого нижнего в правый верхний угол, что объясняется видом сечений КФ на рис. 1.7,г.

Четырехточечная модель

Рассмотрим теперь четырехточечную авторегрессионую модель

              (1.33)

с шаблоном, представленным на рис. 1.9,а.

Рис. 1.9.

Аналогично предыдущему примеру, КФ порождаемого поля определяется выражением

.

При  этот интеграл с помощью несложных преобразований дает следующий результат:

  ,                                       (1.34)

где

;  и  – корни уравнения

                                      (1.35)

или величины, обратные этим корням, так, чтобы выполнялись неравенства  и . Коэффициенты уравнения (1.35) определяются по формулам , , , , , , , , , . Выбирая коэффициенты  так, чтобы , получаем поле с заданной дисперсией .

  Таким образом, КФ вдоль горизонтальной координатной оси равна сумме двух экспонент. Анализируя направления, по которым оказывают влияние возмущения  (рис. 1.9,б), можно сделать вывод, что КФ удовлетворяет уравнению

    (1.36)

при положительных  и любых , а также для  при . Решая это уравнение с граничными условиями (1.34), можно получить явное выражение для КФ:

, , ,                           (1.37)

где , . Найденный результат справедлив в области , ограниченной прямыми  и  (рис. 1.9,в). Остальные значения КФ можно получить рекуррентно с помощью соотношений (1.36) и (1.37).

В качестве примера на рис. 1.10 приведены сечения КФ, соответствующей значениям ; ; ; ; .

Рис. 1.10.

Варьируя параметры модели (1.33), можно получать случайные поля с весьма широким классом КФ.

Как уже отмечалось, задача синтеза модели, порождающей случайное поле с заданной КФ, значительно сложнее задачи анализа модели. В рамках линейной авторегрессии задача синтеза сводится к определению подходящих коэффициентов уравнения (1.10). Например, выбирая пять коэффициентов уравнения (1.33), получим модель, порождающую поле с пятью заданными значениями КФ. Увеличивая размеры области локальных состояний, можно получить поля с более точным соответствием реальных изображений и рассмотренных моделей.