5.4. Псевдоградиентная оценка квантилей и стабилизация порога обнаружения

Как было выяснено ранее, решающее правило обнаружения имеет вид

,                                         (5.19)

где  – статистика правила и  – порог обнаружения. При использовании критерия Неймана-Пирсона порог определяется по заданной вероятности ложной тревоги         (принятия решения о наличии сигнала, когда его нет)  из соотношения

                                         (5.20)

или

,                                               (5.21)

где  – условная ФР статистики  при отсутствии сигнала.

Квантилью порядка q  или  q-квантилью СВ  X  с  ФР    называется число xq, удовлетворяющее условию .  Таким образом, порог  есть q-квантиль СВ  при отсутствии обнаруживаемого сигнала. Необходимость определения квантилей возникает не только в обнаружении сигналов, но и в других задачах, например, при выборе канала связи с минимальным уровнем помех. Поэтому будем рассматривать эту более общую задачу оценки квантилей.

Если условная ФР  известна, то q-квантиль можно определить из уравнения (5.21). Однако при априорной неопределенности ФР известна неточно или вообще неизвестна. Кроме того, на неоднородных данных она может изменяться. Отсюда возникает задача оценки q-квантили (в обнаружении – стабилизации порога, точнее – стабилизации вероятности ложной тревоги на заданном уровне).

Пусть имеется последовательность СВ  L1, L2,… Требуется последовательно определять оценку q-квантили lqn очередной СВ Ln.

Можно, например, построить следующую оценку. Если имеется  n выборочных значений  статистики , то величина , отсекающая  qn  наименьших из наблюдаемых , является оценкой q-квантили по относительной частоте события . Ho для такой сортировки нужно хранить все наблюдения. Если  мешающие И неоднородны, то все обнаружения могут оказаться в области с большой дисперсией помех.

Рассмотрим другой подход к оценке квантилей, основанный на адаптивном ПГ алгоритме.

Одноконтурный алгоритм

Пусть сначала все Li независимы и одинаково распределены с ФР  и ПРВ . В этом случае квантиль постоянна (т. е. lqn=lq), удовлетворяет уравнению  и минимизирует функционал . Сам функционал  и его градиент (производная по х)    ненаблюдаемы, так как ФР  и ПРВ  неизвестны.

Для синтеза ПГ алгоритма нужно найти наблюдаемый ПГ функционала . Для этого сначала заменим   на . Это можно сделать, так как ПРВ  неотрицательна. Представим  в виде математического ожидания:

,    (5.22)

где  – функция Хевисайда ( при   и = 0 в противном случае). Очевидно, что реализации  градиента  наблюдаемы. Из (5.22) следует  , т. е.  – ПГ функционала  (и ). Отсюда получаем ПГ алгоритм

                              (5.23)

где  – положительная числовая последовательность. В (5.23) следующая оценка  увеличивается на , если Ln  достигает порог , в противном случае оценка уменьшается на .

Проанализируем действие алгоритма (5.23). Для этого найдем математическое ожидание приращения его оценок:

Если , то  и >0, поэтому оценка будет в среднем повышаться. Если , то  и <0, поэтому оценка будет в среднем понижаться. Если , то =0. Следовательно, у оценок  имеется тенденция двигаться к точной квантили lq. Если при этом  (а также  и ), то  с вероятностью 1.

Этот алгоритм очень прост в реализации, не требует задания ФР  и запоминания или сортировки наблюдаемых значений  .

В случае неоднородных данных ФР   величин  могут быть различны. Если при этом текущая квантиль lqn изменяется достаточно медленно, то алгоритм (5.23) может достаточно точно оценивать изменяющуюся квантиль, для этого нужно взять mn ограниченными снизу (например,  mn=const). Таким образом, этот алгоритм применим и для оценки переменных квантилей, что очень важно в задачах обнаружения сигналов на неоднородных И.

Однако этот алгоритм имеет и существенный недостаток. В задачах обнаружения характерны малые задаваемые значения ложной тревоги  p (0.001 и меньше), а , т. е. нужно оценивать квантиль очень высокого порядка. Алгоритм (5.23) имеет очень большую асимметрию: шаги «вверх» значительно больше, чем «вниз». Увеличение порога происходит и в случае обнаружения сигнала, хотя увеличивать порог в этом случае не следует. Если И существенно неоднородно и квантиль меняется очень быстро, то алгоритм не успевает ее отслеживать, особенно при уменьшении точной квантили. В результате в среднем порог оказывается «задранным».

Значительно лучше алгоритм (5.23) оценивает квантили, близкие к 1/2, когда отмеченная асимметрия невелика. Воспользуемся этим для улучшения оценок квантилей.

Двухконтурный алгоритм

Предположим, что статистика Ln представима в виде Ln = UnKn, где распределения величин Kn постоянны или меняются очень медленно, а распределения величин Un могут меняться относительно быстро. Такое представление применимо во многих приложениях. Например, когда тип распределения статистики L почти не меняется, а интенсивность помех, влияющая на Un, изменяется достаточно быстро.

Будем искать оценку квантили lqn величины Ln в виде , где – оценка r-квантили величины Ln  и  1/2< r << q ), воспользовавшись тем, что такие квантили хорошо оцениваются алгоритмом (5.23). Тогда  будет коэффициентом пропорциональности между lrn и lqn. Используем для нахождения оценок   и  две процедуры вида (5.23):

                           (5.24)

при этом выбирается nn<<mn, так как распределение величин Kn меняется значительно медленнее, чем распределение величин Un.

Как показали испытания, этот алгоритм хорошо отслеживает квантиль даже при быстром ее изменении. Например, при обнаружении сигналов на существенно неоднородных И ложные тревоги распределялись достаточно равномерно по полю кадра, а их количество укладывалось в допустимые пределы.

         На рис. 5.3 показан пример применения описанного в пп. 5.3 и 5.4 алгоритма обнаружения точечных сигналов на спектрозональных изображениях поверхности Земли. На рис. 5.3,а и 5.3,б – изображения одного и того же участка земной поверхности (в разных диапазонах),  на которые аддитивно добавлены точечные сигналы, расположенные на скошенной сетке. Добавленные сигналы имеют малую амплитуду, поэтому визуально незаметны. На рис. 5.3,в показана ПГ компенсация мешающих изображений в точку по восьми ближайшим элементам с каждого из двух изображений. На рис. 5.3,г показано сечение изображения 5.3,в порогом, определяемым с помощью двухконтурного ПГ алгоритма.  При достижении порога, т. е. при обнаружении, ставилась яркая точка, в противном случае – темная. Все сигналы оказались обнаруженными при двух ложных тревогах (две яркие точки вне сетки).

Рис. 5.3

         Отметим в заключение, что ПГ адаптация может быть применена для обнаружения неизвестных сигналов при незаданной модели их взаимодействия с мешающими И, т. е. для обнаружения аномалий. Для этого параметры обнаружителя сначала настраиваются на обучающей выборке, т. е. на И с известным расположением сигналов. Максимизируемым функционалом при этом берется относительная частота обнаружений.